- Đề bài
- LG bài 1
- LG bài 2
Đề bài
Bài 1.Cho tam giác ABC cân tại A có \[AB = AC = 1\;cm\] và góc \[A = 2α [0 < α < 45^o]\], các đường cao AD và BE.
a. Chứng minh rằng : ADC và BEC đồng dạng
b. Chứng minh : \[\sin A = 2\sinα.\cosα\]
Bài 2.Cho ABC vuông tại A và \[AC = 21cm\], \[\cos \widehat C = {3 \over 5}\]
a. Tính \[\tan B, \cot B\].
b. Đường phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D. Tính \[DB, DC\]
LG bài 1
Phương pháp giải:
Sử dụng tam giác đồng dạng và quan hệ giữa cạnh và góc trong tam giác vuông.
Trong một tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng:Cạnh huyền nhân với sin góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.
Lời giải chi tiết:
a. Xét tam giác ADC và tam giác BEC có góc C chung và\[\widehat D = \widehat E = {90^0}\] nên ADC đồng dạng BEC [g.g]
b. ABC cân tại A nên đường cao AD đồng thời là đường phân giác \[\widehat {BAD} = \widehat {CAD} = {{\widehat A} \over 2} = \alpha \]
Xét tam giác vuông ADB có:
\[BD = AB.\sin \widehat {BAD} = 1.\sin \alpha = \sin \alpha \]
Mặt khác ABC cân nên đường cao AD cũng đồng thời là đường trung tuyến hay BC = 2BD = 2sinα
Xét tam giác vuông CEB có \[\widehat {CBE} = \widehat {CAD} = \alpha \] [cùng phụ với góc C]
Ta có: \[BE = BC.\cos \widehat {CBE} = BC.\cos \alpha \]\[\;= 2\sin \alpha .\cos \alpha \] [1]
Xét tam giác vuông AEB, ta có: \[\sin A = {{BE} \over {AB}} = {{BE} \over 1} = BE\] [2]
Từ [1] và [2] sinA = 2sinα.cosα
LG bài 2
Phương pháp giải:
Sử dụng:
+]\[{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\],\[\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\]
+] Định lý Pytago và tính chất đường phân giác của tam giác.
Lời giải chi tiết:
a. Ta có:
\[\eqalign{ & {\sin ^2}C + {\cos ^2}C = 1 \cr & \Rightarrow \sin C = \sqrt {1 - {{\cos }^2}C} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; = \sqrt {1 - {{\left[ {{3 \over 5}} \right]}^2}} = {4 \over 5} \cr} \]
Do đó:
\[\eqalign{ & \cos B = {4 \over 5} \cr & \cos C = {3 \over 5} \cr} \]
\[ \Rightarrow \sin B = {3 \over 5}\] [vì góc B và góc C là hai góc phụ nhau]
Vậy \[\tan B = {{\sin B} \over {\cos B}} = {3 \over 5}:{4 \over 5} = {3 \over 4} \]\[\Rightarrow \cot B = {4 \over 3}\]
Cách khác tính tanB [gần gũi hơn] :
\[\eqalign{ & \cos C = {{AC} \over {BC}}\,hay\,{3 \over 5} = {{21} \over {BC}}\cr& \Rightarrow BC = {{21.5} \over 3} = 35 \cr & \Rightarrow AB = \sqrt {B{C^2} - A{C^2}} \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= \sqrt {{{35}^2} - {{21}^2}} = 28 \cr} \]
Do đó: \[\tan B = {{AC} \over {AB}} = {{21} \over {28}} = {3 \over 4}\]
b. Ta có: ABC vuông tại A:
\[ AB = AC.\tan C = AC.cotB \]\[\;= 21.{4 \over 3} = 28\,\left[ {cm} \right] \]
và \[\,BC = {{AC} \over {\cos C}} = {{21} \over {{3 \over 5}}} = 35\,\left[ {cm} \right] \]
AD là phân giác của ABC ta có:
\[{{DB} \over {DC}} = {{AB} \over {AC}} = {{28} \over {21}} = {4 \over 3} \]
\[\Rightarrow {{DB} \over 4} = {{DC} \over 3} = {{DB + DC} \over {4 + 3}} \]\[\;= {{BC} \over 7} = {{35} \over 7} = 5\]
Vậy \[DB = 5.4 = 20 [cm]\]; \[DC = 5.3 = 15 [cm]\].