Đề bài
Giả sử \[f[x]\] đạt cực đại tại \[x_0\]. Hãy chứng minh khẳng định 3 trong chú ý trên bằng cách xét giới hạn tỉ số \[\dfrac {f[{x_0} + \Delta x] - \,f[{x_0}]} {\Delta x}\]khi \[Δx \to 0\] trong hai trường hợp \[Δx > 0\] và \[Δx < 0.\]
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Để chứng minh \[f'[x_0]=0\] ta chứng minh\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] - f\left[ {{x_0}} \right]}}{{\Delta x}} =\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0^ +} \dfrac{{f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] - f\left[ {{x_0}} \right]}}{{\Delta x}} = 0 \]
Lời giải chi tiết
- Với\[Δx > 0\]
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ + }} \dfrac{{f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] - f\left[ {{x_0}} \right]}}{{\Delta x}} = 0 = f'\left[ {x_0^ + } \right]\]
-Với\[Δx < 0.\]
Ta có\[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to {0^ - }} \dfrac{{f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] - f\left[ {{x_0}} \right]}}{{\Delta x}} = 0 = f'\left[ {x_0^ - } \right]\]
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \dfrac{{f\left[ {{x_0} + \Delta x} \right] - f\left[ {{x_0}} \right]}}{{\Delta x}} = 0 = f'\left[ {{x_0}} \right]\]