Ví dụ đại lượng ngẫu nhiên liên tục
|
“Biến” là cái có thể thay đổi. “Ngẫu nhiên” nghĩa là ta chưa xác định được. Một biến có thể là ngẫu nhiên với người này, nhưng không ngẫu nhiên với người khác, tùy theo lượng thông tin nhận được. Biến số ngẫu nhiên là một đại lượng phụ thuộc vào kết cục của một phép thử ngẫu nhiên. Ví dụ: Gieo một con xúc xắc, nếu gọi biến ngẫu nhiên $X =$ “số nốt trên mặt xúc xắc” thì các giá trị có thể của $X$ được viết là $X \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6.\}$ với các xác suất tương ứng (mà ta dễ dàng tính được) đều là 1/6. Về mặt hình thức, có thể định nghĩa BNN như là một hàm số có giá trị thực xác định trên không gian các sự kiện sơ cấp (sao cho nghịch ảnh của một khoảng số là một sự kiện), tức là: $$X:\Omega\to \mathbb R,$$ trong đó $\Omega$ là không gian các sự kiện sơ cấp. Để phân biệt, sau này ta kí hiệu $X, Y,\cdots$ là các BNN, còn $x, y,\cdots$ là giá trị của các BNN đó. Như vậy, $X$ mang tính ngẫu nhiên, còn $x$ là giá trị cụ thể quan sát được khi phép thử đã tiến hành. Phân loại: a) BNN được gọi là rời rạc nếu tập giá trị của nó là một tập hữu hạn hoặc vô hạn đếm được các phần tử. Ví dụ: Số điểm thi của một học sinh, số cuộc điện thoại gọi đến một tổng đài trong một đơn vị thời gian, số viên đạn trúng đích khi bắn liên tiếp $n$ viên đạn độc lập vào một mục tiêu,... b) BNN được gọi là liên tục, nếu tập giá trị của nó lấp kín một khoảng trên trục số (số phần tử của tập giá trị là vô hạn không đếm được). Ví dụ: Độ cao của một cây tại thời gian $t$ nào đó, nhiệt độ không khí ở mỗi thời điểm nào đó, độ dài của chi tiết máy, tuổi thọ của một loại thiết bị điện tử đang hoạt động,...
BIẾN NGẪU NHIÊN ( ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN) Xác suất thống kê II.1. Định nghĩa và phân loại.II.2. Biểu diễn các phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên.II.2.1 Bảng phân phối XS của BNN rời rạc.II.2.2 Hàm phân phối XS của BNN. II.2.3 Hàm mật độ XS của BNN liên tục. II.3 Một số tham số đặc trưng của BNN.II.3.1 Kz vọng toán II.3.2 Phương sai và độ lệchII.3.3 Mốt II.3.4 Trung vịII.3.5 Mômen, Hệ số bất đối xứng,Hệ số nhọn (tham khảo). II.3.7 Sử dụng máy tính bỏ túi để tính 1 số tham số đặc trưng II.4. Một số phân phối xác suất thông dụng.II.4.1 Phân phối Bernoulli.II.4.2 Phân phối nhị thức.II.4.3 Phân phối hình họcII.4.4 Phân phối siêu bội.II.4.5 Phân phối Poisson.II.4.6 Phân phối đều.II.4.7 Phân phối mũ.II.4.8 Phân phối chuẩn.II.4.9 Phân phối Student.II.4.10 Phân phối Khi Bình phương. II.4.11 Phân phối Fisher. II.5. Các định lý giới hạn. ( Từ II.5.1 đến II.5.4 : tham khảo) II.1. Định nghĩa và phân loạiĐịnh nghĩa:Một biến số được gọi là biến ngẫu nhiên ( hay còn gọi là biến ố ngẫu nhiên – random variable, đại lượng ngẫu nhiên) nếu rong kết quả của mỗi phép thử nó sẽ nhận một và chỉ một rong các giá trị có thể có của nó tùy thuộc vào sự tác động ủa các yếu tố ngẫu nhiên .Kí hiệu cho biến ngẫu nhiên: X, Y, Z , X1 , X2 …, Xn, …Các giá trị có thể có của chúng được kí hiệu bằng chữ cái in hường x, x1, x2,..,xn,.. y1, y2…. Biến X nào đó được gọi là ngẫu nhiên vì trước khi tiến hành hép thử ta chưa thể biết chắc chắn nó sẽ nhận giá trị là bao hiêu, chỉ có thể dự đoán điều đó với một xác suất nhất định. Biến ngẫu nhiên được phân làm 2 loại: * Biến ngẫu nhiên gọi là liên tục nếu các giá trị có thể có của ó lấp đầy một hay nhiều khoảng trên trục số. Như vậy đối với biến ngẫu nhiên liên tục , người ta không thể ếm được các giá trị có thể có của nó.Chiều cao của trẻ em ở một địa phương, mực nước mưa đo được au mỗi trận mưa… là một ví dụ về biến ngẫu nhiên liên tục. Nếu kí hiệu { xi ,iI } là tập các giá trị có thể có của X thì việc X nhận ột giá trị nào đó như “X= x1”, “X=x2”… thực chất là các biến cố ngẫu hiên. Hơn nữa, khi thực hiện một phép thử, X nhất định sẽ nhận một à chỉ một trong các giá trị có thể có trong tập {xi ,iI} , do đó tập tất ả các biến cố ,“X= xi” ,iI } tạo nên một nhóm biến cố đầy đủ. II.2 Biểu diễn các phân phối xác suất của BNN• Quy luật phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên là sự tương ng giữa các giá trị có thể có của nó với các XS tương ứng.• Người ta thường dùng 3 hình thức mô tả quy luật phân phối ác suất của BNN là:- Bảng phân phối xác suất (chỉ dùng cho BNN rời rạc )- Hàm mật độ xác suất (chỉ dùng cho BNN liên tục ) - Hàm phân phối xác suất (dùng cho cả 2 loại BNN ). II.2.1 Bảng phân phối xác suất của BNN rời rạc  Để biểu thị mức độ tập trung xác suất của biến ngẫu hiên liên tục trong lân cận của một điểm, người ta đưa vào hái niệm hàm mật độ xác suất . Khi x thay đổi thì xác suất của biến cố “ X < x ” cũng thay đổi heo. Ta định nghĩa 0 phản ánh mức độ tập trung xác suất của BNN X ở về hía bên trái của số thực x0 Các tính chất của hàm phân phối xác suất :
Một hộp gồm 7 bi trắng và 3 bi xanh cùng cỡ . Lấy ra ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số bi xanh trong các bi được lấy a. a) Lập bảng phân phối XS của X. b) Gọi F(x) là hàm phân phối XS của X.Tìm F(-1); F(2); F(2,3) và biểu thức F(x). c) Vẽ đồ thị hàm phân phối XS của X. d) Tính E(X); E(X2); D(X); Mod(X); Med(X), e) Tính E(2X+1); E(3X2+5). Hướng dẫn: a) Các giá trị X có thể nhận được là , 0; 1; 2; 3}.
P(X=2) XS CÓ 2 bi xanh trong 3 bi được lấy ra P(X=3) Xác suất cả 3 bi lấy ra đều có màu xanh Bảng phân phối xác suất của X:Một người tung cùng lúc 2 con xúc xắc cho đến khi được tổng ố chấm trên 2 con xúc xắc lớn hơn 10 thì dừng lại. Gọi Y là số ần người đó đã tung xúc xắc. a) Hãy lập bảng phân phối xác suất của Y. b) Tìm P( 2 < Y^2 < 10). c) Trung bình người đó phải tung bao hiêu lần để được tổng số chấm trên 2 on xúc xắc lớn hơn 10? a) Gọi Bi là b/c lần tung thứ i được tổng số chấm > 10; i=1,2.. b) Tính e) Tính E(X); D(X). Hướng dẫn: Xem tiếp biến ngẫu nhiên |
