Đề bài
Một quả bóng hình cầu bên trong một hình lập phương như hình 106.
a] Tính tỉ số giữa diện tích toàn phần của hình lập phương với diện tích mặt cầu
b] Nếu diện tích mặt cầu là \[7\pi [c{m^2}]\]thì diện tích toàn phần của hình lập phương là bao nhiêu?
c] Nếu bán kính hình cầu là \[4cm\] thì thể tích phần trống [trong hình hộp ngoài hình cầu] là bao nhiêu?
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
- Diện tích toàn phần của hình lập phương cạnh \[a\] là:\[S = 6{a^2}\].
- Diện tích mặt cầu bán kính \[r\] là:\[S = 4\pi {r^2}\].
- Thể tích hình lập phương cạnh \[a\] là: \[V=a^3\].
- Thể tích hình cầu bán kính \[r\] là: \[\displaystyle V ={4 \over 3}\pi {r^3}\].
Lời giải chi tiết
Gọi cạnh hình lập phương là \[a\] thì bán kính cầu\[\displaystyle r = {a \over 2}\].
a] Diện tích toàn phần của hình lập phương là: \[{S_1} = 6{a^2}\][đơn vị diện tích]
Diện tích mặt cầu là: \[\displaystyle {S_2} = 4.\pi .{\left[ {{a \over 2}} \right]^2} = 4\pi .{{{a^2}} \over 4} = \pi {a^2}\][đơn vị diện tích]
Tỉ số\[\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{{6{a^2}}}{{\pi {a^2}}} = \dfrac{6}{\pi }\]
b] Theo câu a ta có\[\dfrac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \dfrac{6}{\pi }\]
Diện tích mặt cầu bằng \[7\pi [c{m^2}]\] nên ta có \[\displaystyle\dfrac{{{S_1}}}{{7\pi }}= {6 \over \pi }\]
\[\displaystyle \Rightarrow {S_1} = {6 \over \pi }.7\pi = 42\]\[\left[ {c{m^2}} \right]\]
Vậydiện tích mặt cầu là \[7\pi [c{m^2}]\]thì diện tích toàn phần của hình lập phương là \[42\]\[\left[ {c{m^2}} \right]\].
c] Bán kính hình cầu \[r = 4cm\] thì cạnh hình lập phương \[a=2r = 8cm\].
Thể tích của hình lập phương là:\[{V_1} = {a^3} = {8^3} = 512\left[ {c{m^3}} \right]\]
Thể tích hình cầu là: \[\displaystyle {V_2} = {4 \over 3}\pi {r^3} = {4 \over 3}\pi {.4^3} = {{256} \over 3}\pi \left[ {c{m^3}} \right]\]
Thể tích hình lập phương nằm ngoài hình cầu là:
\[V = {V_1} - {V_2} =\displaystyle 512 - {{256} \over 3}\pi\]\[\, \approx 243,917\left[ {c{m^3}} \right]\]