- LG a
- LG b
Giải các hệ phương trình sau:
LG a
\[\left\{ \begin{array}{l}x\sqrt 5 - \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y = 1\\\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x + y\sqrt 5 = 1\end{array} \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Lời giải chi tiết:
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \[\sqrt 5 \] , ta được \[5.x - \sqrt 5 \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]y = \sqrt 5 \]
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \[\left[ {1 + \sqrt 3 } \right]\], ta được \[ - 2x + y\sqrt 5 \left[ {1 + \sqrt 3 } \right] = \left[ {1 + \sqrt 3 } \right]\]
Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có \[3x = 1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 \] suy ra \[x = \dfrac{{1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }}{3}\]
Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với \[1 - \sqrt 3 \] , ta được \[x\sqrt 5 \left[ {1 - \sqrt 3 } \right] + 2y = 1 - \sqrt 3 \]
Nhân hai vế của phương trình thứ hai với \[ - \sqrt 5 \] , ta được \[ - \sqrt 5 \left[ {1 - \sqrt 3 } \right]x - 5y = - \sqrt 5 \]
Cộng từng vế của hai phương trình mới nhận được, ta có \[ - 3y = 1 - \sqrt 5 - \sqrt 3 \] suy ra \[x = \dfrac{{ - 1 + \sqrt 5 + \sqrt 3 }}{3}\]
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left[ {x;y} \right] = \left[ {\dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 + 1}}{3};\dfrac{{\sqrt 5 + \sqrt 3 - 1}}{3}} \right]\]
LG b
\[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{2x}}{{x + 1}} + \dfrac{y}{{y + 1}} = \sqrt 2 \\\dfrac{x}{{x + 1}} + \dfrac{{3y}}{{y + 1}} = - 1\end{array} \right.\]
Phương pháp giải:
Sử dụng cách giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Ta đặt \[u = \dfrac{x}{{x + 1}};\,v = \dfrac{y}{{y + 1}}\]
Lời giải chi tiết:
Với điều kiện \[x + 1 \ne 0\] và \[y + 1 \ne 0\] đặt \[u = \dfrac{x}{{x + 1}};\,v = \dfrac{y}{{y + 1}}\] ta được hệ phương trình
[I] \[\left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\u + 3v = - 1\end{array} \right.\]
Giải [I]:
\[\left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\u + 3v = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2u + v = \sqrt 2 \\2u + 6v = - 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 5v = \sqrt 2 + 2\\u + 3v = - 1\end{array} \right. \\\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\\u - 3.\dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5} = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\\u - \dfrac{{6 + 3\sqrt 2 }}{5} = - 1\end{array} \right.\]
Do đó, hệ phương trình đã cho tương đương với hệ sau:
[II] \[\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{x}{{x + 1}} = \dfrac{{1 + 3\sqrt 2 }}{5}\\\dfrac{y}{{y + 1}} = - \dfrac{{2 + \sqrt 2 }}{5}\end{array} \right.\]
Giải [II], ta được:
\[\displaystyle \left\{ \matrix{
{x \over {x + 1}} = {{1 + 3\sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr
{y \over {y + 1}} = {{ - 2 - \sqrt 2 } \over 5} \hfill \cr} \right.\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = \left[ {x + 1} \right]\left[ {{{1 + 3\sqrt 2 } \over 5}} \right] \hfill \cr
y = \left[ {y + 1} \right]{{ { - 2 - \sqrt 2 } } \over 5} \hfill \cr} \right.\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5{\rm{x}} = \left[ {x + 1} \right]\left[ {1 + 3\sqrt 2 } \right] \hfill \cr
5y = \left[ {y + 1} \right]\left[ { - 2 - \sqrt 2 } \right] \hfill \cr} \right.\]
\[\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x = x\left[ {3\sqrt 2 + 1} \right] + 3\sqrt 2 + 1\\
5y = y\left[ { - 2 - \sqrt 2 } \right] - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x - \left[ {3\sqrt 2 + 1} \right]x = 3\sqrt 2 + 1\\
5y - \left[ { - 2 - \sqrt 2 } \right]y = - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ {4 - 3\sqrt 2 } \right]x = 3\sqrt 2 + 1\\
\left[ {7 + \sqrt 2 } \right]y = - 2 - \sqrt 2
\end{array} \right.
\end{array}\]
\[\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {{1 + 3\sqrt 2 } \over {4 - 3\sqrt 2 }} \hfill \cr
y = {{-2 - \sqrt 2 } \over {7 + \sqrt 2 }} \hfill \cr} \right.\]
\[\displaystyle \begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{\left[ {3\sqrt 2 + 1} \right]\left[ {4 + 3\sqrt 2 } \right]}}{{\left[ {4 - 3\sqrt 2 } \right]\left[ {4 + 3\sqrt 2 } \right]}}\\
y = \dfrac{{\left[ { - 2 - \sqrt 2 } \right]\left[ {7 - \sqrt 2 } \right]}}{{\left[ {7 + \sqrt 2 } \right]\left[ {7 - \sqrt 2 } \right]}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = \dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2}\,[tmđk]\\
y = \dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}\,[tmđk]
\end{array} \right.
\end{array}\]
Kết luận : Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất \[\left[ {x;y} \right] \]\[=\displaystyle \left[ {\dfrac{{ - 22 - 15\sqrt 2 }}{2};\dfrac{{ - 12 - 5\sqrt 2 }}{{47}}} \right]\]