- LG a
- LG b
Trong không gian tọa độ Oxyz cho mặt cầu
[S] :x2+ y2+z2- 10x + 2y + 26z - 113= 0
Và hai đường thẳng:
d:\[{{x + 5} \over 2} = {{y - 1} \over { - 3}} = {{z + 13} \over 2};\]
d:\[\left\{ \matrix{ x = - 7 + 3t \hfill \cr y = - 1 - 2t \hfill \cr z = 8 \hfill \cr} \right.\]
LG a
Viết phương trình mặt phẳng [P] tiếp xúc với [S] và vuông góc với d.
Lời giải chi tiết:
Ta có vectơ chỉ phương của đường thẳng d là \[\overrightarrow u = \left[ {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right].\]
Mặt phẳng [P] vuông góc với d, do đó có dạng :
\[\left[ P \right]:2x - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + D = {\rm{ }}0.\]
Mặt cầu [S] có tâm \[I = {\rm{ }}\left[ {5{\rm{ }};{\rm{ }} - 1{\rm{ }};{\rm{ }} - 13} \right]\] và bán kính R =\[\sqrt {308} \], vì vậy [P] tiếp xúc với [S] khi và chỉ khi \[d\left[ {I,\left[ P \right]} \right] = \sqrt {308} \]
\[\eqalign{ & \Leftrightarrow {{\left| {10 + 3 - 26 + D} \right|} \over {\sqrt {4 + 9 + 4} }} = \sqrt {308} \cr & \Leftrightarrow \left| {D - 13} \right| = \sqrt {17.308} \Rightarrow D = 13 \pm \sqrt {5236} . \cr} \]
Tóm lại, có hai mp[P] thoả mãn yêu cầu đầu bài là
\[2x{\rm{ }} - {\rm{ }}3y{\rm{ }} + {\rm{ }}2z{\rm{ }} + {\rm{ }}13{\rm{ }} \pm {\rm{ }}\sqrt {5236} {\rm{ }} = {\rm{ }}0.\]
LG b
Viết phương trình mặt phẳng [Q] tiếp xúc với [S] và song song với cả d, d' .
Lời giải chi tiết:
Vectơ chỉ phương của d là \[\overrightarrow u = {\rm{ }}\left[ {2{\rm{ }};{\rm{ }} - 3{\rm{ }};{\rm{ }}2} \right].\]
Vectơ chỉ phương của d' là \[\overrightarrow {u'} = {\rm{ }}\left[ {3{\rm{ }};{\rm{ }} - 2{\rm{ }};{\rm{ }}0} \right].\]
Mặt phẳng [Q] cần tìm có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow u ,\overrightarrow {u'} } \right] = {\rm{ }}\left[ {4{\rm{ }};{\rm{ }}6{\rm{ }};{\rm{ }}5} \right].\]
Vì vậy phương trình của mp[Q] có dạng : \[4x + 6y + 5z + D = 0.\]
Để [Q] tiếp xúc với [S], điều kiện là :
\[d\left[ {I,\left[ Q \right]} \right] = \sqrt {308} \Leftrightarrow {{\left| {20 - 6 - 65 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 36 + 25} }} = \sqrt {308} \]
\[ \Leftrightarrow \left| {D - 5} \right| = \sqrt {23716} = 154 \Rightarrow \left[ \matrix{ D = - 103 \hfill \cr D = 205. \hfill \cr} \right.\]
Vậy có hai mặt phẳng [Q] cần tìm :
\[\eqalign{ & 4x + 6y + 5z - 103 = 0, \cr & 4x + 6y + 5z + 205 = 0. \cr} \]