Đề bài
Câu 1[4 điểm]. Cho tam giác \[ABC\] cân [\[AB = AC\]] và đường tròn tâm \[O\] tiếp xúc với hai cạnh \[AB\] và \[AC\] lần lượt tại \[B\] và \[C\]. \[M\] là một điểm trên cung \[BC\] [\[M\] khác \[B\] và \[C\]]. Kẻ \[MD, ME, MF\] lần lượt vuông góc với các đường thẳng \[BC, CA\] và \[AB\]. Chứng minh:
a] [1 điểm]. Tứ giác \[MDBF\] nội tiếp đường tròn
b] [1,5 điểm]. Tam giác \[FBM\] và \[DCM\] đồng dạng
c] [1,5 điểm]. \[M{D^2} = {\rm{ }}ME.MF\]
Câu 2[3 điểm]
1. Hãy điền những từ còn thiếu trong các câu sau:
Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau:
a] [1 điểm] Hai cung bằng nhau căng.
b] [1 điểm] Hai dây bằng nhau căng.
2. [1 điểm] Cho đường tròn bán kính \[r\] nằm bên trong đường tròn bán kính \[R\]
Diện tích giới hạn bởi đường tròn lớn bằng \[\dfrac{a}{b}\] lần lượt bên ngoài đường tròn nhỏ và bên trong đường tròn lớn. Hãy chọn đúng tỉ số \[R : r\] sau:
a] \[\dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt b }}\] b] \[\sqrt a :\sqrt {a - b} \]
c] \[\sqrt b :\sqrt {a:b} \] d] \[a:\sqrt {a - b} \]
Câu 3[3 điểm]. Trên hình 68, đường tròn tâm \[O\] có bán kính \[R = 2 cm\], \[\widehat {AOB} = {75^o}\]
a] [2 điểm] Tính độ dài hai cung \[AnB\] và \[AmB\]
b] [1 điểm] Tính diện tích hình quạt tròn \[OAnB\].
Lời giải chi tiết
Câu 1:
Phương pháp:
a] Sử dụng dấu hiệu nhận biết: Tứ giác có tổng hai góc đối bằng \[180^\circ \] thì tứ giác đó là tứ giác nội tiếp
b] Sử dụng trường hợp đồng dạng góc góc
c] Chứng minh \[\Delta BDM \backsim \Delta CEM\]
Từ các tam giác đồng dạng ta suy ra tỉ lệ cạnh phù hợp để có hệ thức cần chứng minh.
Lời giải:
a] Xét tứ giác \[DCEM\] có \[\widehat {MEC} = 90^\circ \] và \[\widehat {MDC} = 90^\circ \] nên \[\widehat {MEC} + \widehat {MDC} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \] mà hai góc này ở vị trí đối nhau nên tứ giác \[DCEM\] là tứ giác nội tiếp.
b] Xét đường tròn \[\left[ O \right]\] có \[\widehat {MCB} = \widehat {BMF}\] [góc nội tiếp chắn cung \[BM\] và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \[BM\]]
Xét tam giác \[FBM\] và tam giác \[DCM\] có \[\widehat {CDM} = \widehat {BFM}\left[ { = 90^\circ } \right]\] và \[\widehat {MCB} = \widehat {BMF}\] [cmt] nên \[\Delta DCM \backsim \Delta FBM\left[ {g - g} \right]\] suy ra \[\dfrac{{BM}}{{CM}} = \dfrac{{FM}}{{DM}}\] [1]
c] Xét đường tròn \[\left[ O \right]\] có \[\widehat {MBC} = \widehat {ECM}\] [góc nội tiếp chắn cung \[CM\] và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung \[CM\]]
Xét tam giác \[ECM\] và tam giác \[BDM\] có \[\widehat {MDB} = \widehat {MEC}\left[ { = 90^\circ } \right]\] và \[\widehat {MBD} = \widehat {MCE}\] [cmt] nên \[\Delta BDM \backsim \Delta CEM\left[ {g - g} \right]\] suy ra \[\dfrac{{DM}}{{EM}} = \dfrac{{BM}}{{CM}}\] [2]
Từ [1] và [2] suy ra \[\dfrac{{FM}}{{DM}} = \dfrac{{DM}}{{EM}}\] \[ \Leftrightarrow M{D^2} = ME.MF\] [đpcm]
Câu 2:
Phương pháp:
1. Sử dụng lý thuyết về quan hệ giữa cung và dây cung trong đường tròn
2. Sử dụng công thức tính diện tích hình tròn bán kính \[R\] là \[\pi {R^2}\] .
Lời giải:
1. Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay trong hai đường tròn bằng nhau
a] Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b] Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau
2.
Diện tích hình tròn bán kính \[R\] là \[\pi {R^2}\] , diện tích hình tròn bán kính \[r\] là \[\pi {r^2}\]
Vì đường tròn bán kính \[r\] nằm bên trong đường tròn bán kính \[R\] nên diện tích giới hạn bởi phần bên tron đường tròn lớn và bên ngoài đường tròn nhỏ là \[S = \pi {R^2} - \pi {r^2}\]
Theo bài ra ta có \[\dfrac{{\pi {R^2}}}{{\pi {R^2} - \pi {r^2}}} = \dfrac{a}{b}\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{{{R^2}}}{{{R^2} - {r^2}}} = \dfrac{a}{b} \]\[\Leftrightarrow b{R^2} = a\left[ {{R^2} - {r^2}} \right]\]
\[ \Leftrightarrow b{R^2} - a{R^2} = - a{r^2}\]\[ \Leftrightarrow {R^2}\left[ {a - b} \right] = a{r^2}\]\[ \Leftrightarrow \dfrac{{{R^2}}}{{{r^2}}} = \dfrac{a}{{a - b}} \Rightarrow \dfrac{R}{r} = \dfrac{{\sqrt a }}{{\sqrt {a - b} }}\]
Hay \[R:r = \sqrt a :\sqrt {a - b} \]
Chọn B.
Câu 3:
Phương pháp:
a] Sử dụng công thức tính độ dài cung tròn bán kính \[R\] và có số đo \[n^\circ \] là \[l = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}}\]
b] Sử dụng công thức tính diện tích quạt tròn bán kính \[R\] và có số đo \[n^\circ \] là \[S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}}\]
Lời giải:
a] Vì \[\widehat {AOB} = 75^\circ \] nên số đo cung \[AnB\] là \[75^\circ \]
Độ dài cung \[AnB\] là \[{l_1} = \dfrac{{\pi Rn}}{{180}} = \dfrac{{\pi .2.75}}{{180}} = \dfrac{{5\pi }}{6}\] [cm]
Độ dài cung \[AmB\] là \[{l_2} = C - {l_1} = 4\pi - \dfrac{{5\pi }}{6} = \dfrac{{19\pi }}{6}\] [cm]
b] Diện tích hình quạt tròn \[OAnB\] là \[S = \dfrac{{\pi {R^2}n}}{{360}} = \dfrac{{\pi {{.2}^2}.75}}{{360}} = \dfrac{{5\pi }}{6}\left[ {c{m^2}} \right]\]