Bài 86 sbt toán 9 tập 1 trang 172 năm 2024
|
Cho đường tròn \((O),\) đường kính \(AB,\) điểm \(C\) nằm giữa \(A\) và \(O.\) Vẽ đường tròn \((O')\) có đường kính \(CB.\) \(a)\) Hai đường tròn \((O)\) và \((O')\) có vị trí tương đối như thế nào đối với nhau \(?\) \(b)\) Kẻ dây \(DE\) của đường tròn \((O)\) vuông góc với \(AC\) tại trung điểm \(H\) của \(AC.\) Tứ giác \(ADCE\) là hình gì \(?\) Vì sao\(?\) \(c)\) Gọi \(K\) là giao điểm của \(DB\) và đường tròn \((O').\) Chứng minh rằng ba điểm \(E, C, K\) thẳng hàng. \(d)\) Chứng minh rằng \(HK\) là tiếp tuyến của đường tròn \((O').\) Phương pháp giải - Xem chi tiết Sử dụng kiến thức: +) Nếu \(OO' = R – r\) thì đường tròn \((O)\) và đường tròn \((O')\) tiếp xúc trong. +) Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. +) Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường là hình bình hành. +) Hình bình hành có hai đường chéo vuông góc là hình thoi. +) Để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng minh ba điểm xác định được hai đường thẳng cung vuông góc với một đường thẳng thứ ba. +) Trong tam giác vuông, đường trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền. +) Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn. Lời giải chi tiết \(a)\) Vì \(O, O'\) và \(B\) thẳng hàng nên: \(O'B < OB\)\( ⇒ O'\) nằm giữa \(O\) và \(B\) Ta có: \(OO' = OB - O'B\) Vậy đường tròn \((O')\) tiếp xúc trong với đường tròn \((O)\) tại \(B.\) \(b)\) Ta có: \(HA = HC \;\;(gt)\) \(AB ⊥ DE\;\; (gt)\) Suy ra: \(HD = HE\) (đường kính vuông góc với dây cung) Tứ giác \(ADCE\) có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. Lại có: \(AC ⊥ DE\) Suy ra tứ giác \(ADCE\) là hình thoi. \(c)\) Tam giác \(ABD\) nội tiếp trong đường tròn \((O)\) có \(AB\) là đường kính nên vuông tại \(D.\) Suy ra: \(AD ⊥ BD\) Tứ giác \(ADCE\) là hình thoi nên \(EC // AD\) Suy ra: \( EC ⊥ BD \;\;\; (1)\) Tam giác \(BCK\) nội tiếp trong đường tròn \((O')\) có \(BC\) là đường kính nên vuông tại \(K.\) Suy ra: \(CK ⊥ BD\;\;\; (2)\) Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(EC\) trùng với \(CK\) Vậy \(E, C, K\) thẳng hàng. \(d)\) Tam giác \(DEK\) vuông tại \(K\) có \(KH\) là trung tuyến thuộc cạnh huyền \(DE\) nên: \(HK = HE = \displaystyle{1 \over 2}DE\) (tính chất tam giác vuông) Suy ra tam giác \(EHK\) cân tại \(H\) Suy ra: \(\widehat {HEK} = \widehat {HKE}\) (tính chất tam giác cân) \((3)\) Ta có: \(O'K = O'C (= R)\) nên tam giác \(O'CK\) cân tại \(O'\) Suy ra: \(\widehat {O'KC} = \widehat {O'CK}\) (tính chất tam giác cân) Mà: \(\widehat {O'CK} = \widehat {HCE}\) (đối đỉnh) Suy ra: \(\widehat {O'KC} = \widehat {HCE}\) \( (4)\) Từ \((3)\) và \((4)\) suy ra: \(\widehat {HKO'} = \widehat {HKE} + \widehat {O'KC}\)\( = \widehat {HEK} + \widehat {HCE}\) \((5)\) Bài 85 trang 172 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn. Vẽ điểm N đối xứng với A qua M. BN cắt đường tròn ở C. Gọi E là giao điểm của AC và Bm.
Lời giải:
Suy ra: AN ⊥ BM Tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có AB là đường kính nên vuông tại C Suy ra: AC ⊥ BN Tam giác ABN có hai đường cao AC và BM cắt nhau tại E nên E là trọng tâm của tam giác ABN Suy ra: NE ⊥ AB
ME = MF (tính chất đối xứng tâm) Tứ giác AENF có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành Suy ra: AF // NE Mà NE ⊥ AB (chứng minh trên) Suy ra: AF ⊥ AB tại A Vậy FA là tiếp tuyến của đường tròn (O).
Suy ra tam giác ABN cân tại B Suy ra BA = BN hay N thuộc đường tròn (B; BA) Tứ giác AFNE là hình bình hành nên AE // FN hay FN // AC Mặt khác: AC ⊥ BN (chứng minh trên) Suy ra: FN ⊥ BN tại N Vậy FN là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA) Bài 86 trang 172 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho đường tròn (O), đường kính AB, điểm C nằm giữa A và O. Vẽ đường tròn (O’) có đường kính CB
Lời giải:
Ta có: OO’ = OB - O’B Vậy đường tròn (O’) tiếp xúc với đường tròn (O) tại B
AB ⊥ DE (gt) Suy ra: HD = HE (đường kính vuông góc với dây cung) Tứ giác ADCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành Lại có: AC ⊥ DE Suy ra tứ giác ADCE là hình thoi
Suy ra: AD ⊥ BD Tứ giác ADCE là hình thoi nên EC // AD Suy ra: EC ⊥ BD (1) Tam giác BCK nội tiếp trong đường tròn (O’) có BC là đường kính nên vuông tại K Suy ra: CK ⊥ BD (2) Từ (1) và (2) suy ra EC trùng với CK Vậy E, C, K thẳng hàng.
Suy ra tam giác EHK cân tại H Bài 87 trang 172 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài tại A (R > R’). Vẽ các đường kính AOB, AO’C. Dây DE của đường tròn (O) vuông góc với BC tại trung điểm K của BC
Lời giải:
Ta có: KB = KC (gt) Trong đường tròn (O) ta có: AB ⊥ DE tại K Suy ra: KD = KE (đường kính vuông góc với dây cung) Tứ giác BDCE có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên nó là hình bình hành. Lại có: BC ⊥ DE Suy ra tứ giác BDCE là hình thoi.
Suy ra: AD ⊥ BD Tứ giác BDCE là hình thoi nên EC // BD Suy ra: EC ⊥ AD (1) Tam giác AIC nội tiếp trong đường tròn (O’) có AC là đường kính nên vuông tại I Suy ra: AI ⊥ CE (2) Từ (1) và (2) suy ra AD trùng với AI Vậy D, A, I thẳng hàng.
Suy ra tam giác IKD cân tại K Bài 88 trang 172 Sách bài tập Toán 9 Tập 1: Cho nửa đường tròn tâm O có đường kính AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc nửa đường tròn, H là chân đường vuông góc kẻ từ M đén AB. Vẽ đường tròn (M; MH). Kẻ các tiếp tuyến AC, BD với đường tròn tâm M (C và D là các tiếp điểm khác H). |
