Đề bài
Tìm các giá trị của a sao cho với mọi x, ta luôn có:
\[ - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tam thức bậc hai
\[a{x^2} + bx + c \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta \le 0
\end{array} \right.\]
Lời giải chi tiết
Vì 2x2 3x + 3 > 0 x R
[do a = 3 > 0; Δ = -15 < 0]
Nên:
\[\eqalign{
& - 1 \le {{{x^2} + 5x + a} \over {2{x^2} - 3x + 2}} < 7 \cr&\Leftrightarrow - 2{x^2} + 3x - 2 \le {x^2} + 5x + a \cr& 0\,\,[2] \hfill \cr} \right.\cr} \]
BPT đã cho nghiệm đúng với mọi x \[\Leftrightarrow\] hệ trên nghiệm đúng với mọi x
\[\Leftrightarrow\] các bpt [1] và [2] nghiệm đúng với mọi x.
\[VT\left[ 1 \right] = 3{x^2} + 2x + a + 2 \ge 0,\forall x\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3 > 0\\
{\Delta _{\left[ 1 \right]}}' = 1 - 3\left[ {a + 2} \right] \le 0
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow - 5 - 3a \le 0 \Leftrightarrow a \ge - \frac{5}{3}\] [3]
\[VT\left[ 2 \right] = 13{x^2} - 26x - a + 14 > 0,\forall x \] \[\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
13 > 0\\
{\Delta _{\left[ 2 \right]}}' = {13^2} - 13\left[ { - a + 14} \right] < 0
\end{array} \right. \] \[\Leftrightarrow - 13 + 13a < 0 \Leftrightarrow a < 1\] [4]
Kết hợp [3] và [4] ta được \[- {5 \over 3} \le a < 1\]