Đề bài
Cho hình bình hành ABCD. Đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G. Chứng minh rằng:
\[\eqalign{ & a]\,\,A{E^2} = EK.EG \cr & b]\,\,{1 \over {AE}} = {1 \over {AK}} + {1 \over {AG}} \cr} \]
Lời giải chi tiết
a] Xét DEG có \[DG//AB[DC//AB,G \in DC]\]
\[ \Rightarrow {{AE} \over {EG}} = {{EB} \over {ED}}\] [hệ quả của định lý Thales] [1]
Xét ADE có \[BK//AD[BC//AD,K \in BC]\]
\[ \Rightarrow {{EB} \over {ED}} = {{EK} \over {AE}}\] [hệ quả của định lý Thales] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[{{AE} \over {EG}} = {{EK} \over {AE}} \Rightarrow A{E^2} = EK.EG\]
b] Ta có \[EK.EG = A{E^2}\] [câu a] \[ \Rightarrow {{EK} \over {AE}} = {{AE} \over {EG}} \Rightarrow {{EK} \over {AE}} = {{EK + AE} \over {AE + EG}} = {{AK} \over {AG}}\]
Ta có \[{{EK} \over {AE}} = {{AK} \over {AG}} \Rightarrow {{AK - AE} \over {AE}} = {{AK} \over {AG}} \]
\[\Rightarrow {{AK} \over {AE}} - 1 = {{AK} \over {AG}}\]
\[\Rightarrow {{AK} \over {AE}} - {{AK} \over {AK}}= {{AK} \over {AG}}\]
\[\Rightarrow {1 \over {AE}} - {1 \over {AK}} = {1 \over {AG}}\]
Vậy \[{1 \over {AE}} = {1 \over {AK}} + {1 \over {AG}}\]