Cập nhật lần cuối 13/01/2022 by TTnguyen
Trong chương trình toán hạng sang môn đại số và hình học giải tích, để hiểu rõ hơn về không gian vecto con, bài viết này TTnguyen sẽ san sẻ một số ít kỹ năng và kiến thức cơ bản cùng với những dạng bài tập về không gian vecto con thường gặp trong quy trình học. Chúc những bạn học tập tốt !
Tóm tắt lý thuyết
Bạn đang đọc: Không gian vecto con – bài tập và lời giải – TTnguyen
Vì thành phần đường chéo chính khác khởi đầu [ k + h ≠ 1 ] => W không là vecto con b. W = { a + bx + cx2 | a + b-c = 0 } ⊂ P2 Lấy 2 ma trận bất kể thuộc P2 m1 = a1 + bx1 + c1x2, a1 + b1-c1 = 0 ; mét vuông = a2 + b2x + c2x2, a2 + b2-c2 = 0 km1 + hm2 = k [ a1 + bx1 + c1x2 ] + h [ a2 + b2x + c2x2 ] = [ ka1 + ha2 ] + [ kb1 + hb2 ] x + [ kc1 + hc2 ] x2 = [ ka1 + ha2 ] + [ kb1 + hb2 ] – [ kc1 + hc2 ] = 0 k [ a1 + b1-c1 ] + h [ a2 + b2-c2 ] = 0
=> W là vecto con
+ Lập ma trận hàng + Biến đổi về dạng bậc thang
+ Dim = rank [ A ]
- Cơ sở:Lấy số vecto khác 0 của ma trận bậc thang làm cơ sở
Tìm cơ sở, số chiều của không gian con a / [ 1, – 1,2 ], [ 2,1,3 ], [ – 1,5,0 ] ⊂ R3
Xét ma trận bổ trợ sau :
Vậy dim = 3 và cơ sở là những vecto đã cho b / [ 1,1, – 4, – 3 ], [ 2,0,2, – 2 ], [ 2, – 1,3,2 ] ⊂ R4
Xét ma trận bổ trợ :
Vật dim = 3 và cơ sở là [ 1,1, – 4, – 3 ], [ 0. – 2,10,4 ], [ 0,0, – 4,2 ]
c / Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm sau :
Giải
Xét ma trận bổ trợ :
Đặt :
x1 = – a / 4
x2=-2a-8b/8
Xem thêm: Đáp án chính thức môn Vật lý thi tốt nghiệp THPT 2021
x3 = a
x4 = b
Vậy dim = 2 và cơ sở là
d / Xác định số chiều và một cơ sở của không gian nghiệm sau :
Giải
Xét ma trận bố sung
Đặt x1 = – 2 a – b x2 = – a-2b x3 = a
x4 = b
= a [ – 2, – 1,1,0 ] + b [ – 1, – 2,0,1 ] Vậy dim = 2 và cơ sở là [ – 2, – 1,1,0 ], [ – 1, – 2,0,1 ] Xem thêm : Đại số và hình giải tích Bài 1 : Số phức – bài tập và lời giải Đại số và hình giải tích Bài 2 : Ma trận – bài tập và lời giải Đại số và hình giải tích Bài 3 : Định thức ma trận – bài tập và lời giải Đại số và hình giải tích Bài 4 : Ma trận nghịch đảo – bài tập và lời giải Đại số và hình giải tích Bài 5 : Hạng của ma trận – bài tập và lời giải Đại số và hình giải tích Bài 6 : Hệ phương trình tuyến tính – bài tập và lời giải Đại số và hình giải tích Bài 7 : Độc lập tuyến tính, phụ thuộc vào tuyến tính – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 8 : Cơ sở không gian vecto – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 9: Không gian vector con – bài tập và lời giải
Xem thêm: Đáp án cho heo thi đi momo hôm nay
Đại số và hình giải tích Bài 10 : Ánh xạ tuyến tính – bài tập và lời giải Đại số và hình giải tích Bài 11 : Giá trị riêng, vector riêng – bài tập và lời giải
Đại số và hình giải tích Bài 12 : Dạng toàn phương – bài tập và lời giả i
Chào các bạn. Bài viết này mình sẽ hướng dẫn các bạn cách để chứng minh một tập hợp L là không gian con của không gian Rn và tìm 1 cơ sở của không gian con đó.
Trong các đề thi thường có 2 dạng bài tập về chứng minh không gian con. Nắm được 2 dạng bài tập này đi thi gặp bài tập về không gian con thì không phải lo nữa.
Cùng tìm hiểu thôi nào
Cho tập hợp các vecto n chiều L # rỗng. L là không gian con của không gian Rn nếu thỏa mãn hai điều kiện sau:
Điều kiện 1:
L kín với phép cộng: Nghĩa là với mọi vecto X và vecto Y bất kỳ thuộc L mà X+Y cũng thuộc L thì nó kín với phép cộng [Lát làm vd sẽ rõ hơn]
Điều kiện 2:
L kín với phép nhân: Nghĩa là với mọi vecto X thuộc L và 1 số thực a bất kì mà a.X cũng thuộc L thì nó kín với phép nhân.
Nếu 1 trong 2 điều kiện trên không thỏa mãn thì L không phải là không gian con của không gian Rn.
Cùng làm một vài vd các bạn sẽ hiểu rõ hơn.
Như đã nói ở trên. Có 2 dạng bài tập về phần này. Mình đi vào từng dạng
Vd: Cho L ={ X=[x1,x2,x3] | x2=3x1 }. Kiểm tra xem L có phải là không gian con của không gian R3 hay không?
Giải:
Có X=[0,0,0] thuộc L nên L khác rỗng
- Kiểm tra L có kín với phép cộng hay không?
Lấy X1=[x11,x21,x31] thuộc L => x21=3x11 [phương trình 1]
Lấy X2=[x12,x22,x32] thuộc L => x22=3x12 [phương trình 2]
Từ phương trình 1 và 2 => x21+x22=3[x11+x12]
Khi đó X1+X2= [x11+x12, x21+x22 ,x31+x32]
=>X1+X2 cũng thuộc L do x21+x22=3[x11+x12].
[Giải thích rõ một chút: L là tập hợp mọi vecto 3 chiều mà thành phần thứ 2 bằng 3 lần thành phần thứ nhất x2=3x1. Nên X1+X2 có thành phần thứ 2 là x21+x22= 3 lần thành phần thứ nhất x11+x12].
=> L kín với phép cộng [1]
- Kiểm tra L có kín với phép nhân hay không
với mọi số thực a ta có a.X1=[ax11,ax12,ax13]
=> aX1 cũng thuộc L do ax12=3ax11
=> L kín với phép nhân. [2]
Từ [1] và [2] => L là không gian con của không gian R3
Vd: Cho 3 vecto X1=[1,2,0,3]; X2=[2,4,1,5]; X3=[5,2,1,4]
Gọi L là tổ hợp tuyến của 3 vecto X1,X2,X3. Chứng minh L là không gian con của không gian R4
Giải:
Viết lại tập hợp L = {X=k1X1+k2X2+k3X3} với k1,k2,k3 thuộc R
- Kiểm tra L có kín với phép cộng hay không?
Lấy X1=k11.X1+k21.X2+k31.X3 thuộc L với k11,k21,k32 thuộc R
và X2=k12X1+k22X2+k32X3 thuộc L với k12,k22,k32 thuộc R
=>X1+X2 = [k11+k12]X1 + [k21+k22]X2 + [k31+k32]X3
=>X1+X2 cũng thuộc L do nó cũng là 1 tổ hợp tuyến tính của {X1,X2,X3}
=> L kín với phép cộng [1]
- Kiểm tra xem L có kín với phép nhân hay không?
Với mọi số thực a ta có a.X1=a.k11X1+ak21X2+ak31X3
=>aX1 cũng thuộc L do nó cũng là 1 tổ hợp tuyến tính của {X1,X2,X3}
=>L kín với phép nhân [2]
Từ [1] và [2] => L là không gian con của không gian R4