Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A(2 0)

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh là một trong những dạng bài tập phổ biến trong hình học 10. Thực chât đây cũng là dạng viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm cho trước.

Nội dung bài viết này sẽ hướng dẫn các em các bước cơ bản để viết phương trình đường thẳng ngoại tiếp tam giác ABC [viết phương trình đường tròn [C] đi qua 3 điểm].

Bạn đang xem: Cách viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC – Toán lớp 10 chuyên đề

Cho đường tròn [C] đi qua ba điểm A, B và C. Viết phương trình đường tròn [C] đi qua ba điểm này ta làm như sau:

° Bước 1: Gọi phương trình đường tròn [C] có dạng: x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 [*] [với a2 + b2 – c > 0].

° Bước 2: Do các điểm A, B và C thuộc đường tròn [C] nên ta thay tọa độ các điểm A, B và C  này vào phương trình [*], ta được ba phương trình bậc nhất 3 ẩn là a; b; c.

° Bước 3: Ta giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c được các giá trị cụ thể ta thay trở lại phương trình đường tròn.

* Ví dụ 1: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A[2; 1] ; B[2; 5] và C[-2; 1].

> Lời giải:

– Gọi phương trình đường tròn [C] có dạng:

 x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 [với a2 + b2 – c > 0]

Vì các đỉnh A ∈ [C] nên ta có: 4 + 1 – 4a – 2b + c = 0

 ⇔ 4a + 2b – c = 5 [1]

Vì các đỉnh B ∈ [C] nên ta có: 4 + 25 – 4a -10b + c = 0

 ⇔ 4a + 10b – c = 29 [2]

Vì các đỉnh C ∈ [C] nên ta có: 4 + 1 + 4a – 2b + c = 0

 ⇔ 4a – 2b + c = -5 [3]

Giải hệ lập từ [1], [2] và [3] ta được:

 a = 0; b = 3; c = 1;

Vậy phương trình đường tròn [C] là:

x2 + y2  – 6y + 1 = 0 

* Ví dụ 2: Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết A[1; -2]; B[-3; 0]; C[2; -2].

> Lời giải:

– Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là [C] dạng:

 x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 [với a2 + b2 – c > 0]

Do ba điểm A[1; -2]; B[-3; 0]; C[2; -2] thuộc đường tròn nên ta có:

 

Vậy phương trình đường tròn [C] ngoại tiếp tam giác ABC là:

 x2 + y2 – 3x – 8y – 18 = 0

* Ví dụ 3: Viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A[2; 1]; B[3; 4] và C[-1; 2].

> Lời giải:

– Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là [C] có dạng:

 x2 + y2 – 2ax – 2by + c = 0 [với a2 + b2 – c > 0]

Do ba điểm A[2; 1]; B[3; 4] và C[-1; 2] thuộc đường tròn nên ta có:

 

 

Vậy phương trình đường tròn [C] đi qua 3 điểm A, B và C là:

 x2 + y2 – 2x – 6y + 5 = 0

Trên đây Đông Đô đã giới thiệu với các em Cách viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Hy vọng bài viết giúp các em hiểu rõ hơn. Nếu có câu hỏi hay góp ý các em hãy để lại bình luận dưới bài viết, KhoiA chúc các em thành công.

Đăng bởi: Đại Học Đông Đô

Chuyên mục: Lớp 10

Bài toán: Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A[\[[x_A,y_A]\]], B[\[[x_B,y_B]\]], C[\[[x_C,y_C]\]]

Lý thuyết

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi biết tọa độ 3 đỉnh.

1. Thay tọa độ mỗi đỉnh vào phương trình với ẩn a,b,c [Bởi các đỉnh thuộc đường tròn ngoại tiếp, nên tọa độ các đỉnh thỏa mãn phương trình đường tròn ngoại tiếp cần tìm]
2. Giải hệ phương trình tìm a,b,c
3. Thay giá trị a,b,c tìm được vào phương trình tổng quát ban đầu => phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

Do \[A,B,C\in [C]\] nên ta có hệ phương trình:

\[\left\{\begin{matrix} x_A^2+y_A^2-2ax_A-2by_A+c=0 & \\ x_B^2+y_B^2-2ax_B-2by_B+c=0 & \\ x_C^2+y_C^2-2ax_C-2by_C+c=0 & \end{matrix}\right.\]

Giải hệ phương trình trên ta tìm được a, b, c.

Thay a, b, c vừa tìm được vào phương trình [C] ta có phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác cần tìm.

Bài toán trên là một trường hợp của bài toán viết phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng.

>> Xem thêm: Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm không thẳng hàng

Ví dụ

Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác A, B, C biết  A[-1;2] B[6;1] C[-2;5]

Giải: Gọi phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có dạng:

[C] \[x^2+y^2-2ax-2by+c=0\]

Do A, B, C cùng thuộc đường tròn nên thay tọa độ A, B, C lần lượt vào phương trình đường tròn [C] ta được hệ phương trình:

\[\left\{\begin{matrix} 2a – 4b + c = -5 & \\ 12a + 2b – c = 37 & \\ 4a – 10b + c = -29 & \end{matrix}\right.\]

Giải hệ ta được a = 3, b = 5, c = 9

=> Phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tâm I [3;5] bán kính R = 5 là:

\[x^2 + y^2 – 6x – 10y + 9 = 0\] hoặc \[[x – 3]^2 + [y – 5]^2 = 25\]

>> Xem thêm: Phương trình tiếp tuyến của đường tròn và các dạng bài tập – Toán học 12

Trên đây là bài tổng hợp kiến thức viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác. Nếu có băn khoăn, thắc mắc hay đóng góp ý kiến xây dựng bài viết các bạn để lại bình luận bên dưới nha. Cảm ơn các bạn, đừng quên chia sẻ nếu thấy hay nhé 0].

2/ Bước 2: Do điểm A; B và C thuộc đường tròn nên thay tọa độ điểm A; B và C vào [*] ta được phương trình ba phương trình ẩn a; b; c.

3/ Bước 3: giải hệ phương trình ba ẩn a; b; c ta được phương trình đường tròn.

Ví dụ 1: Tâm của đường tròn qua ba điểm A[ 2; 1] ; B[ 2; 5] và C[ -2; 1] thuộc đường thẳng có phương trình

A. x - y + 3 = 0.    B. x + y - 3 = 0    C. x - y - 3 = 0    D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn [C] có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 [ a2 + b2 – c > 0]

⇒ I[ 0; 3]

Vậy tâm đường tròn là I[ 0; 3] .

Lần lượt thay tọa độ I vào các phương trình đường thẳng thì chỉ có đường thẳng

x - y + 3 = 0 thỏa mãn.

Chọn A.

Ví dụ 2. Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A[ 0; 4]; B[ 2; 4] và C[ 4; 0]

A. [0; 0]    B. [1; 0]    C. [3; 2]    D. [1; 1]

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn [C] có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 [ a2 + b2 –c > 0]

Do 3 điểm A; B; C thuộc [C] nên

Vậy tâm I[ 1; 1]

Chọn D.

Quảng cáo

Ví dụ 3. Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A[0; 4]; B[3; 4]; C[3; 0].

A. 5    B. 3    C. √6,25    D. √8

Hướng dẫn giải

Phương trình đường tròn [C] có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 [ a2 + b2 – c > 0]

Do 3 điểm A; B; C thuộc [C] nên

Vậy bán kính R =

= √6,25.

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC có A[-2; 4]; B[5; 5] và C[6; -2]. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có phương trình là:

A. x2 + y2 - 2x - y + 20 = 0    B. [x - 2]2 + [y - 1]2 = 20

C. x2 + y2 - 4x - 2y + 20 = 0    D. x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0

Lời giải

Gọi đường tròn ngoại tiếp tam giác là [ C]: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 [a2 + b2 - c > 0 ]

Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:

Vậy đường tròn [ C] cần tìm: x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0

Chọn D.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC có A[1; -2]; B[-3; 0]; C[2; -2] . Biết tam giác ABC nội tiếp đường tròn [ C]. Tính bán kính đường tròn đó?

A. 5    B. 6    C.

   D. √37

Lời giải

Gọi tam giác nội tiếp đường tròn [ C] có phương trình là

x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 [a2 + b2 - c > 0 ]

Do ba điểm A; B và C thuộc đường tròn là:

⇒ Bán kính đường tròn [ C] là R =

Chọn C.

Ví dụ 6: Tâm của đường tròn qua ba điểm A[ 2; 1]; B[ 2; 5] ; C[ -2; 1] thuộc đường thẳng có phương trình

A. x - y + 3 = 0    B. x - y - 3 = 0    C. x + 2y - 3 = 0    D. x + y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Gọi phương trình [ C] có dạng: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 [a2 + b2 + c > 0 ] . Tâm I [a; b]

⇒ I[0; 3]

Lần lượt thế tọa độ I vào các phương trình để kiểm tra thì điểm I thuộc đường thẳng

x - y - 3 = 0

Chọn B.

Quảng cáo

Ví du 7: Cho tam giác ABC có A[2; 1]; B[ 3; 4] và C[-1; 2]. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?

A.

   B. 2√2    C. √10    D.

Lời giải

Ta có: AB→[ 1; 3]và AC→[-3; 1 ]

⇒ AB→. AC→ = 1.[-3] + 3.1 = 0

⇒ AB vuông góc AC nên tam giác ABC vuông tại A.

⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền BC.

+ Tọa độ tâm I- trung điểm của BC là:

⇒ Khoảng cách OI =

= √10

Chọn C.

Ví dụ 8 : Đường tròn nào dưới đây đi qua 2 điểm A[1 ; 0] ; B[ 3 ; 4] ?

A. x2 + y2 + 8x - 2y - 9 = 0    B. x2 + y2 - 3x - 16 = 0

C. x2 + y2 - x + y = 0    D. x2 + y2 - 4x - 4y + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Thay tọa độ hai điểm A và B vào các phương án:

Điểm B[ 3; 4] không thuộc đường tròn A.

Điểm A[1; 0] không thuộc đường tròn B.

Điểm B[3; 4] không thuộc đường tròn C.

Điểm A; B cùng thuộc đường tròn D.

Chọn D.

Câu 1: Gọi I[ a; b] tâm đường tròn đi qua 3 điểm A[1; 2] ;B[ 0;4] và C[- 2; -1].
Tính a + b

A. -2    B. 0    C. 2    D. 4

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi phương trình đường tròn [ C] cần tìm có dạng:

x2 + y2 - 2ax – 2by + c= 0 [a2 + b2 - c > 0]

Do A, B , C thuộc đường tròn nên:

Vậy tâm đường tròn là I[ 1 ; 1] và a + b = 0

Câu 2: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A[ -2; 4]; B[ 1; 0] và C [ 2;- 3]

A.

   B.    C. √10    D.

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi phương trình đường tròn [ C] đi qua 3 điểm A; B và C là:

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 [ a2 + b2 - c > 0 ]

Do A; B và C thuộc đường tròn [ C] nên :

Vậy bán kính đường tròn [ C]: =

=

Câu 3: Tìm tọa độ tâm đường tròn đi qua 3 điểm A[0; 5] ;B[ 3; 4] và C[ -4; 3].

A. [-6; -2]    B. [-1; -1]    C. [3; 1]    D. [0; 0]

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là

[ C]: x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 [ a2 + b2 - c > 0]

Do ba điểm A, B và C thuộc [ C] nên

Vậy tâm của đường tròn [ C] là I[0; 0].

Câu 4: Tìm bán kính đường tròn đi qua 3 điểm A[0 ; 0] ; B[0 ; 6] ; C[ 8 ;0] .

A. 6    B. 5    C. 10    D. √5

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Gọi đường tròn đi qua 3 điểm A, B và C là :

[ C]: x2 + y2 - 2ax – 2by + c = 0 [ a2 + b2 - c > 0 ]

Do 3 điểm đó thuộc [ C] nên

⇒ bán kính R =

= 5

Câu 5: Đường tròn đi qua 3 điểm O[0; 0] ;A[a; 0] và B[0; b] có phương trình là

A. x2 + y2 - 2ax - by = 0    B. x2 + y2 - ax - by + xy = 0

C. x2 + y2 - ax - by = 0    D. x2 + y2 - ay + by = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có : OA→[ a; 0]; OB→[ 0; b] ⇒ OA→.OB→ = a.0 + 0.b = 0

⇒ Hai đường thẳng OA và OB vuông góc với nhau.

⇒ tam giác OAB vuông tại O nên tâm I của đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là trung điểm I[

;

] và bán kính R =

Phương trình đường tròn đi qua 3 điểm O; A; B là

⇔ x2 + y2 - ax - by = 0

Câu 6: Đường tròn đi qua 3 điểm A[11; 8] ; B[13; 8]; C[14; 7] có bán kính R bằng

A. 2    B. 1    C. √5    D. √2

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Gọi phương trình đường tròn cần tìm có dạng:

x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 [ với a2 + b2 - c > 0].

Đường tròn đi qua 3 điểm A[11; 8]; B[13; 8] và C[ 14; 7] nên ta có:

Ta có R = = √5

Vậy phương trình đường tròn đi qua 3 điểm A: B và C có bán kính là R = √5 .

Câu 7: Đường tròn đi qua 3 điểm A[1;2] ; B[-2; 3]; C[4; 1] có tâm I có tọa độ là

A. [0; -1]    B. [0; 0]

C. Không có đường tròn đi qua 3 điểm đã cho.    D. [3;

]

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có: AB→ [3; -1], BC→ [6; -2] ⇒ BC→ = 2AB→

⇒ 3 điểm A, B và C thẳng hàng.

Vậy không có đường tròn qua 3 điểm A, B và C.

Câu 8: Cho tam giác ABC có A[2; 1]; B[ 5; 5] và C[1; 8]. Gọi I là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính OI?

A.    B.

   C.    D.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có: AB→[ 3; 4] và BC→[ -4; 3]

⇒ AB→.BC→ = 3.[-4] + 4.3 = 0

⇒ AB vuông góc BC nên tam giác ABC vuông tại B.

⇒ Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là trung điểm của cạnh huyền AC.

+ Tọa độ tâm I- trung điểm của AC là:

⇒ Khoảng cách OI =

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Đã có lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp