Video hướng dẫn giải - bài 82 trang 33 sgk toán 8 tập 1

LG a.

\({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y\);

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Hằng đẳng thức bình phương một hiệu.

- Tính chất:\({\left( {A - B} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi số thực \(A,B\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({x^2} - 2xy + {y^2} + 1\)

\(= \left( {{x^2} - 2xy + {y^2}} \right) + 1\)

\(={\left( {x - y} \right)^2} + 1 \)

Do \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x, y\).

Nên\({\left( {x - y} \right)^2} +1\ge 1>0\)với mọi \(x, y\).

Vậy\({x^2} - 2xy + {y^2} + 1 > 0\) với mọi số thực \(x\) và \(y\).

LG b.

\(x - {x^2} - 1 < 0\) với mọi số thực \(x\).

Phương pháp giải:

Áp dụng:

- Hằng đẳng thức bình phương một hiệu.

- Tính chất:\({\left( {A - B} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi số thực \(A,B\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(x - {x^2} - 1\)

\(= - \left( {{x^2} - x + 1} \right)\)

\(= - \left[ {{x^2} - 2.x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + \dfrac{3}{4}} \right]\)

\(= - \left[ {{x^2} - 2x.\dfrac{1}{2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2}} \right] - \dfrac{3}{4}\)

\(= - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4} \)

Do \({\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0\) với mọi \(x\) nên\(- {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \leqslant 0\) với mọi \(x\).

Suy ra \(- {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{3}{4}\le - \dfrac{3}{4}<0\)với mọi \(x\),

Vậy\(x - {x^2} - 1 < 0\) với mọi số thực \(x\).