Đề bài - bài 59 trang 13 sbt hình học 12 nâng cao

Đề bài

Các cạnh bên của hình chópO.ABCđôi một vuông góc với nhau vàOA = a, OB = b, OC = c. Tính thể tích của khối lập phương nằm trong hình chóp này mà một đỉnh trùng vớiOvà ba cạnh cùng xuất phát từOnằm trênOA, OB, OC, còn đỉnh đối diện vớiOthuộc mặt phẳng \(\left( {ABC} \right).\)

Lời giải chi tiết

Giả sử hình lập phươngAHBO.GEFCthỏa mãn điều kiện của bài toán và điểmEthuộc \(mp\left( {ABC} \right).\)

Khi đó

\({V_{O.ABC}} = {V_{E.OAB}} + {V_{E.OBC}} + {V_{E.OCA}}.\)

Các khối chópE.OAB, E.OBC, E.OCAcó chiều caoxbằng cạnh của khối lập phương nói trên . Bởi vậy ta có :

\(\eqalign{ & {1 \over 6}abc = {1 \over 3}x\left( {{{ab} \over 2} + {{bc} \over 2} + {{ca} \over 2}} \right) \cr & \Rightarrow x = {{abc} \over {ab + bc + ca}}. \cr} \)

Vậy :Vlập phương\(={x^3} = {{{a^3}{b^3}{c^3}} \over {{{\left( {ab + bc + ca} \right)}^3}}}.\)