Đề bài - câu 47 trang 75 sgk hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Tìm điểm I trên đường chéo B1D và điểm J trên đường chéo AC sao cho IJ // BC1. Tính tỉ số \({{ID} \over {I{B_1}}}\)

Lời giải chi tiết

Giả sử, ta tìm được I B1D, J AC sao cho IJ // BC1

Xét phép chiếu song song theo phương BC1lên mp(ABCD). Khi đó hình chiếu của các điểm I , D, B1lần lượt là J, D , B1

Do D, I ,B1thẳng hàng nên D, J, B1 thẳng hàng

Vậy J chính là giao điểm của hai đường thẳng B1D và AC. Từ đó ta có thể tìm I, J như sau:

- Dựng B1là hình chiếu B1qua phép chiếu song song ở trên (BC1B1B1là hình bình hành)

- Dựng J là giao điểm của B1D với AC

- Trong mp(B1B1D) kẻ JI song song với B1B1cắt B1D tại I

Rõ ràng I và J thỏa mãn điều kiện của bài toán

Dễ thấy B1thuộc đường thẳng BC và \(AD = {1 \over 2}B{'_1}C\)

Từ đó suy ra : \({{ID} \over {I{B_1}}} = {{ID} \over {JB{'_1}}} = {{AD} \over {B{'_1}C}} = {1 \over 2}\)

Vậy ta có: \({{ID} \over {I{B_1}}} = {1 \over 2}\)