Published on May 26, 2019
"[ Toán cao cấp ] Bài tập ánh xạ tuyến tính [tt], chuỗi lũy thừa, chuỗi số và chuỗi đan dấu, không gian vecto có lời giải" //app.box.com/s/ips1j...
Đã gửi 12-10-2015 - 12:57
em đang cần lời giải gấp ạ, anh/chị ai biết làm thì dành chút thời gian chỉ em với
1. Chứng minh rằng nếu hệ vecto {X1,X1,...,XM} $\subset R^{n}$ độc lập tuyến tính và tồn tại vecto $X\in R^{n}$ không biểu diên tuyến tính qua X1, X2,..., Xm thì $m\leq n-1$
2. Chứng minh rằng nếu hệ vecto X1, X2,..., Xm phụ thuộc tuyến tính và vecto Xm không biểu diễn tuyến tính qua các vecjto X1, X2,..., Xm-1 thì hệ vecto X1, X2,..., Xm-1 phụ thuộc tuyến tính.
GV LÊ VĂN HỢPCHƯƠNG VÁNH XẠ TUYẾN TÍNHI. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN:Trong chương này, m và n là các số nguyên 1. Ta viết gọn dimRV là dimV1.1/ ĐỊNH NGHĨA: Cho ánh xạ f : Rn Rm , nghĩa là = [x1, x2, … , xn] Rn, ! f [] = [y1, y2, … , ym] R m.a] Nếu H Rn thì ảnh của H qua ánh xạ f là f [H] = { f [] | H } R mb] Nếu K R m thì ảnh ngược của K bởi ánh xạ f làf 1[K] = { Rn | f [] K } Rn.1.2/ ĐỊNH NGHĨA: Cho ánh xạ f : Rn Rm.a] f là ánh xạ tuyến tính [từ R n vào Rm ] nếu f thỏa* , Rn, f [ + ] = f [] + f [] [1]* Rn, c R, f [c.] = c.f [] [2]b] Suy ra f là ánh xạ tuyến tính nếu f thỏa, R n, c R, f [c. + ] = c.f [] + f [] [3]c] Ký hiệu L[Rn,R m] = { g : Rn Rm | g tuyến tính }Khi m = n, ta viết gọn L[Rn,Rn] = L[Rn] = { g : R n R n | g tuyến tính }.Nếu g L[R n] thì g còn được gọi là một toán tử tuyến tính trên R n.Ví dụ:a] Ánh xạ tuyến tính O : Rn Rm [ O Rn ] và toán tử tuyến tínhO : Rn Rn [ O Rn ].b] Toán tử tuyến tính đồng nhất trên R n là Id R : Rn Rn [ R n ].n43c] f : R R có f [] = [3x 8y + z 4t, 7x + 5y + 6t, 4x + y 9z t] = [x,y,z,t] R4. Ta có thể kiểm tra f thỏa [3] nên f L[R4,R 3].Thật vậy, = [x, y, z, t], = [u, v, w, h] R 4, c R, f [c. + ] == f [cx + u, cy + v, cz + w, ct + h] = [3[cx + u] 8[cy + v] + [cz + w] 4[ct + h], 7[cx + u] + 5[cy + v] + 6[ct + h], 4[cx + u] + [cy + v] 9[cz + w] [ct + h]] == c[3x 8y + z 4t, 7x + 5y + 6t, 4x + y 9z t] + [3u 8v + w 4h,7u + 5v + 6h, 4u + v 9w h] = c.f [] + f [].Ngoài ra ta có thể giải thích f L[R4,R3] do các thành phần của f [] đều làcác biểu thức bậc nhất theo các biến x, y, z và t.d] g : R3 R3 có g[] = [ 2x + 9y + 6z, 8x 5y + z, 3x + 7y 4z] = [x,y,z] R3. Ta có thể kiểm tra g thỏa [3] nên g L[R3].Thật vậy, = [x, y, z], = [u, v, w] R3, c R, g[c. + ] == g[cx + u, cy + v, cz + w] = [ 2[cx + u] + 9[cy + v] + 6[cz + w] ,8[cx + u] 5[cy + v] + [cz + w], 3[cx + u] + 7[cy + v] 4[cz + w] ] == c[ 2x + 9y + 6z, 8x 5y + z, 3x + 7y 4z] + [ 2u + 9v + 6w, 8u 5v + w,3u + 7v 4w] = c.g[] + g[].1Ngoài ra ta có thể giải thích g L[R 3] do các thành phần của g[] đều là cácbiểu thức bậc nhất theo các biến x, y và z.1.3/ TÍNH CHẤT :Cho f L [Rn,Rm]. Khi đó ,, 1, …, k Rn , c1, … , ck R, ta cóa] f [O] = O và f [ ] = f [] .b] f [c11 + + ckk] = c1f [1] + + ckf [k][ảnh của một tổ hợp tuyến tính bằng tổ hợp tuyến tính của các ảnh tương ứng]Ví dụ: Cho f L [R3,R2] và 1 , 2 , 3 R3 thỏa f [1] = [1, 3], f [2] = [2,5]và f [3] = [4, 4] . Khi đó f [0,0,0] = [0,0], f [ 1] = f [1] = [1,3] vàf [31 42 + 23] = 3f [1] 4f [2] + 2f [3] == 3[1, 3] 4[2, 5] + 2[4, 4] = [3, 37].1.4/ NHẬN DIỆN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:Cho ánh xạ f : Rn Rm.Nếu có A Mn x m[R] thỏa f [X] = X.A X Rn thì f L[R n,Rm]. Thậtvậy, X,Y R n, f [c.X + Y] = [c.X + Y].A = c.[X.A] + Y.A = c.f [X] + f [Y],nghĩa là f thỏa [3] của [1.2].Ví dụ: Xét lại các ánh xạ f : R4 R3 và g : R3 R 3 trong Ví dụ của [1.2]. 3 7 4 3 2 8 8 51 M4 x 3[R] và B = 9 5 7 M3[R].Đặt A = 10 9 6 1 4 4 6 1 Ta có f [X] = X.A X = [x,y,z,t] R 4 nên f L[R 4,R3].Ta có g[X] = X.B X = [x,y,z] R3 nên g L[R 3].1.5/ MỆNH ĐỀ: Cho f L[Rn,Rm].a] Nếu H R n thì f [H] Rm.b] Nếu [H Rn và H có cơ sở A] thì[ f [H] Rm và f [H] có tập sinh f[A] ].c] Nếu K R m thì f 1[K] Rn.1.6/ KHÔNG GIAN ẢNH CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:Cho f L[R n,Rm] và xét trường hợp đặc biệt H = Rn Rn.a] Ta có f [H] = f [Rn] = { f [] | Rn } R m.Ta đặt f [R n] = Im[f ] và gọi Im[f ] là không gian ảnh của f .b] Tìm một cơ sở cho Im[f ] : Chọn cơ sở A tùy ý của R n [ ta thường chọn Alà cơ sở chính tắc Bo ] thì < f [A] > = Im[f ]. Từ đó ta có thể tìm được mộtcơ sở cho Im[f ] từ tập sinh f [A] [ dùng [5.7] của CHƯƠNG IV ].Ví dụ: f : R4 R3 có f [X] = [x + 2y + 4z 7t, 3x 2y + 5t, 2x + y z 2t]X = [x,y,z,t] R 4. Ta kiểm tra dễ dàng f L[R 4,R3].Đặt A = Bo = { 1 = [1,0,0,0], 2 = [0,1,0,0] , 3 = [0,0,1,0] , 4 = [0,0,0,1] }2là cơ sở chính tắc của R4 thì < f [A] > = Im[f ] = f [R4].f [A] = { f [1] = [1,3,2], f [2] = [2,2,1], f [3] = [4,0,1], f [4] = [7, 5,2] }f [1 ] 1* 1 3 2 2 2 1 f [ 2 ] 0=0 4f [ 3 ] 0 1 f [ 4 ] 7 5 2 01*23 004 3 16 12 0343 2 4* 3 =0 00 0 1 20 0Im[f ] có cơ sở C = { 1 = [1,3,2], 2 = [0,4,3] } và dim[Im[f ]] = | C | = 21.7/ KHÔNG GIAN NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:Cho f L[R n,Rm] và xét trường hợp đặc biệt K = {O} Rm.a] Ta có f 1[K] = f 1[O] = { R n | f [] = O } Rn.Ta đặt f 1[O] = Ker[f ] và gọi Ker[f ] là không gian nhân của f.b] Tìm một cơ sở cho Ker[f ] : Ta thấy Ker[f ] chính là không gian nghiệm củahệ phương trình tuyến tính thuần nhất f [] = O với ẩn R n . Từ đó ta cóthể tìm được một cơ sở cho Ker[f ] [ dùng [5.8] của CHƯƠNG IV ].Ví dụ: Xét lại ánh xạ tuyến tính f trong Ví dụ [1.5].Ker[f ] ={ = [x,y,z,t] R4 | f [] = O }={ = [x,y,z,t] R4 | [x + 2y + 4z 7t, 3x 2y + 5t, 2x + y z 2t] = O }={ = [x,y,z,t] R4 | x + 2y + 4z 7t = 3x 2y + 5t = 2x + y z 2t = 0 }Ma trận hóa hệ phương trình tuyến tính trên:x y ztx y z t 1 2 4 7 3 2 0 5 2 1 1 21*00 000 247412163 9121* 000 0 1*0 00 213400000 Hệ có vô số nghiệm vói 2 ẩn tự do : z, t R, x = 2z t, y = 4t 3zKer[f ] ={ = [2z t, 4t 3z, z,t] = z[2,3,1,0] + t[1,4,0,1] | z, t R }. Như vậyKer[f ] = < D > với D = { 1 = [2,3,1,0], 2 = [1,4,0,1] } độc lập tuyến tính.Do đó Ker[f ] có một cơ sở là D = { 1, 2 } và dimKer[f ] = | D | = 2.1.8/ MỆNH ĐỀ: Cho f L[Rn,Rm]. Khi đódimKer[f ] + dimIm[f ] = dimRn = n.dimKer[f ] gọi là số khuyết của f và dimIm[f ] gọi là hạng của f.Ví dụ: Xét lại ánh xạ tuyến tính f trong Ví dụ [1.5] và [1.6].Ta có dimKer[f ] + dimIm[f ] = 2 + 2 = 4 = dimR 4.II. MA TRẬN BIỂU DIỄN ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH:2.1/ ĐỊNH NGHĨA: Cho f L[R n,Rm]. R n và Rm lần lượt có các cơ sở làA = { 1, 2 , …, n } và B = { 1, 2 , …, m }.a] Đặt [ f ]A,B = [ [ f [1]]B [ f [2]]B … [ f [n]]B ] Mm x n[R].Ta nói [ f ]A,B là ma trận biểu diễn của ánh xạ tuyến tính f theo cặp cơ sởA [của Rn] và B [của R m].3Muốn tìm tọa độ của các vector f [1], f [2], … , f [n] theo cơ sở B, tagiải n hệ phương trình tuyến tính, mỗi hệ có m phương trình và m ẩn số.Các hệ này cùng có vế trái là [ 1t 2t … mt ] và các vế phải của chúng lầnlượt là các cột f [1]t , f [2]t , …, f [n]t. Do đó ta có thể giải đồng thời nhệ trên trong cùng một bảng là [ 1t 2t … mt | f [1]t | f [2]t | … | f [n]t ].Khi giải xong n hệ trên bằng phương pháp Gauss Jordan, ta thu được matrận [ Im | [ f [1] ]B | [ f [2] ]B | … | [ f [n] ]B ] và [ f ]A,B chính là matrận ở vế phải. Như vậy khi biết f thì ta viết được ma trận biểu diễn[ f ]A,B = [ [ f [1] ]B [ f [2] ]B … [ f [n] ]B ] [1].b] Rn, ta có [ f [] ]B = [ f ]A,B [ ]A [2].Như vậy khi biết [ f ]A,B thì ta xác định được biểu thức của f theo [2].[từ [ f [] ]B ta sẽ tính được ngay f [] Rn ]c] Nếu A và B lần lượt là các cơ sở chính tắc của Rn và R m thì [ f ]A,Bđược gọi là ma trận chính tắc của f . Biểu thức của f và ma trận chính tắccủa f có thể suy ra lẫn nhau một cách dễ dàng.Ví dụ:a] Xét f L[R3,R2] với f [u,v,w] = [3u + 4v w, 2u + v + 3w] [u,v,w] R3.Cho A = { 1, 2, 3 } và B lần lượt là các cơ sở chính tắc của R3 và R 2.Ta có f [1] = f [1,0,0] = [3,2], f [2] = f [0,1,0] = [4,1] và f [3] = f [0,0,1] == [1,3] nên có ngay ma trận chính tắc 3 4 1 [ f ]A,B = [ [f [1]]B [f [2]]B [f [3]]B ] = 2 1 3Cho các cơ sở của R3 và R 2 lần lượt làC = { 1 = [1,2,4], 2 = [5,1,2], 3 = [3,1,1] } và D = { 1 = [7,2], 2 = [4,1] }.với f [1] = f [1,2,4] = [1,16], f [2] = f [5,1,2] = [13,17] vàf [3] = f [3,1,1] = [14,8].Ta tìm [ f ]C,D = [ [ f [1]]D [ f [2]]D [ f [3]]D ] bằng cách giải đồng thời các hệ741[ 1t 2t | f [1]t | f [2]t | f [3]t ] = 2 1 161*131714 1* 1 49 8 0 1 114389310 28 18 65 55 18 . Vậy [ f ]C,D = .28 114 93 28 5 2 23b] Xét g L[R ,R ] có ma trận chính tắc [ g ]B,A = 7 1 với B và A lần 4 90*0 1651145593lượt là các cơ sở chính tắc của R2 và R3. 5 2 2 y 5x x = [x,y] R , [ g[]]A = [ g ]B,A [ ]B = 7 1 = 7 x y . 4 9 y 4x 9 y 2Từ đó suy ra ngay = [x,y] R2, g[] = g[x,y] = [ 5x + 2y, 7x y, 4x + 9y].423c] Xét h L[R ,R ] có [ h ]D,C 3 2= 4 1 với D = { 1 = [7,2], 2 = [4,1] } và1 1C = { 1 = [1,2,4], 2 = [5,1,2], 3 = [3,1,1] } lần lượt là các cơ sở của R 2 và R3.c x 4 y = [x,y] R2, ta có [ ]D = 1 = từ việc giải hệ c11 + c22 = : c2 2 x 7 y c1 c2c1 c274x1* 1x 3y 1*0[ 1t 2t | t ] * 2 1 y 0 1 2x 7 y 0 1Ta có [ h[]]C = [ h ]D,C [ ]Dx 4 y .2x 7 y 3 2 x 2y x 4 y = 4 1 = 2 x 9 y . Suy ra2x7y1 1 x 3y = [x,y] R2, h[] = h[x,y] = [x + 2y] 1 + [2x + 9y] 2 + [x + 3y] 3= [x + 2y][1,2,4] + [2x + 9y][5,1,2] + [x + 3y][3,1,1]= [14x + 56y, 3x + 10y, 9x + 29y]2.2/ ĐỊNH NGHĨA: Cho f L[R n].Rn có một cơ sở là A = { 1, 2 , …, n }.a] Đặt [ f ]A = [ f ]A,A = [ [ f [1] ]A [ f [2] ]A … [ f [n] ]A ] M n[R].Ta nói [ f ]A là ma trận biểu diễn của toán tử tuyến tính f theo cơ sở A.Muốn tìm tọa độ của các vector f [1], f [2], … , f [n] theo cơ sở A, tagiải n hệ phương trình tuyến tính, mỗi hệ có n phương trình và n ẩn sốCác hệ này cùng có vế trái là [ 1t 2t … nt ] và các vế phải của chúng lầnlượt là các cột f [1]t , f [2]t , …, f [n]t . Do đó ta có thể giải đồng thời nhệ trên trong cùng một bảng là [ 1t 2t … nt | f[1]t | f[2]t | … | f[n]t ].Khi giải xong n hệ trên bằng phương pháp Gauss Jordan, ta thu được[ In | [ f[1] ]A | [ f[2] ]A | … | [ f[n] ]A ] và [ f ]A chính là ma trận ở vếphải. Như vậy khi biết f thì ta viết được ma trận biểu diễn[ f ]A = [ [ f [1] ] [ f [2] ] … [ f [n] ] ] [1].b] Rn, ta có [ f [] ]A = [ f ]A [ ]A [2].Như vậy khi biết [ f ]A thì ta xác định được biểu thức của f theo [2].[ từ [ f [] ]A ta tính được ngay f [] R n ].c] Nếu A là cơ sở chính tắc của R n thì [ f ]A được gọi là ma trận chính tắccủa f . Biểu thức của f và ma trận chính tắc của f có thể suy ra lẫn nhaumột cách dễ dàng.Ví dụ:a] Xét f [u,v,w] = [2u v, u + 3v + w, u + 2v w] [u,v,w] R3 thì f L[R 3].Cho A = { 1, 2 , 3 } là cơ sở chính tắc của R3. Ta có f [1] = f [1,0,0] = [2,1,1]f [2] = f [0,1,0] = [1,3,2] và f [3] = f [0,0,1] = [0,1,1] nên có ngay ma trậnchính tắc [ f ]A = [ [ f [1] ]A [ f [2] ]A 2 1 0 [ f [3] ]A ] = 1 3 1 . 1 2 1 5Cho C = { 1 = [1,2,2], 2 = [2,0,1], 3 = [2,3,3] } là một cơ sở của R3 vớif [1] = [4,5,5], f [2] = [4,1,1] và f [3] = [7,8,7].Ta tìm [ f ]C = [ [ f [1] ]C [ f [2] ]C [ f [3] ]C ] bằng cách giải đồng thời các hệt1t2tt3tt[ | f [1] | f [2] | f [3] ] 1* 002244101001373 11* 0 0 0 1* 0 0 0 1*1 2 2 2 0 3 2 1 31* 07 15 0 1*0 021 45415122440100143778 7 37 15 66 95 62 10 95 15 . Vậy [ f ]C = 10 0 15 . 4343766 766 7 4 b] Xét g L[R2] có ma trận chính tắc [ g ]B = với B là cơ sở chính tắc 2 9 7 4 x 7 x 4 y của R2. = [x,y] R2, [ g[]]B = [ g ]B [ ]B = = . 2 9 y 2 x 9 y 6210100Từ đó suy ra ngay = [x,y] R2, g[] = g[x,y] = [7x 4y, 2x + 9y].421 15c] Xét h L[R ] có [ h ]C = 2 2 3 với 10 3 14 3C = { 1 = [1,2,2], 2 = [2,0,1], 3 = [2,3,3] } là một cơ sở của R 3. c1 = [x,y,z] R , ta có [ ]C = c2 =c 33 3 x 4 y 6 z bằng cách giải hệyz 2 x 3 y 4z c11 + c22 + c33 = :c1 c2 c31 2 2tttt[ 1 2 3 | ] 2 0 3 2 1 31*xy 00z 22103 1yz z 2 x xc1 c2 c31 0 0 1*0 01* 0 0x 2 y 2z *yz 0 1 0 0 0 1*1 3 y 4 z 2 x 20Ta có [ h[]]C = [ h ]C [ ]C3 x 4 y 6 z yz2 x 3 y 4 z 421 3 x 4 y 6 z 15 3 x y 10 z .= 2 2 3 yzy 2z = 10 3 14 2 x 3 y 4 z 2x y 7z Suy ra = [x,y,z] R3,h[] = h[x,y,z] = [ 3x + y + 10z] 1 + [y + 2z] 2 + [2x y 7z] 3= [ 3x + y + 10z][1,2,2] + [y + 2z][2,0,1], + [2x y 7z][2,3,3]= [x + y, y + z , z]62.3/ CÔNG THỨC THAY ĐỔI CƠ SỞ TRONG MA TRẬN BIỂU DIỄN:Cho f L[R n,Rm].Rn có các cơ sở lần lượt là A và C với S = [A C] Mn[R].Rm có các cơ sở lần lượt là B và D với T = [B D] Mm[R].a] Ta có công thức [ f ]C,D = T 1.[ f ]A,B.S và do đó [ f ]A,B = T.[ f ]C,D.S1b] Suy ra [ f ]C,B = [ f ]A,B.S [ lúc này T = [B B] = Im và T 1 = Im ][ f ]A,D = T 1.[ f ]A,B [ lúc này S = [A A] = In ]c] Suy ra [ f ]A,B = [ f ]C,B.S1 và [ f ]A,B = T.[ f ]A,DGhi chú : Nếu A và B lần lượt là các cơ sở chính tắc của Rn và R m thì dễdàng có được S và T.Ví dụ: Xét lại f L[R3,R2] và h L[R 2,R3] trong Ví dụ của [2.1].a] Xét f L[R3,R2] với f [u,v,w] = [3u + 4v w, 2u + v + 3w] [u,v,w] R3.Cho A = { 1, 2, 3 } và B lần lượt là các cơ sở chính tắc của R3 và R 2. 3 4 1 Ta đã viết ma trận chính tắc [ f ]A,B = [ [f [1]]B [f [2]]B [f [3]]B ] = .2 1 3Cho các cơ sở của R3 và R 2 lần lượt làC = { 1 = [1,2,4], 2 = [5,1,2], 3 = [3,1,1] } và D = { 1 = [7,2], 2 = [4,1] }.1 5 3 7 4 1 4 Ta có S = [A C] = 2 1 1 và T = [B D] = có T 1 = 2 1 2 74 2 1 65 55 18 Từ đó [ f ]C,D = T 1[ f ]A,B S = , 114 93 28 113 14 8 [ f ]C,B = [ f ]A,B S = 16 17 5 8 11 .15 19 và [ f ]A,D = T 1[ f ]A,B = 8 3 2b] Xét h L[R ,R ] có [ h ]D,C = 4 1 với A, B, C, D, S và T được hiểu1 114 56 1như trên. Ta có ma trận chính tắc [ h ]B,A = S[ h ]D,C T = 3 10 . 9 29 23Suy ra = [x,y] R2, h[] = h[x,y] = = [14x + 56y, 3x + 10y, 9x + 29y].Hơn nữa [ h ]B,C = [ h ]D,C T11 2= 2 9 và [ h ]D,A = S[ h ]D,C =1 3 14 0 1 2 . 5 72.4/ TRƯỜNG HỢP ĐẶC BIỆT: Cho f L[Rn].Rn có các cơ sở lần lượt là A và C với S = [A C] Mn[R].a] Ta có công thức [ f ]C = S1.[ f ]A.S và do đó [ f ]A = S.[ f ]C.S1 .b] Suy ra [ f ]C,A = [ f ]A.S và [ f ]A,C = S1.[ f ]Ac] Suy ra [ f ]A,C = [ f ]C.S1 và [ f ]C,A = S.[ f ]C.Ghi chú : Nếu A là cơ sở chính tắc của Rn thì dễ dàng có được S.7Ví dụ: Xét lại f , h L[R 3] trong Ví dụ của [2.2].a] Xét f L[R3] vớif [u,v,w] = [2u v, u + 3v + w, u + 2v w] [u,v,w] R3.Cho A = { 1, 2, 3 } là cơ sở chính tắc của R3.Ta có ma trận chính tắc [ f ]A = [[ f [1] ]A [ f [2] ]A 2 1 0 [ f [3] ]A ] = 1 3 1 . 1 2 1 Cho C = { 1 = [1,2,2], 2 = [2,0,1], 3 = [2,3,3] } là một cơ sở của R3 với1 2 2S = [A C] = 2 0 3 và S1 = 2 1 31 2 2[S | I3] = 2 0 3 2 1 31 0 0 1* 0 1 0 00 0 1 01* 0 0 0 1* 0 0 0 1*61 3 4 6 0 1 1 qua các phép biến đổi 2 3 4 22103 10 0 1* 0 0 1 1 0 1*2 0 1 0 012012 2 0 1 12 3 4 1 62 10 95 11 = [ I3 | S ]. Ta có [ f ]C = S .[ f ]A.S = 10 0 15 , 432 3 4 766 4 4 7 4 27 2 1[ f ]C,A = [ f ]A.S = 5 1 8 và [ f ]A,C = S .[ f ]A = 0 5 0 . 5 1 7 3 19 1 421 153b] Xét h L[R ] có [ h ]C = 2 2 3 với A, C, S và S1 được hiểu như 10 3 14 1 1 01trên. Ta có ma trận chính tắc [ h ]A = S.[ h ]C.S = 0 1 1 .0 0 13041Suy ra = [x,y,z] R3, h[] = h[x,y,z] = [x + y, y + z, z].1Ta có [ h ]A,C = [ h ]C.S 3 1 10 1 2 1 = 0 1 2 và [ h ]C, A = S.[ h ]C = 0 1 0 . 2 1 7 2 1 3III. XÁC ĐỊNH ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH KHI BIẾT ẢNH CỦA MỘTCƠ SỞ :3.1/ MỆNH ĐỀ: Rn có cơ sở là A = { 1, 2 , …, n }. Cho f, g L[Rn,Rm].Khi đó f = g j { 1, 2, … , n }, f [j ] = g[j ].3.2/ MỆNH ĐỀ: Rn có cơ sở là A = { 1, 2 , …, n }.Chọn tùy ý 1, 2 , …, n R m.Khi đó có duy nhất f L[R n,Rm] thỏa f [j ] = j j {1, 2, … , n}.83.3/ XÁC ĐỊNH ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DỰA THEO ẢNH CỦA MỘT CƠSỞ:Ta trình bày cách xác định ánh xạ tuyến tính f trong [3.2].a] Cách 1: dùng tọa độ vector theo cơ sở. c1 c Rn, tìm [ ]A = 2 để có biểu diễn = c11 + c22 + … + cnn . cn Suy ra f [] = f[c11 + c22 + … + cnn] = c1f [1] + c2f [2] + … + cnf [n] == c11 + c22 + … + cn n .b] Cách 2: dùng ma trận biểu diễn ánh xạ tuyến tính.Gọi C và D lần lượt là các cơ sở chính tắc của Rn và R m với S = [C A].Viết [ f ]A,D = [ [ f [1] ]D [ f [2] ]D … [ f [n] ]D ] = [ 1t 2t … mt ]. Ta có matrận chính tắc [ f ]C,D = [ f ]A,D . S1 . Từ đó suy ra ngay f [] Rn.Ví dụ:R3 có cơ sở A = { 1 = [1,1,1], 2 = [1,0,1], 3 = [3,1,2] }.a] Tìm f L[R3,R 4] thỏaf [1] = [3,0,1,2], f [2] = [1,2,4,0] và f [3] = [4,1,0,3].b] Tìm g L[R 3] thỏa g[1] = [2,1,3], g[2] = [3,2,1] và g[3] = [7,5,3]. c1 zxy Cách 1: = [x,y,z] R , tìm [ ]A = c2 = y 2 z x bằng cách giải hệc x z 33c11 + c22 + c33 = : [ 1t 2t 3t | t ] c1 c2 c31 1 3 1 0 11 1 2*x 1 1 3 y 0 1 2z 0 1 1c1 c2 c3* 1 0 y 0 1*y z 0 0xx121 y 1* 0 0 x y 0 1* 0z x 0 0 1*zx y y 2z x x z Từ đó f [] = f [c11 + c22 + c33] = c1f [1] + c2f [2] + c3f [3]= [z x y][3,0,1,2] + [y + 2z x][1,2,4,0] + [x z][4,1,0,3]= [ 8x 2y + 9z, 3x 2y 5z, 3x + 5y + 7z, 5x 2y + 5z]và g[] = g[c11 + c22 + c33] = c1g[1] + c2g[2] + c3g[3]= [z x y][2,1,3] + [y + 2z x][3,2,1] + [x z][7,5,3]= [ 2x y z, 2x + y, x 2y + 2z]Cách 2 :Gọi C và D lần lượt là các cơ sở chính tắc của R3 và R4 với1 1 3S = [C A] = 1 0 1 và S1 =1 1 2 1 1 1 1 1 2 qua các phép biến đổi 1 0 1 91 1 3[S | I3] = 1 0 11 1 21* 0 0 0 1* 0 0 0 1*1 111101*1 0 00 1 0 000 0 1 11310 11* 00 01 1 0 1*0 01 0 1 102111 1 1 11 0 1 10112 = [ I3 | S ].1Viết [ f ]A,D = [ [ f [1] ]D [ f [2] ]Dchính tắc [ f ]C, D = [ f ]A,D 3 1 4 0 2 1 và ta có ma trận[ f [3] ]D ] = 1 4 0 2 0 3 8 2 9 3 2 5 1 . Suy ra = [x,y,z] R 3,.S = 3 5 7 5 2 5 f [] = f [x,y,z] = [ 8x 2y + 9z, 3x 2y 5z, 3x + 5y + 7z, 5x 2y + 5z]. 2 3 7 Viết [ g ]A,C = [ [ g[1] ]C [ g[2] ]C [ g[3] ]C ] = 1 2 5 và ta có ma trận 3 13 2 1 1 1chính tắc [ g ]C = [ g ]A,C . S = 2 1 0 . 1 2 2 Suy ra = [x,y,z] R3, g[] = g[x,y,z] = [ 2x y z, 2x + y, x 2y + 2z].------------------------------------------------------------------------------------10BÀI TẬP ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH [GV LÊ VĂN HỢP]CHƯƠNG I : HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH1/ Giải các hệ phương trình tuyến tính thực dưới đây [nghiệm duy nhất] và kiểm tra ĐL Kronecker Capelli : x 2 y 4 z 31 x 3y z 5 x y 2 z 3t 1 x 2 y 3 z 2t 1 y 2 z 5 x 29 z 2x y 2 3 y z t 2 x 62 z 2 x 3t y 2a] b] c] d] z 3 x y 10 y 5 z x 72t 3 x y z 42 y 2t 3x z 5 z 2 y 7 x 83z 3 y 2 x 14 3 z t x 2 y 4 t 2 z 3 y 2 x 112/ Giải các hệ phương trình tuyến tính thực dưới đây [vô nghiệm] và kiểm tra Định lý Kronecker Capelli : x y 3 z 1 2x y z t 1 2 x 5 y 3z t 5 2x 2 y z t u 1 y 2z 2x 1 2t 5 x y z 13 z 3 x t 7 y 1 t z 2u 2 y x 1a] b] c] d] z x y 32 z 8t 3x 2 y 22t 6 z 9 y 5 x 7 7u 5 z 10 y 4 x 5t 1 2 y x 3 z 1 y z 3t 2 x 46 y t 4 x 3 z 87 z 2 x 7t 11u 14 y 13/ Giải các hệ phương trình tuyến tính thực dưới đây [vô số nghiệm] và kiểm tra Định lý Kronecker Capelli : x 3 y 2z 0 3 x 4 y 5 z 7t 0 x y 2 z 3t 1 3z 2 x y 016t 4 x 11y 13z 0 3 z x 2t 4 y 2a] b] c] 5 y 4 z 3 x 0 3 z 2t 2 x 3 y 0 4 y 2t x z 24 z 17 y x 0 2 y z 3t 7 x 02t 5 z 8 y x 2 3 x 3 y 7 z 3t 6u 3 t 4 z 3u 2 y 2 x 2d] 3u 5 z 3 y 3x 2t 1 8 z 2 x 3t 9u 2 y 2x 2 y 2 z 7t 3u 1x 2 y z t 2u 1 6 y 5u 15t 3x 4 z 2z 2x t u 2 y 1e] f] 5t 2 x 4 y z u 1 7u 5 z 10 y 4 x 5t 120u 14 z 8 x 16 y 50t 7 7t 11u 2 x 7 z 14 y 14/ Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính thực dưới đây theo các tham số thực m, a, b, c và drồi kiểm tra Định lý Kronecker Capelli :x y z 2t 1 3 x 4 y 4 z 17t 11m 7 x 3 y 8 z t 38 z 5 x 27t 6 y 18m 103 z x 4t 2 y 2a] 5 z 2 x 5t y mb] c] y t x 4z m13t 19 z 5 y 4 x 2 3 y 12t 2 x 2 z 8m 519t 2 z 5 y 3x 13m 8mt z 3 y 4 x m 2 6m 4 x 2y z t u m 2t z 2 x 2u y 3md] u 3x t 2 y z m 1 z 2u 5 y 2 x 2t m 1 x y z 1g] mz 2 x 3 y 3 my 3 z x 2 x 2 y z 2t 3u a 6 y 13u 8t 3 x 5 z be] t 4x 8 y 5z u c5u 3 z 2 x 4 y 3t d x 2 y z 2t mh] t z y x 2m 1 7 y t x 5z m x y z m 1i] [m 1] z mx y mmy z x 1 x y z 3t 12 2 z x t 2 y 3f] y 2 x 3z 9mt z y 2 x 21 x y 3 z 1j] mz 2 x y m 1 my 3z x 21CHƯƠNG II : TÍNH TOÁN MA TRẬN VÀ MA TRẬN VUÔNG KHẢ NGHỊCH1 2 3 1 1 0 1, C =1/Cho các ma trận thực A = ,B=213244 1 Tính E = CDBA, F = DBAC và G = ACDB . 1 2 1 3 1 0 và D = 2 1 0 1 0 2 1 3 1 0 4 . 2 3 1 2 2/ Tính Ak theo k nguyên 0 nếu A là một trong các ma trận thực sau : 2 1 a 0 cos x sin x 3 2 1 b sin x cos x 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 sin t 10 cos tsin t cos t 0 2 4 1 1 3/ Cho đa thức thực f[x] = 2x3 5x2 + 4x 3. Tính ma trận f[A] nếu A = hay A = .3 2 3 2 4/ Giải các phương trình ma trận thực sau [ X là ma trận ẩn phải tìm ] : 1 1 2 3 1a] X= 4 0 34 5 1 2 2e] X X 2 3 1 2 3 3h] X + Xt 5 4 4 1 4 4 1b] X 0 2 = 2 3 3 5 1 2 1 2c] X=X 3 4 3 4 d] X2 = I21 1 12 1 1 1 1 1 =f] X X=g] X2 = X [ X M2[R] ]1 1 0 1 2 1 1 1 11 7 8 3 4 t 2 5 7 11 =i] X +X =2 11 8 1 2 3 4 8 8 0 10 01 0 5/ Cho các ma trận thực A = ,B= ,C= và D =0 01 0 0 1Chứng minh [AB]n AnBn và [CD]n CnDn n nguyên 2.1 0 1 1 .6/ Cho A, B, C Mn[R] và số nguyên k 1 .a] Khai triển [5A 2B + 3C][6B C 4A][2C + 3A + B] .b] Giả sử A2 = A. Khai triển và rút gọn [ABA AB]2 và [ABA BA]2 .c] Giả sử C2 = In. Tính Ck .d] Giả sử A2 = A và B = [2A In]. Tính Ak và Bk .e] Giả sử A2 = On và C = [A + In]. Tính Ck và Sk = In + C + C2 + … + Ck .f] Giả sử Ak = On và AB = BA. Tính [AB]k và Am với m nguyên k .g] Giả sử AB = On.Chứng minh [BA]m = On m nguyên 2. Cho ví dụ để thấy có thể BA On .h] Giả sử A3 = On = B4 và AB = BA. Chứng minh [cA + dB]6 = On c,d R.Tổng quát hóa kết quả trên khi có r, s nguyên 1 thỏa Ar = On = Bs và AB = BA.i] Ký hiệu Tr là hàm vết [trace] lấy tổng các hệ số trên đường chéo chính của một ma trận vuông.Chứng minh Tr[A B] = Tr[A] Tr[B] và Tr[AB] = Tr[BA]. Suy ra [AB BA] cIn c R \ {0}.27/ Dùng phương pháp Gauss - Jordan để xét tính khả nghịch của các ma trận thực sau và tìm ma trận nghịchđảo của chúng [ nếu có ] :8 12 1 2 2 2 3 3 2 0 3 2 3 4 1 3 1 13a] 2 1 3 b] 2 2 3 c] 1 1 3 d] 12 7 12 e] 2 1 2 f] 1 1 2 1 2 2 3 4 6 1 2 1 64 5 3 1 4 5 7 4 ABCDEF1t 11 1 13 14 11111 11 1 1g] Từ đó tính nhanh [4A] , [A ] , [2 A ] , [A ] , [A ] , [BA] , [A B] , [AB ] và [B A ] .8/ Cho A,B Mn[R] .a] Giả sử A khả nghịch. Chứng minh [A1BA]k = A1Bk A k 1.Chứng minh [A + B] khả nghịch [ In + A1B ] khả nghịch [ In + BA1 ] khả nghịchb] Giả sử A9 = A20 = In . Chứng minh A = In .c] Giả sử A2B3 = A3 B7 = B8A4 = In . Chứng minh A = In = B.9/ Áp dụng ma trận khả nghịch để giải các phương trình ma trận thực sau [ X là ma trận ẩn phải tìm ] : 3 1 4 5 2 4 0 1 1 8 2 7 4 4 3 1 6 a] X= b] X 4 1 6 = c] X 5 4 = 0 2 703533 11 2 5 2 0 3 2 0 3d] 2 1 3 X =1 2 24 0 1 1 3 2 3 3 2 1 e] X = 0 1 5 2 2 4 2 2 1 3 4 f ] 1 3 7 X =2 3 7 14 3 10 2 2 1 3 2 5 3 2 5 1 g] X = 6 7 4 3 5 1 4 2 3 3 2 3 4 1 3 1 5h] 1 1 2 X 2 2 3 = 1 1 3 5 7 4 3 4 6 1 2 1210/ Cho A, B, C Mn[R], số nguyên k 1 và c,d R.a] Giả sử Ak = On và L = [ In + A + A2 + … + Ak 1 ].Chứng minh H = [ In A ] khả nghịch và H1 = L.Suy ra K = [ In + A ] cũng khả nghịch và tính K1 theo A.db] Giả sử A2 = cA và cd 1. Đặt Q = [ In A ].cd 1Chứng minh P = [ In + dA ] khả nghịch và P1 = Q.c] Giả sử A, B, C khả nghịch.Tìm X và Y nếu A5XB6 = 7A3C2B4 và A9C8YB4C2 = 2A9C5A7B1C2 .CHƯƠNG III : ĐỊNH THỨC CỦA MA TRẬN VUÔNG1/ Tính các định thức sau :2 1a] 6443m 2m[1 m] 7 m3 2 b] 45[1 m]214[m 1]4222 3 2 133 5a832 1 23b2b4ab6bc]d]2 1 2 3257a51 2 3 24[b a] 3[a b] 5a [a b] 6[b a]32/ Khi nào các ma trận thực sau có định thức bằng 0 ?xx1xx11a] xxabg]cd101111011110b]3xx213x311a x x bx a b xh]x b a xb x x ax 1 x3c] a 1 a 3b 1 b3i]1 x2x3a bd] 1 a 21 b2a3b3e] b c ac a ba2[a 1]2[a 2] 2[a 3]2b2[b 1]2[b 2]2[b 3]2c2[c 1]2[c 2]2[c 3]2[d 2] 2[d 3]2d2[d 1]2c0af]bca b c0 c bc 0 ab a 0abccabj]bcaab bc ca11123/ Dùng phương pháp định thức để xét tính khả nghịch của các ma trận thực sau và tìm ma trận nghịch đảo[ nếu có ] của chúng :31 5 3 2 3 2 6 6 13 12 6 5 2 1 2 5 8 a] 2 1 1 b] 1 4 2 c] 5 1 4 d] 87 4 e] 7 3 1 f] 1 1 5 4 2 1 1 2 4 1 2 2 12 12 5 4 3 2 3 5 3 4/ Khi nào các ma trận thực sau khả nghịch và tìm ma trận nghịch của chúng lúc đó :2 12 1sin a 1 3 m3a b c 1a] 3 7 m 5 b] mm 11 c] 1 1 1 d] 11 cos a m 2m 3m 3 bc ac ab sin a cos a1 mm 3 1 5/ Giải các hệ phương trình tuyến tính thực sau bằng qui tắc CRAMER :1 1 111 3 2 07 2 1 2 5 a] 4 4 1 22 b] 03 2 6 c] 4 1 2 1 2 3 1 11 2 0 3 1 8 1 1 5 2 1 1d] 2 4 5 3 5 61 15 19 6/ Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính thực sau theo tham số thực m bằng qui tắc CRAMER :m 1 1 mm 2 m 1 m 11m 2 2m 59m a] b] c] d] 10 m 10 m 4 1 m 1 m mm 2 1 3 m2 1 1 1 135 m 1 1 m 131 1 1 31 e] 2120 f] 2 4 4m 2 1 g] 2 1 m m 1 h] m m 1 0 3m 1 m 3 3 m 11 m 3 m 1 m 1 42 90 2 CHƯƠNG IV : KHÔNG GIAN VECTOR Rn1/ Tập hợp nào dưới đây là không gian vector con của Rn [ n = 3, 4, 5 ] ? Tại sao ?a] W = { X = [x,y,z] R3 / 2x | y | + 3z = 0 }b] W = { X = [x,y,z] R3 / xy + yz + zx = 0 }3c] W = { X = [x,y,z] R / y 4x + 3z = 0 = 5x + 8y 7z }d] W = { X = [x,y,z,t] R4 / x y + 9z = 3t x z = 2t 7y 5z = 8x + 4y t }e] W = { X = [x,y,z,t] R4 / x + 5y 2z 4t 0 }f] W = { X = [x,y,z,t] R4 / x2 y + 3z t3 1 }42g] W = { X = [x,y,z,t] R / [5x + 4y + z 6t] + [9x y + 7z + 2t]2 + [8x 6y + 3z t]2 0 }h] W = { X = [x,y,z,t,u] R5 / 3x = 2y = 6z = 9t = 4u }42/ Khi nào = [u,v,w] [ hay = [u,v,w,t]] W = < S > nếua] S = { X = [1,1,2], Y = [2,3,3] } R3b] S = { X = [3,1,1], Y = [1,5,7], Z = [1,2,3] } R3c] S = { X = [1,2,1,0], Y = [2,1,0,1], Z = [0,1, 2,1] } R4d] S = { X = [2,1,3,1], Y = [1,4,0,3], Z = [3,6,6,5], T = [2,1,3,1] } R4e] = [m, 4, m + 2] R3 và S = { X = [1,1,2], Y = [1,2,1], Z = [1,1,4] } R33/ Xét tính độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính của các tập hợp dưới đây :a] S = { X = [3,1,1], Y = [1,5,7], Z = [1,2,3], T = [9,0,4] } R3b] S = { X = [3,2,7,1], Y = [9,6,21,3] } R4c] S = { X = [2,1,0,9], Y = [5,7,3,4] } R4d] S = { X = [1,1,7,2], Y = [5,1,1,18], Z = [5,2,8,16] } R4e] S = { X = [1,2,3,4], Y = [3,3,5,1], Z = [5,8,13,6] } R4f] S = { X = [1,2, 3m + 1], Y = [3,1,m 3], Z = [m + 5, 2,4] } R34/ Tập hợp nào dưới đây là cơ sở của R3 ? [ s = sinx và c = cosx ]a] S = { X = [3,2,7], Y = [8,2,3] } b] S = { X = [1,1,7], Y = [5,1,1], Z = [5,2,8], T = [4,0,3] }c] S = { X = [3,2,1], Y = [2,1,1], Z = [12, 1,1] } d] S = { X = [2,3,1], Y = [4,5,2], Z = [5,7,3] }e] S = { X = [1,1,c], Y = [1,1,s], Z = [s,c,1] }f] S = { X = [0,1,s], Y = [1,0,c], Z = [s,c,0] }5/ Giải thích B là một cơ sở của không gian W = < B > V = Rn [ n = 3, 4, 5 ] rồi tìm điều kiện để = [u,v,w] [ hay = [u,v,w,t] hay = [u,v,w,t,z] ] W.Nếu W V, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của V.a] B = { X = [2,3,1], Y = [4,6,5] }[ V = R3 ]b] B = { X = [0,3,1,2], Y = [0,9,3,8] }[ V = R4 ]c] B = { X = [1,4,2,5], Y = [2,5,3,9], Z = [1,2,1,4] }[ V = R4 ]d] B = { X = [0,2,1,7,3], Y = [0,6,0,25,10], Z = [0,4,13,34,13] }[ V = R5 ]e] B = { X = [1,2,5,2,3], Y = [4,8,16,7,6] }[ V = R5 ]6/ Tìm một cơ sở B cho không gian W = < S > V = Rn [ n = 3, 4 ] rồi tìm điều kiện để = [u,v,w] W[ hay = [u,v,w,t] W ] Nếu W V, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của V.a] S = { X = [2,3,1], Y = [3,1, 5], Z = [1,5,3] } R3b] S = { X = [1,2,3], Y = [2,1,4], Z = [3,0,5], T = [2,7,8] } R3c] S = { X = [1,2,4,0], Y = [2,3,3,1], Z = [1,4,2,3], T = [1,9,3,5] } R4d] S = { X = [2,17,43,12], Y = [0,5,5,2], Z = [1,11,19,7], T = [1,1,29,3] } R47/ Chỉ ra một tập sinh hữu hạn S cho W để thấy W V = Rn [ n = 3, 4 ] .Sau đó tìm một cơ sở B cho W = < S > rồi tìm điều kiện để = [u,v,w] [ hay = [u,v,w,t]] W ?Nếu W V, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của V.a] W = { U = [2a + 3b + c, 3a b 5c, a + 5b 3c] / a,b,c R }b] W = { U = [a 2b 3c + 2d, 2a b + 7d, 3a + 4b + 5c 8d] / a,b,c,d R }c] W = { U = [a + 2b + c d, 2a + 3b 4c + 9d, 4a + 3b + 2c + 3d, 5d b 3c] / a,b,c,d R }d] W = { U = [2a c + d, 5b 17a + 11c d, 5b + 43a 19c + 29d, 2b 12a + 7c 3d] / a,b,c,d R }8/ Tìm một cơ sở B cho không gian W = { X Rn / AX = O } [ n = 4, 5 ] nếu A là5 1 6 8 1 3 2 1 7 7 1 2 5 1 2 1 1 1 2 1 2 1 1 3 1 3 3 a] 2 3 3 20 b] 2 1 1 2 3 c]d] 3245325812 3 7 22 15 3 2 1 1 2 3 8 2 11 3 1 4 7 9 Nếu W Rn, hãy bổ sung thêm các vector vào B để có một cơ sở C của Rn .59/ Kiểm tra S và T là các cơ sở của R3 rồi viết P[S → T] và P[T → S] .Tìm X, [ X ]T, [ Y ]S, [ Y ]T, Z và [ Z ]S nếua] S = { X1 = [1,1,2], X2 = [2,1, 2], X3 = [1,0,3] }, T = { Y1 = [2,5,2], Y2 = [2,1,3], Y3 = [1,2, 2] }2 3 [ X ]S = 1 , Y = [4,1, 2] và [ Z ]T = 0 31 b] S = { X1 = [1,1,0], X2 = [0,1,1], X3 = [1,0,1] }, T = { Y1 = [1,0,0], Y2 = [1,1,0], Y3 = [1,1,1] }1 2 [ X ]S = 5 , Y = [3,4,0] và [ Z ]T = 2 1 3 10/ Cho S = { X , Y , Z } là một cơ sở của R3 và T = { E, F, G } R3.Kiểm tra T cũng là một cơ sở của R3 rồi viết P[S → T] và P[T → S] nếua] E = 2X 2Y 3Z, F = 3X + 2Y + 4Z và G = 4X + 3Y + 6Z.b] X = E F + G, Y = 3E F + 2G và Z = E + 3F + G.11/ Cho S = { X = [a,c], Y = [b,d] } R2 thỏa ab + cd = 0 và a2 + c2 = 1 = b2 + d2 .Chứng minh S là một cơ sở của không gian vector R2. Tìm [ Z ]S nếu Z = [u,v] R2.12/ Cho V = R3 [ hay V = R4 ] và X = [u,v,w] [ hay X = [u,v,w,t]] V. Xét S,T V và W = < S > V.Tìm điều kiện để X W rồi giải thích S và T là các cơ sở của W. Tính [ X ]S [ khi X W ] và viếtma trận P[S → T]. Từ đó suy ra P[T → S] và [ X ]T .a] S = { Y = [3,2,1], Z = [1,1,2] } và T = { E = [1,4,5], F = [2,3,3] }b] S = { Y = [1,1,1,0], Z = [2,3,4,1], U = [1,4,3,2] } vàT = { E = [1,1,1,1], F = [2,7,0,3], G = [3,8,1,3] }13/ Cho H, K R4 và các ma trận thực2 1 5 1 2 2 7 2A= B= 4 3 12 3 4 4 17 4 11322 3 5 3 13 22 5 1 2 3 4 7 12và C = 351 5 6 2 9 13 3 14 19 5 23 32 Tìm một cơ sở cho H, K, [ H + K ], [ H K ] trong các trường hợp dưới đây và cho biết trường hợpnào có tổng trực tiếp H K ?a] H = < S >, K = < T > , S = { Y = [1,2,0,1], Z = [1,1,1,0] } và T = { E = [1,0,1,0], F = [1,3,0,1] }b] H = < S >, K = < T > , S = { Y = [1,2,1,0], Z = [2,1,0,1], U = [1,1,1,1], P = [1,1,1,1] } vàT = { E = [1,2,0,1], F = [2,1,3,1], G = [7,8,9,5] }.c] H = < S >, K = < T > , S = { Y = [1,1,1,1], Z = [1,1,1,1], U = [1,3,1,3] } vàT = { E = [1,2,0,2], F = [1,2,1,2], G = [3,1,3,1] }.d] H = < S >, S = { Y = [3,6,0,2], Z = [1,1,3,3], U = [2,3,2,4], E = [5,9,2,6] } vàK = { X R4 / AX = O }.e] H = { X R4 / BX = O } và K = { X R4 / CX = O }.14/ Cho H, K Rn . Đặt L = [ H K ] Rn .a] Chứng minh L Rn [ H K hay K H ] .b] Cho một ví dụ cụ thể mà trong đó L không phải là một không gian con của Rn.6CHƯƠNG V: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH1/ R2, R3 và R4 có các cơ sở chính tắc lần lượt là A, B và C.a] Cho f[u,v,w] = [u2v+3w, vw+3u, 4w2u3v, 5u3v+5w] [u,v,w] R3. Giải thích f L[R3, R4]và viết [ f ]B,C . Tìm một cơ sở cho mỗi không gian Im[f] và Ker[f]. Khi nào Y = [x,y,z,t] Im[f] ?b] Giải thích D = { 1 = [4,3], 2 = [3,2] } và E = { 1 = [1,2,2], 2 = [3,2,3], 3 = [2,3,3] } lần 1 3 4 1lượt là các cơ sở của R2 và R3. Xét g, h L[R2, R3] có [ g ]A,B = 0 2 và [ h ]D,E = 2 5 . 2 1 3 0Tìm biểu thức của g và viết [ g ]D,B , [ g ]A,E và [ g ]D,E .c] Viết [ h ]D,B , [ h ]A,E và [ h ]A,B rồi suy ra biểu thức của h.2/ R2, R3 và R4 có các cơ sở chính tắc lần lượt là A, B và C.a] Cho f[u,v,w,t] = [2v+4wu3t, 2u+v2w+5t, 3u+4v+7t] [u,v,w,t] R4. Giải thích f L[R4, R3]và viết [ f ]C,B . Tìm một cơ sở cho mỗi không gian Im[f] và Ker[f]. Khi nào Y = [x,y,z] Im[f] ?b] Giải thích D = { 1 = [5,2], 2 = [3,1] } và E = { 1 = [5,1,3], 2 = [3,1,2], 3 = [1,0,1] } lần lượt 1 1 2 3 0 5là các cơ sở của R2 và R3. Xét g,h L[R3, R2] có [ g ]B,A = và [ h ]E,D = 2 3 0 1 2 1 Tìm biểu thức của g và viết [ g ]B,D , [ g ]E,A và [ g ]E,D .c] Viết [ h ]B,D , [ h ]E,A và [ h ]B,A rồi suy ra biểu thức của h.3/ R3 có cơ sở chính tắc là B.a] Cho f[u,v,w] = [u3w+3v, v+w+2u, 10u12w] [u,v,w] R3. Giải thích f L[R3] và viết [ f ]B .Tìm một cơ sở cho mỗi không gian Im[f] và Ker[f]. Khi nào Y = [x,y,z] Im[f] ?b] Giải thích E = { 1 = [1,0,2], 2 = [2,2,1], 3 = [3,3,2] } là một cơ sở của R3. Xét g, h L[R3] có 1 2 3 2 1 0 [ g ]B = 1 0 2 và [ h ]E = 3 2 1 . Tìm biểu thức của g và viết [ g ]E,B , [ g ]B,E và [ g ]E 2 1 1 0 3 1 c] Viết [ h ]B , [ h ]B,E và [ h ]E,B rồi suy ra biểu thức của h. Xác định các không gian Im[h] và Ker[h].4/ R3 có cơ sở chính tắc là B.a] Cho f[u,v,w] = [u+2w+3v, 4v+w+2u, 3u+7v+3w] [u,v,w] R3. Giải thích f L[R3] và viết [ f ]BTìm một cơ sở cho mỗi không gian Im[f] và Ker[f]. Khi nào Y = [x,y,z] Im[f] ?b] Giải thích E = { 1 = [3,0,2], 2 = [4,1,3], 3 = [6,1,4] } là một cơ sở của R3. Xét g, h L[R3] có 3 1 0 4 1 0 [ g ]B = 2 4 1 và [ h ]E = 2 3 2 . Tìm biểu thức của g và viết [ g ]E,B , [ g ]B,E và [ g ]E 2 1 3 1 0 3 c] Viết [ h ]B , [ h ]B,E và [ h ]E,B rồi suy ra biểu thức của h. Xác định các không gian Im[h] và Ker[h].5/ R3 và R4 có các cơ sở chính tắc lần lượt là B và C.a] Giải thích E = { 1 = [2,1,5], 2 = [1,0,1], 3 = [4,2,1] } là một cơ sở của R3.Tìm [ ]E nếu = [u,v,w] R3.b] Cho 1 = [2,3,1], 2 = [1,0,3] và 3 = [3,4,1] R3.Tìm f L[R3] thỏa f[j] = j j = 1,2,3 [ dùng [ ]E hay [ f ]E,B ] .c] Cho 1 = [1,1,0,1], 2 = [2,1,3,0] và 3 = [3,0,4,1] R4.Tìm g L[R3, R4] thỏa g[j] = j j = 1,2,3 [ dùng [ ]E hay [ g ]E,C ] .7GV LÊ VĂN HỢPCHƯƠNG IICÁC PHÉP TOÁN MA TRẬNMA TRẬN VUÔNG KHẢ NGHỊCHI. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN:1.1/ PHÉP CHUYỂN VỊ MA TRẬN:Cho A = aij 1i m Mm x n[R].1 j nĐặt B = bij 1in Mn x m[R] sao cho b ij = aji [1 i n, 1 j m], nghĩa là1 j mma trận B được suy từ A bằng cách viết các dòng [hay cột] của A lần lượtthành các cột [hay dòng] của B.Ta nói B là ma trận chuyển vị của A và ký hiệu B = At [t = transposition].Để ý [At ] t = Bt = A. Nếu C Mn[R] thì Ct Mn[R].Ví dụ: 2 1 5 2 7 8 5 70 3 ta] A = 1 0 4 9 M3 x 4[R] có B = A = M4 x 3[R]. 8 4 2 5 3 2 6 5 9 6 Ta có b 13 = a31 = 5, b22 = a22 = 0 và b41 = a14 = 5. Để ý [At ] t = Bt = A. 9 2 5 9 7 4 tb] C = 7 8 1 M3[R] có D = C = 2 8 6 M3[R]. 4 5 1 3 6 3 Ta có d12 = c21 = 7, d33 = c33 = 3 và d23 = c32 = 6. Để ý [Ct ] t = Dt = C.1.2/ PHÉP NHÂN SỐ THỰC VỚI MA TRẬN:Cho A = aij 1i m Mm x n[R] và c R. Đặt c.A = caij 1i m Mm x n[R].1 j n1 j nTa có 1.A = A, 0.A = Om x n , [1].A = aij 1i m .1 j nĐặt A = [1].A và gọi A là ma trận đối của A.Ví dụ: 2 7 8 5 4A = 1 0 4 9 M3 x 4[R] cóA=3 5 3 2 6 8 / 3 28 / 3 32 / 3 20 / 3 4 / 3016 / 312 . 20 / 348 / 38 11.3/ PHÉP CỘNG MA TRẬN:Cho A = aij 1i m và B = bij 1i m Mm x n[R].1 j n1 j nĐặt A + B = aij bij 1i m và A B = A + [B] = aij bij 1i m Mm x n[R].1 j n1 j nVí dụ: 2 7 8 5 8 1 9 0 A = 1 0 4 9 và B = 3 6 2 7 M3 x 4[R]. 5 3 2 6 4 5 3 2 6 6 17 5 10 8 1 5 Ta có A + B = 2 6 6 16 và A B = 4 6 2 2 M3 x 4[R]. 1 8 5 4 92 1 8 1.4/ TÍNH CHẤT: Cho A, B, C Mm x n[R] và c, d R. Khi đó:a] c.[d.A] = [c.d].A[c.A]t = c.At[A B]t = At Btb] Phép cộng ma trận giao hoán và kết hợp:B+A=A+B[A + B] + C = A + [B + C] = A + B + Cc] Om x n + A = A + O m x n = A[A] + A = A + [A] = O m x nd] [c + d].A = c.A + d.Ac.[A B] = c.A c.BVí dụ: Cho A, B Mm x n[R]. Ta có[4A]t = 4At[5 + 8]A = 5A + 8A[7][6A] = [ [7]6 ]A = 42A[9][A + B] = [9]A + [9]B1.5/ TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA DÒNG VỚI CỘT:Cho dòng U = u1 u2 v1 v... un M1 x n[R] và cột V = 2 Mn x 1[R]. vn nĐặt U.V = [u1v1 + u2v2 + … + unvn] =u vi ithì U.V R.i 1Ví dụ:7 0U = 3 8 6 9 2 M1 x 5[R] và V = 5 M5 x 1[R]. 1 4 Ta có U.V = [3]7 + 8.0 + [6][5] + 9.1 + 2[4] = 10 R.1.6/ PHÉP NHÂN MA TRẬN:Cho A = aij 1i m Mm x n[R] và B = b jk 1 j n Mn x p[R] thỏa điều kiện1 j n1 k p[số cột của A] = n = [số dòng của B].2Ta quan tâm m dòng A1 , A2 , ... , Am của A [mỗi dòng có n số hạng] vàquan tâm p cột B1 , B2 , ... , Bp của B [mỗi cột có n số hạng].Ta thực hiện phép nhân ma trận A Mm x n[R] với B Mn x p[R] bằng cáchnhân vô hướng mỗi dòng của A với mỗi cột của B để được ma trận tíchC = cik 1im Mm x p[R] như sau:1 k p A1 AC = A.B = 2 B1 Am B2 A1 B1A2 B1 Bp = Am B1với cik = [dòng Ai][cột Bk] = ai1 ai 2A1 B2A1 B p A2 B p = cik 1im Mm x p[R] 1 k p Am Bp A2 B2Am B2 b1k b... ain 2 k = [ai1b1k + ai2b2k + … + ainb nk]. bnk nNhư vậy C = A.B = AB = cik 1im với cik =1 k pa bijjk[1 i m, 1 k p].j 1Ví dụ: 9 1 5 2 1 3 4 7 4 6 M4 x 3[R].Cho A = 5 0 6 2 M3 x 4[R] và B = 321 1 4 8 3 2 0 8 18 11 7 23 28 0 13 031 45 38 Ta có C = AB = 67 7 15 và D = BA = với51115 11 1 13 12 34 70 32 C M3[R] và D M4[R]. Như vậy AB BA.1.7/ MA TRẬN ĐƠN VỊ:Ma trận đơn vị cấp n là ma trận vuông cấp n có dạng như sau:10In = 000 0 01 0 0 0 1 00 0 1 [tất cả các hệ số trên đường chéo chính đều bằng 1, bên ngoài đều bằng 0]Ví dụ:I1 = 11 0I2 = 0 11 0 0I3 = 0 1 0 0 0 110I4 = 000 0 01 0 0 0 1 00 0 131.8/ TÍNH CHẤT:Cho A Mm x n[R], B, C Mn x p[R], D Mp x q[R] và c R. Khi đó:a] [AB]D = A[BD] = ABD [phép nhân ma trận có tính kết hợp].b] [AB]t = BtAt và [cA]B = A[cB] = c[AB]c] A[B C] = AB AC và [B C]D = BD CD[phép nhân ma trận phân phối trái và phải với các phép cộng trừ ma trận].d] Ok x m A = Ok x n và AOn x k = Om x k .e] Im A = A và AIn = A.Ví dụ: 581Cho A = M2 x 3[R]. 0 4 9 Ta có O5 x 2 A = O5 x 3 , AO3 x 8 = O2 x 8 , I2 A = A và AI3 = A.1.9/ GHI CHÚ:a] Phép nhân ma trận không giao hoán. Nếu AB và BA cùng xác định thìkhông nhất thiết BA = AB.Nếu AB = BA thì A và B là hai ma trận vuông có cùng kích thước.b] Có thể nhân liên tiếp nhiều ma trận nếu số cột của ma trận đi trước bằngsố dòng của ma trận đi sau.c] Có thể xảy ra khả năngA Mm x n[R], B Mn x p[R], A O B nhưng AB = Om x p.Ví dụ:a] Trong Ví dụ của [1.7], C = AB D = BA vì C M3[R] và D M4[R].b] Cho A M3 x 7[R], B M7 x 4[R], C M4 x 1[R] và D M1 x 8[R].Đặt E = ABCD thì E M3 x 8[R]. 1 1 c] Cho A = 4 4 O3 x 2 và B = 0 0 2 0 3 2 0 3 O2 x 3 nhưng AB = O3 .II. CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN VUÔNG:2.1/ PHÉP NHÂN VÀ LŨY THỪA: Cho A, B Mn[R].a] Ta có AB M n[R], BA M n[R] và không nhất thiết AB = BA.b] Đặt A0 = In , A1 = A, A2 = AA, … , Ak + 1 = AAk k N.Ta có Ta có Ak Mn[R] k N.Ví dụ: 3 1 4a] Cho H = và K = 5 5 2 17 25 6 M2[R].7 18Ta có HK = M2[R], KH = 20 30 44 8 M2[R] và HK KH.9 4 1 2 M2[R]. Tính Ak k N.1b] Cho A = 0 1 2 , A2 = AA =1 Ta có A1 = A = 0 1 4 1 6 32 0 1 và A = AA = 0 1 . 1 2 k k N và kiểm chứng dễ dàng bằng phép qui nạp.1 Dự đoán Ak = 02.2/ TÍNH CHẤT: Cho A Mn[R].a] Onk On và I nk I n k nguyên 1.b] ArAs = Ar + s và [Ar]s = Ars r, s N.c] OnA = AOn = On và InA = AIn = A.d] Có thể xảy ra khả năng [A On và r nguyên 2 thỏa Ar = On].Ví dụ:a] On2000 On và I n3000 I n .b] A Mn[R], A9A16 = A9 + 16 = A25 và [A9] 16 = A9 x 16 = A144 . 0 2 3 0 0 10 2c] A = 0 0 5 M3[R] và A O3. Ta có A = 0 0 0 O3 = A3.0 0 0 0 0 0 2.3/ CÁC MA TRẬN VUÔNG ĐẶC BIỆT:Cho A = [aij]1 i, j n M n[R].Đường chéo [chính] của A bao gồm các hệ số aii [1 i n].a] A là ma trận [đường] chéo nếu các hệ số ở ngoài đường chéo đều bằng 0và các hệ số của đường chéo thì tùy ý [nghĩa là aij = 0 khi 1 i j n].b] A là ma trận tam giác trên nếu các hệ số ở phía dưới đường chéo đều bằng0 và các hệ số khác thì tùy ý [nghĩa là aij = 0 khi 1 j < i n].c] A là ma trận tam giác dưới nếu các hệ số ở phía trên đường chéo đều bằng0 và các hệ số khác thì tùy ý [nghĩa là aij = 0 khi 1 i < j n].d] A là ma trận tam giác trên ngặt nếu A là ma trận tam giác trên có đườngchéo gồm toàn các hệ số bằng 0 [nghĩa là aij = 0 khi 1 j i n].e] A là ma trận tam giác dưới ngặt nếu A là ma trận tam giác dưới có đườngchéo gồm toàn các hệ số bằng 0 [nghĩa là aij = 0 khi 1 i j n].Ví dụ: Các ma trận dạng đặc biệt [ma trận đường chéo, tam giác trên, tam giácdưới, tam giác trên ngặt và tam giác dưới ngặt] : 3*0A= 0000*20000*00 0 0 7* 4* 20 1*B= 0 0 0 05 8 3 9*7 0 6* 0 1* 00*2 00C= 7 3 8*0 9 60005* 5 0*0D=0020*00 0* 0 09 0* 0E= 2 5 0* 0 6 19 5 8 3 0* 4 0 0* 0000* 2.4/ MỆNH ĐỀ:a] Tổng, hiệu, tích và lũy thừa nguyên dương các ma trận đường chéo cũng làma trận đường chéo. Các phép toán thực hiện tự nhiên trên đường chéo.b] Tổng, hiệu, tích và lũy thừa nguyên dương các ma trận tam giác cùng loạicũng là ma trận tam giác cùng loại.Ví dụ:5 0 0A = 0 2 0 ,0 0 4 3 0 0 B = 0 7 0 , 0 0 62 0 0 Ta có A + B = 0 5 0 , 0 0 10 10A 510=0 00[2]100 1 3 0 C = 0 8 4 0 0 2 8 0 0 A B = 0 9 0 , 0 0 2 0 0 ,410 1 6 1 C + D = 0 17 8 , 0 0 2 2 30 11CD = 0 72 32 000 và 2 3 1 D = 0 9 4 . 0 0 00 15 0AB = 0 14 0 00 24 3 0 1 C D = 0 1 0 0 0 2 1 219 84 C = 0 512 208 008 3và2.5/ MỆNH ĐỀ: Cho A, B Mn[R] thỏa AB = BA. Khi đócác hằng đẳng thức trong R vẫn có hiệu lực đối với A và B.k 2, [AB]k = AkBk,[A + B]k =kikiC A Bk ivài 0Ak Bk = [A B][Ak1 + Ak2B + … + ABk2 + Bk1 ]Ví dụ: Cho A, B Mn[R] thỏa AB = BA. Khi đó[AB]4 = ABABABAB = AAAABBBB =A4B4A5 + B5 = A5 [B]5 = [A + B][A4 A3B + A2B2 AB3 + B4][4A 5In]3 = [4A]3 3[4A]2[5In] + 3[4A] [5In]2 [5In]3= 64A3 240A2 + 300A 125In2.6/ GHI CHÚ: Nếu A, B Mn[R] thỏa AB BA thì các hằng đẳng thức trongR không thể áp dụng cho A và B. Các phép tính phải dùng định nghĩa.6Ví dụ: Cho A, B Mn[R] thỏa AB BA. Ta có[A + B][A B] = A2 AB + BA B2 A2 B2 vì [ AB + BA] On .[A B]2 = [A B] [A B] = A2 AB BA + B2 A2 2AB + B2 vì[ AB BA] 2ABIII. SỰ KHẢ NGHỊCH CỦA MA TRẬN VUÔNG:3.1/ VẤN ĐỀ:a] A Mn[R], ta có InA = AIn = A.b] Cho trước A Mn[R]. Có hay không A’ M n[R] thỏa A’A = AA’ = In ?Nếu có thì A’ được xác định ra sao ?Khi n = 1, ta trả lời dễ dàng câu hỏi trên: nếu a = 0 R = M1[R] thì không cóa’ R thỏa a’a = aa’ = 1 và ta nói a = 0 là số không khả nghịch.Nếu a R \{ 0} thì có a’ = a1 R = M1[R] thỏa a’a = aa’ = 1 và ta nói a làsố khả nghịch cũng như ký hiệu a1 = a’ là số nghịch đảo của số a.Ta sẽ đưa ra câu trả lời cho câu hỏi trên khi n 2.3.2/ ĐỊNH NGHĨA: Cho A M n[R].a] Ta nói A là ma trận khả nghịch nếu có A’ Mn[R] thỏa A’A = AA’ = In.b] A’[nếu có] thì duy nhất và lúc đó ta ký hiệu A’ = A1 là ma trân nghịch đảocủa ma trận A.c] Nếu A khả nghịch [có A1] thì ta định nghĩa thêm các lũy thừa nguyên âm choA như sau: A2 = [A1]2, A3 = [A1]3, … , Ak = [A1]k k nguyên 2.Ta có Am M n[R] m Z. Hơn nữa ArAs = Ar + s, [Ar]s = Ars r, s Z.Ví dụ: 3 4 6 1 2 2Cho A = 0 1 1 và B = 2 0 3 M3[R]. 2 3 4 2 1 3Ta có AB = BA = I3. Do đó A khả nghịch và A1 = B. Tương tự B khả nghịchvà B1 = A. Hơn nữa Ak = [A1]k = Bk k nguyên 2 và Am M3[R] m Z.Ta có A7A12 = A7 + [12] = A5 và [A7] 12 = A7[12] = A84 .3.3/ ĐỊNH LÝ: [nhận diện ma trận khả nghịch]Cho A M n[R]. Ta xác định được SA, RA và r[A] n.Các phát biểu sau đây là tương đương với nhau:a] A khả nghịch.b] SA có các hệ số trên đường chéo đều 0.c] RA = In.d] r[A] = n.3.4/ HỆ QUẢ: [nhận diện ma trận không khả nghịch]Cho A M n[R]. Ta xác định được SA, RA và r[A] n.Các phát biểu sau đây là tương đương với nhau:a] A không khả nghịch.b] SA có ít nhất một hệ số 0 trên đường chéo.c] RA In.d] r[A] < n.7Ví dụ: 3 1 4 3 4 6Cho A = 3 0 2 và B = 5 2 16 M3[R]. 2 2 1 2 1 1 1*A 0031 2 SA =4 5 11*0011*01* 03 2 0 1*0 013* 5 2 RA =13 1* 0 0 * 0 1 0 = I3 0 0 1* Bảng 1: [2] [2] + [1], [1] [1] [3], [3] [3] 2[1].Bảng 2: [3] [3] 4[2]. Bảng 3: [1] [1] + [2], [2] [2].Bảng 4: [3] 131[3], [1] [1] 5[3], [2] [2] + 2[3].1* 31* 37 B 0 17 51 SB = 0 17* 0 5 15 0 01* 0751 RB = 0 1*0 00 2 3 I30 Bảng 1: [1] [1] [3], [2] [2] + 5[1], [3] [3] 2[1].Bảng 2: [3] [3] + [5/17][2]. Bảng 3: [2] 171[2], [1] [1] 3[2].Ta thấy A khả nghịch [để ý các hệ số trên đường chéo của SA đều 0, RA = I3và r[A] = 3] và B không khả nghịch [để ý có hệ số = 0 trên đường chéo của SB,RB I3 và r[B] = 2 < 3].3.5/ ĐỊNH LÝ: [tìm ma trận nghịch đảo cho ma trận khả nghịch]Cho A khả nghịch Mn[R] [nghĩa là RA = In].Nếu các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 1, 2, … , k biến A thành RA = Inthì chính các phép biến đổi đó, theo đúng thứ tự, sẽ biến In thành A1.Cụ thể như sau:Nếu A A1 A2 … Ak = RA = In [dùng các phép biến đổi 1, 2, … , k ]thì In B1 B2 … Bk = A1 [cũng dùng các phép biến đổi 1, 2, … , k ]3.6/ PHƯƠNG PHÁP GAUSS – JORDAN TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO:Cho A Mn[R]. Ta thường kiểm tra A khả nghịch và tìm A1 cùng một lúctheo sơ đồ sau [phương pháp Gauss – Jordan]:[A | In] [A1 | B1] [A2 | B2] … [Ak | Bk] trong đó Ak = RA.[dùng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng 1, 2, … , k biến A thành RA]Nếu RA In thì A không khả nghịch.Nếu RA = In thì A khả nghịch và A1 = Bk.Ví dụ:Xét tính khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo [nếu có] của các ma trận sau:4 1 2B = 2 3 11 và A = 3 5 15 3 4 9 2 1 2 M [R].3 7 1 4 8