Đề bài
Từ điểm A nằm ngoài đường tròn [O]. Kẻ hai cát tuyến ABC [B nằm giữa A và C] và AEF [ E nằm giữa A và F]. Gọi I là giao điểm của BF và CE.
a] Chứng minh: \[\widehat A + \widehat {BIE} = 2\widehat {CBF}\].
b] Chứng minh: \[AE.AF = AB.AC\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+Số đogóc có đỉnh bên ngoài đường tròn
+Số đogóc có đỉnh bên trong đường tròn
+Góc nội tiếp bằng nửa cung bị chắn
+Hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung thì bằng nhau
Lời giải chi tiết
a] Ta có:\[\widehat A = \dfrac{{sd\overparen{CF} - sd\overparen{BE}}}{2}\][ góc có đỉnh bên ngoài đường tròn]
\[\widehat {BIE} = \dfrac{{sd\overparen{CF} + sd\overparen{BE}}}{2}\][ góc có đỉnh bên trong đường tròn]
Do đó :\[\widehat A + \widehat {BIE} = sd\overparen{CF}\]
Lạicó :\[\widehat {BIE} = \dfrac{1}{2}sd\overparen{CF}\][ góc nội tiếp và cung bị chắn]
Vậy : \[\widehat A + \widehat {BIE} = 2\widehat {CBF}\].
b] Xét \[ACE\] và \[AFB\] có:
+] \[\widehat A\] chung,
+] \[\widehat {ACE} = \widehat {AFB}\] [ góc nội tiếp cùng chắn \[\overparen{BE}\]]
Vậy \[ACE\] và \[AFB\] đồng dạng [g.g]
\[\Rightarrow \dfrac{{AE} }{{AB}} = \dfrac{{AC} }{ {AF}}\]
\[\Rightarrow AE.AF = AB.AC.\]