Đề bài
Cho hình thang cân ABCD [ AB // CD]. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn này.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Gọi \[O\] là giao điểm của trục của hình thang cân \[ABCD\] và đường trung trực của cạnh bên \[AD\]. Sử dụng tính chất: Điểm thuộc trung trực của một đoạn thẳng cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó chứng minh \[OA = OB = OC = OD\].
Lời giải chi tiết
Gọi \[d\] là trục của hình thang cân \[ABCD\], \[d'\] là đường trung trực của cạnh bên \[AD\].
Gọi \[O = d \cap d'\] ta có:
\[d\] là trục của hình thang cân \[ABCD \Rightarrow d\] là đường trung trực của AB và CD.
Mà \[O \in d \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}OA = OB\\OC = OD\end{array} \right.\,\,\left[ 1 \right]\] [điểm thuộc trung trực của một đoạn thẳng cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó].
Lại có \[O \in d' \Rightarrow OA = OD\,\,\left[ 2 \right]\] [điểm thuộc trung trực của một đoạn thẳng cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng đó].
Từ [1] và [2] \[ \Rightarrow OA = OB = OC = OD\].
Vậy bốn điểm \[A,\,\,B,\,\,C,\,\,D\] cùng thuộc đường tròn tâm \[O\], bán kính \[R = OA = OB = OC = OD\].