Đề bài - câu 86 trang 131 sách bài tập hình học 11 nâng cao

Đề bài

Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD cạnh đáy bằng a, cạnh bên \(a\sqrt 6 \). Xét đường thẳng đi qua điểm A và song song với BD. Gọi (P) là mặt phẳng qua và điểm C.

a) Thiết diện của hình lăng trụ đã cho khi cắt bởi mp(P) là hình gì? Tính diện tích thiết diện.

b) Tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD).

Lời giải chi tiết

a) Gọi \(I = C{\rm{D}} \cap \Delta ,J = BC \cap \Delta \),

\({B_1} = C'J \cap BB',{D_1} = C'I \cap {\rm{DD}}'\)

thì thiết diện thu được \(A{B_1}C'{D_1}\).

Dễ thấy \(A{B_1}C'{D_1}\) là hình bình hành và B1, D1lần lượt là trung điểm của BB, DD.

Từ đó \(A{{\rm{D}}_1} = {D_1}C'\)

Do đó thiết diện \(A{B_1}C'{D_1}\) là hình thoi.

\(\eqalign{ & {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}{B_1}{D_1},AC' \cr & {B_1}{D_1} = B{\rm{D}} = a\sqrt 2 \cr & AC{'^2} = A{C^2} + CC{'^2} = 2{{\rm{a}}^2} + 6{{\rm{a}}^2} = 8{{\rm{a}}^2} \cr & \Rightarrow AC' = 2{\rm{a}}\sqrt 2 \cr} \)

Vậy \({S_{A{B_1}C'{D_1}}} = {1 \over 2}a\sqrt 2 .2{\rm{a}}\sqrt 2 = 2{{\rm{a}}^2}.\)

b) Ta có \(AC \bot B{\rm{D}}\) mà // BD nên \(AC \bot \Delta \).

Mặt khác \(C'C \bot \left( {ABC{\rm{D}}} \right)\) nên \(AC' \bot \Delta \) (định lí ba đường vuông góc).

Vậy \(\widehat {C'AC}\) là góc giữa mp(P) và mp(ABCD).

Ta có \(\tan \widehat {C'AC} = {{CC'} \over {AC}} = {{a\sqrt 6 } \over {a\sqrt 2 }} = \sqrt 3 \), từ đó \(\widehat {C'AC} = {60^0}\)

Chú ý. Cũng có thể tính góc giữa mp(P) và mp(ABCD) bởi công thức

\({S_{ABC{\rm{D}}}} = {S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\)

mà \({S_{ABC{\rm{D}}}} = {a^2},{S_{A{B_1}C'{D_1}}} = 2{{\rm{a}}^2}\)

tức là \(\cos \varphi = {1 \over 2}\,\,hay\,\,\varphi = {60^0}\).