Z + 1 + i z - 2 3i đạt giá trị nhỏ nhất

Hay nhất

Chọn C

Đặt \[z=z+yi,\, \, \left[x,y\in {\rm R}\right]\]
\[\left|z+i\right|=2\Leftrightarrow x^{2} +\left[y-1\right]^{2} =4\]

\[\Leftrightarrow x^{2} +y^{2} +2y=3\Leftrightarrow 3x^{2} +3y^{2} +6y=9\]

\[\Rightarrow x^{2} +y^{2} +9=4x^{2} +4y^{2} +6y\]
Cách 1:
\[P=\left|z+i-4\right|+2\left|z+3i-3\right|\]

\[=\sqrt{\left[x-4\right]^{2} +\left[y+1\right]^{2} } +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} }\]
\[=\sqrt{x^{2} +y^{2} -8x+2y+17} +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \]
\[=\sqrt{x^{2} +y^{2} +9-8x+2y+8} +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} }\]
\[=\sqrt{4x^{2} +4y^{2} +6y-8x+2y+8} +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \]
\[=2\sqrt{\left[x-1\right]^{2} +\left[y+1\right]^{2} } +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} }\]
\[=2\left[\sqrt{\left[x-1\right]^{2} +\left[y+1\right]^{2} } +\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \right]\]
Áp dụng bất đẳng thức Mincoski:

\[\sqrt{a^{2} +b^{2} } +\sqrt{c^{2} +d^{2} } \ge \sqrt{\left[a+c\right]^{2} +\left[b+d\right]^{2} } \]
\[\Rightarrow P\ge 2\sqrt{\left[x-1+3-x\right]^{2} +\left[y+1-y-3\right]^{2} } =4\sqrt{2} .\]
Vậy \[MinP=4\sqrt{2} .\]

Cách 2:

Đặt\[ z=z+yi,\, \, \left[x,y\in {\rm R}\right]\]

\[\left|z+i\right|=2\Leftrightarrow x^{2} +\left[y-1\right]^{2} =4\]

\[\Rightarrow\] tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z

là đường tròn \[\left[C\right]\] có tâm \[I\left[0;-1\right]\], bán kính R=2.
\[P=\left|z+i-4\right|+2\left|z+3i-3\right|\]

\[=\sqrt{\left[x-4\right]^{2} +\left[y+1\right]^{2} } +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \]

\[=2\sqrt{\left[x-1\right]^{2} +\left[y+1\right]^{2} } +2\sqrt{\left[x-3\right]^{2} +\left[y+3\right]^{2} } \]
Gọi \[A\left[1;-1\right],\, B\left[3;-3\right]\]

Nhận thấy A nằm trong đường tròn \[\left[C\right]\],

B nằm ngoài đường tròn\[ \left[C\right]\]

\[\Rightarrow P=2\left[MA+MB\right]\ge 2AB=4\sqrt{2}\] .

Dấu ``='' xảy ra khi M thuộc đoạn AB.

Câu hỏi:
Xét các số phức \[z,\] \[{\rm{w}}\] thỏa mãn \[\left| z \right| = 2\] và \[\left| {i.\overline w } \right| = 1\]. Khi \[\left| {iz + w + 3 – 4i} \right|\] đạt giá trị nhỏ nhất, \[\left| {z – {\rm{w}}} \right|\] bằng

A. \[\sqrt 5 \].

B. \[\frac{{\sqrt {29} }}{5}\].

C. \[3\].

D. \[\frac{{\sqrt {221} }}{5}\].

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Cách 1:

Ta có \[\left| {iz + w + 3 – 4i} \right| \ge \left| {3 – 4i} \right| – \left| {iz + w} \right| \ge 5 – \left[ {\left| {iz} \right| + \left| w \right|} \right] \ge 5 – \left[ {2 + 1} \right] = 2\]

Dấu bằng xảy ra khi \[\left\{ \begin{array}{l}w = {k_1}\left[ {3 – 4i} \right]\,\,khi\,\,\left[ {{k_1} < 0} \right]\\i.z = {k_2}\left[ {3 – 4i} \right]\,\,khi\,\,\left[ {{k_2} < 0} \right]\end{array} \right.\,\,\] và \[\left\{ \begin{array}{l}\left| w \right| = \left| {i\overline w } \right| = 1\,\,\\\left| {iz} \right|\, = \left| z \right| = 2\,\end{array} \right.\,\,\].

Giải hệ trên suy ra \[{k_2} = – \frac{2}{5}\]; \[{k_1} = – \frac{1}{5}\].

Hay \[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}w = – \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i\,\,\\iz = \frac{{ – 2}}{5}\left[ {3 – 4i} \right]\end{array} \right.\,\,\\ \Rightarrow – z = \frac{{ – 2i}}{5}\left[ {3 – 4i} \right] \Rightarrow z = – \frac{8}{5} – \frac{6}{5}i\end{array}\]

Khi đó \[z – w = – 1 – 2i\] \[ \Rightarrow \left| {z – {\rm{w}}} \right| = \sqrt 5 \].

Cách 2:

Trong mặt phẳng \[Oxy\]:

Gọi \[M\] là điểm biểu diễn của số phức \[iz\] \[ \Rightarrow OM = 2\] \[ \Rightarrow \] \[M\] thuộc đường tròn \[\left[ {{C_1}} \right]\] tâm \[O\] bán kính \[{R_1} = 2\].

Gọi \[N\] là điểm biểu diễn của số phức \[w\] \[ \Rightarrow ON = 1\] \[ \Rightarrow \] \[N\] thuộc đường tròn \[\left[ {{C_2}} \right]\] tâm \[O\] bán kính \[{R_2} = 1\].

Gọi \[E\left[ {3; – 4} \right]\]. Khi đó \[A = \left| {iz + w + 3 – 4i} \right|\] \[ = \left| {\overrightarrow {OM} + \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OE} } \right|\].

Ta thấy \[A\] đạt giá trị nhỏ nhất khi \[M,\] \[N,\] \[E\] thẳng hàng và \[\overrightarrow {OM} \] và \[\overrightarrow {ON} \] ngược hướng với \[\overrightarrow {OE} \]

Đường thẳng \[OE\] có phương trình là \[y = \frac{{ – 4}}{3}x\].

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \[OE\] và đường tròn \[\left[ {{C_1}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {y^2} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {\left[ {\frac{{ – 4}}{3}x} \right]^2} = 4\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\25{x^2} = 36\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{6}{5}\\y = \frac{{ – 8}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{6}{5}\\y = \frac{8}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\].

Vậy \[M\left[ { – \frac{6}{5};\frac{8}{5}} \right]\].

Tọa độ giao điểm của đường thẳng \[OE\] và đường tròn \[\left[ {{C_2}} \right]\] là nghiệm của hệ phương trình:

\[\left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {y^2} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\{x^2} + {\left[ {\frac{{ – 4}}{3}x} \right]^2} = 1\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \frac{{ – 4}}{3}x\\25{x^2} = 9\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = \frac{3}{5}\\y = \frac{{ – 4}}{5}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = – \frac{3}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.\end{array} \right.\]

Vậy \[N\left[ { – \frac{3}{5};\frac{4}{5}} \right]\].

Do đó: \[w = – \frac{3}{5} + \frac{4}{5}i\] và \[i.z = – \frac{6}{5} + \frac{8}{5}i \Leftrightarrow z = – \frac{8}{5} – \frac{6}{5}i\].

Vậy \[\left| {z – {\rm{w}}} \right| = \left| { – 1 – 2i} \right| = \sqrt 5 \].

=======

Lời giải của GV Vungoi.vn

Đặt \[z = a + bi\,\,\left[ {a,\,\,b \in \mathbb{R}} \right]\]

Theo bài ra ta có:

\[\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {i\left[ {a + bi} \right] - 3} \right| = \left| {a + bi - 2 - i} \right|\\ \Leftrightarrow \left| {\left[ { - 3 - b} \right] + ai} \right| = \left| {\left[ {a - 2} \right] + \left[ {b - 1} \right]i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left[ {b + 3} \right]^2} + {a^2} = {\left[ {a - 2} \right]^2} + {\left[ {b - 1} \right]^2}\\ \Leftrightarrow {b^2} + 6b + 9 + {a^2} = {a^2} - 4a + 4 + {b^2} - 2b + 1\\ \Leftrightarrow 4a + 8b + 4 = 0\\ \Leftrightarrow a + 2b + 1 = 0\\ \Leftrightarrow a =  - 2b - 1\end{array}\]

Ta có:

\[\begin{array}{l}\left| z \right| = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {{{\left[ {2b + 1} \right]}^2} + {b^2}} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{b^2} + 4b + 1}  = \sqrt {5\left[ {{b^2} + \dfrac{4}{5}b} \right] + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5\left[ {{b^2} + 2.b.\dfrac{2}{5} + \dfrac{4}{{25}}} \right] - \dfrac{4}{5} + 1} \\\,\,\,\,\,\, = \sqrt {5{{\left[ {b + \dfrac{2}{5}} \right]}^2} + \dfrac{1}{5}}  \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{5}\end{array}\]

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \[b =  - \dfrac{2}{5} \Rightarrow a =  - \dfrac{1}{5}.\]

Vậy \[{\mathop{\rm Re}\nolimits} z = a =  - \dfrac{1}{5}\].