Đề bài - câu 52 trang 124 sách bài tập hình học 11 nâng cao
|
\(\eqalign{ & N{P^2} = N{C^2} + C{{\rm{D}}^2} + D{P^2} \cr & = {{{a^2}} \over 4} + {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 2} \cr} \) Đề bài Cho hình lập phương ABCD.ABCD cạnh a. a) Tính góc tạo bởi hai đường thẳng AC và AB. b) Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, DD. Chứng minh rằng AC vuông góc với mp(MNP). Lời giải chi tiết a) Ta có \(C'B' \bot \left( {ABB'A'} \right),B'A \bot A'B\) nên \(A'B \bot AC'\) (định lí ba đường vuông góc). Vậy góc giữa AC và AB bằng 90°. b) Ta có \(\eqalign{ & N{P^2} = N{C^2} + C{{\rm{D}}^2} + D{P^2} \cr & = {{{a^2}} \over 4} + {a^2} + {{{a^2}} \over 4} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 2} \cr} \) Tương tự ta cũng có \(M{N^2} = M{P^2} = {{3{{\rm{a}}^2}} \over 2}\) Vậy MNP là tam giác đều. Mặt khác: \(\eqalign{ & A{N^2} = A{P^2} = A{M^2} = {{5{{\rm{a}}^2}} \over 4} \cr & C'{N^2} + C'{P^2} = C'{M^2} = {{5{{\rm{a}}^2}} \over 4} \cr} \) Từ đó \(AC' \bot \left( {MNP} \right)\).
|
