Bài tập chỉnh hợp tổ hợp về số tự nhiên

Cho tập hợp \(A = \left\{ {1;\,\,2;\,......;\,\,9;\,\,10} \right\}.\) Một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của A là:

• A \(C_{10}^2\)
• B \(\left\{ {1;\,\,2} \right\}\)
• C \(2!\)
• D \(A_{10}^2\)

Đáp án: B

Phương pháp giải:

Một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử là tập hợp gồm \(k\) phần tử của \(n\) phần tử đã cho.

Lời giải chi tiết:

Ta có tập hợp \(\left\{ {1;\,\,2} \right\}\) là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử của tập \(A.\)

Chọn B.

Đáp án - Lời giải

Tổng hợp các bài tập trắc nghiệm hoán vị chỉnh hợp tổ hợp mức độ vận dụng, vận dụng cao có đáp án và lời giải chi tiết

Xem lời giải

Lớp học thầy Đinh Trọng Hoàng, bồi dưỡng các môn Toán, Lý, Hóa, Tiếng Anh từ lớp 8-12.

Liên hệ đăng ký học: 01679250568 (thầy Hoàng), 01655527936 (cô Mai)

BÀI 2 : CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

1. Chỉnh hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử và số nguyên k với 1  k  n. Khi lấy ra k phần tử của A và sắp xếp

chúng theo một thứ tự, ta đƣợc một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A (gọi tắt là một chỉnh hợp

chập k của A).

Số các chỉnh hợp chập k của một tập hợp có n phần tử 1  k  nlà

 

kn

n!

A n(n 1)(n 2)...(n k 1)

n k!

     



.

2. Tổ hợp

Cho tập A có n phần tử và số nguyên k với 1  k  n. Mỗi tập con của A có k phần tử đƣợc đƣợc

gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A ( gọi tắt là một tổ hợp chập k của A ).

Số các tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1  k  n)là

 

kk nn

A n(n 1)(n 2)...(n k 1) n!

C

k! k! k! n k!

   

  



3. Hai tính chất cơ bản của số Ckn

Tính chất 1:

Cho số nguyên dƣơng n và số nguyên k với 0  k  n. Khi đó Ckn  Cnn k.

Tính chất 2:

Cho các số nguyên n và k với 1  k  n. Khi đó Ckn  1  Ckn  Ck 1n .

PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

DẠNG 2: CHỈNH HỢP.

PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Khi giải một bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có 2 dấu hiệu sau:

*Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của X ( 1  k  n).

*Có sắp xếp thứ tự các phần tử đã chọn.

VÍ DỤ

Ví dụ 1:

a. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau?

b. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số và số đó là số chẵn?

c. Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau và số đó là số lẻ?

LỜI GIẢI

a. Gọi M  abcde, a  0 là số có 5 chữ số khác nhau.

Ta có a có 9 cách chọn nên có A 9 4 cách chọn 4 số xếp vào 4 vị trí bcde.

Vậy có 9 9 4  27216 số.

b. Gọi A  abcdelà số có 5 chữ số và A là số chẵn.

Ta có a có 9 cách chọn ; b,c,d mỗi số có 10 cách chọn ; e có 5 cách chọn.

Vậy có 9 .5 3  45000 số.

c. Gọi B  abcdelà số có 5 chữ số và B là số lẻ.

Ta có e có 5 cách chọn ; a có 8 cách chọn ; có A 8 3 cách chọn chữ số xếp vào ba vị trí b,c,d.

Vậy có 5.8 38  13440 số.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số phân biệt có mặt đủ ba chữ số 1, 2, 3.

LỜI GIẢI

Dùng 5 ô sau để xếp số thỏa bài toán :

TH1: Ô 1 là số 1 :

 Chọn 2 ô để xếp số 2 và số 3 có A 24 cách ;

 Chọn 2 ô trong các số  0; 4; 5; 6;7; 8; 9 xếp vào 2 ô còn lại có A 27 cách ;

 ta có A .A 24 27 cách.

TH2 : Ô 1 là số 2 : tƣơng tự, ta cũng có A .A 24 7 2 cách.

TH3: Ô 1 là số 3 : tƣơng tự, ta cũng có A .A 24 27 cách.

TH4 : Ô 1 là số khác 1, 2, 3:

 Chọn 3 ô xếp số 1, 2, 3 vào có A 34 cách ;

 Chọn một số thuộc  0; 4; 5; 6;7; 8; 9 xếp vào ô 1 có 6 cách ;

 Chọn một số xếp vào ô còn lại : có 6 cách ;

 ta có 36 34 cách.

Vậy ta có tất cả 3A .A 34 27  36A 34  2376 số.

Cách 2:

Bƣớc 1: Chọn 3 vị trí trong 5 vị trí để xếp ba chữ số {1, 2, 3}, có A 35

Bƣớc 2: Chọn 2 chữ số trong 7 chữ số còn lại để xếp vào hai vị trí còn lại, có A 27 cách.

Theo quy tắc nhân có A .A 35 72  2520 số, nhƣng có những số có chữ số 0 đứng vị trí đầu.

Trƣờng hợp a 1 = 0: Bƣớc 1: Chọn 3 vị trí trong 4 vị trí để xếp ba chữ số {1, 2, 3}, có A 34 cách.

Bƣớc 2: Chọn 1 chữ số trong 6 chữ số còn lại để xếp vào một vị trí còn lại, có 6 cách.

Theo quy tắc nhân có A .6 34  144 số có chữ số 0 ở vị trí đầu.

Kết luận có 2520  144  2376 số thỏa yêu cầu.

Ví dụ 3:

a. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và bé hơn số 475?

b. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 3 chữ số đôi một khác nhau và bé hơn số 475?

c. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số đôi một khác nhau bé hơn số 475 và là số lẻ?

LỜI GIẢI

a. Gọi abc là số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 475.

TH1: a  4 : a có ba cách chọn ; bc có A 29 cách chọn  có 3 29  216 số.

TH2: a  4 : b  7  b có 6 cách chọn  b  6; 5; 3; 2;1; 0 và c có 8 cách chọn;

b  7  c có 4 cách chọn  c  3; 2;1; 0

 có 6  4  52 số.

Vậy tất cả ta lập đƣợc 216  52  268 số.

b. Gọi abc là số tự nhiên chẵn có ba chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 475.

TH1 : a  1 hoặc 3 : a có 2 cách chọn ; c có 5 cách chọn và b có 8 cách chọn

 có 2.5  80 số.

TH2 : a  2 : c có 4 cách chọn và b có 8 cách chọn  có 4=32 số.

TH3 : a  4 : nếu b  0,2,6: b có 3 cách chọn và c có 3 cách chọn ;

nếu b  1,3,5: b có 3 cách chọn và c có 4 cách chọn ;

nếu b  7 thì c có hai cách chọn  c  0; 2

 có 3  3  2  23 số.

Vậy ta lập đƣợc tổng cộng 80  32  23  135 số.

c. Gọi abc là số tự nhiên lẻ có ba chữ số đôi một khác nhau và nhỏ hơn 475.

TH1 : a  1, 3: a có 2 cách chọn ; c có 4 cách chọn và b có 8 cách chọn

 có 2.4  64 số.

TH2 : a  2 : c có 5 cách chọn và b có 8 cách chọn  có 5  40 số.

Lời giải. Số cách xếp bảy bông hoa khác nhau vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 7

phần tử. Suy ra có A 73 210 cách. Chọn C.

Câu 15. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa vào 5 lọ khác nhau (mội lọ cắm không quá một một

bông)?

A. 60. B. 10. C. 15. D. 720.

Lời giải. Số cách cắm 3 bông hoa vào ba lọ hoa khác nhau là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử.

Suy ra có A 53 60 cách. Chọn A.

Câu 16. Có bao nhiêu cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn đƣợc chọn từ 6 bóng đèn khác nhau?

A. 15. B. 360. C. 24. D. 17280.

Lời giải. Số cách mắc nối tiếp 4 bóng đèn đƣợc chọn từ 6 bóng đèn khác nhau là một chỉnh hợp chập

4 của 6 phần tử. Suy ra có A 64 360 cách. Chọn B.

Câu 17. Trong mặt phẳng cho một tập hợp gồm 6 điểm phân biệt. Có bao nhiêu vectơ khác vectơ 0

có điểm đầu và điểm cuối thuộc tập hợp điểm này?

A. 15. B. 12. C. 1440. D. 30.

Lời giải. Mỗi cặp sắp thứ tự gồm hai điểm A B, cho ta một vectơ có điểm đầu A và điểm cuối B

và ngƣợc lại. Nhƣ vậy, mỗi vectơ có thể xem là một chỉnh hợp chập 2 của tập hợp 6 điểm đã cho.

Suy ra có A 62 30 cách. Chọn D.

Câu 18. Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua bằng đá luân lƣu 11 mét. Huấn

luyện viên mỗi đội cần trình với trọng tài một danh sách sắp thứ tự 5 cầu thủ trong số 11 cầu thủ để đá

luân lƣu 5 quả 11 mét. Hãy tính xem huấn luyện viên của mỗi đội có bao nhiêu cách lập danh sách

gồm 5 cầu thủ.

A. 462. B. 55. C. 55440. D. 11!.5!

Lời giải. Số cách lập danh sách gồm 5 cầu thủ đá 5 quả 11 mét là số các chỉnh hợp chập 5 của 11

phần tử. Vậy có A 115 55440. Chọn C.

Câu 19. Giả sử có 8 vận động viên tham gia chạy thi. Nếu không kể trƣờng hợp có hai vận động viên

về đích cùng lúc thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba?

A. 336. B. 56. C. 24. D. 120.

Lời giải. Số kết quả có thể xảy ra đối với các vị trí nhất, nhì, ba là số các chỉnh hợp chập 3 của 8 phần

tử. Vậy có A 83 336. Chọn A.

Câu 20. Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 ngƣời, cần chọn ra 3 ngƣời vào ban thƣờng vụ. Nếu

cần chọn ban thƣờng vụ gồm ba chức vụ Bí thƣ, Phó bí thƣ, Ủy viên thƣờng vụ thì có bao nhiêu cách

chọn?

A. 210. B. 200. C. 180. D. 150.

Lời giải. Số cách chọn ban thƣờng vụ gồm ba chức vụ Bí thƣ, Phó bí thƣ, Ủy viên thƣờng vụ từ 7

ngƣời là số các chỉnh hợp chập ba của bảy phần tử. Vậy có A 73 210.

Chọn A.

Câu 21. Một cuộc thi có 15 ngƣời tham dự, giả thiết rằng không có hai ngƣời nào có điểm bằng nhau.

Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì có bao nhiêu kết quả có thể?

A. 2730. B. 2703. C. 2073. D. 2370.

Lời giải. Nếu kết quả của cuộc thi là việc chọn ra các giải nhất, nhì, ba thì mỗi kết quả ứng với một

chỉnh hợp chập ba của 15 phần tử, do đó ta có: A 153 2730 kết quả.

Chọn A.

Câu 22. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến

100 cho 100 ngƣời. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tƣ. Kết quả là việc công bố

ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tƣ. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể?

A. 94109040. B. 94109400. C. 94104900. D. 94410900.

Lời giải. Mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 100 phần tử, do đó ta có: A 1004 94109400

kết quả. Chọn B.

Câu 23. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến

100 cho 100 ngƣời. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tƣ. Kết quả là việc công bố

Lớp học thầy Đinh Trọng Hoàng, bồi dưỡng các môn Toán, Lý, Hóa, Tiếng Anh từ lớp 8-12.

Liên hệ đăng ký học: 01679250568 (thầy Hoàng), 01655527936 (cô Mai)

ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tƣ. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng ngƣời giữ vé

số 47 đƣợc giải nhất?

A. 944109. B. 941409. C. 941094. D. 941049.

Lời giải. Vì ngƣời giữ vé số 47 trúng giải nhất nên mỗi kết quả ứng với một chỉnh hợp chập 3 của 99

phần tử, do đó ta có: A 399 941094 kết quả. Chọn C.

Câu 24. Trong một dạ hội cuối năm ở một cơ quan, ban tổ chức phát ra 100 vé xổ số đánh số từ 1 đến

100 cho 100 ngƣời. Xổ số có 4 giải: 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba, 1 giải tƣ. Kết quả là việc công bố

ai trúng giải nhất, giải nhì, giải ba, giải tƣ. Hỏi có bao nhiêu kết quả có thể nếu biết rằng ngƣời giữ vé

số 47 trúng một trong bốn giải?

A. 3766437. B. 3764637. C. 3764367. D. 3764376.

Lời giải. Nếu ngƣời giữ vé số 47 trúng một trong bốn giải thì:

Ngƣời giữ vé số 47 có 4 cách chọn giải.

Ba giải còn lại ứng với một chỉnh hợp chấp 3 của 99 phần tử, do đó ta có A 993 941094 cách.

Vậy số kết quả bằng 4 A 993 4 941094 3764376 kết quả. Chọn D.

Câu 25. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đƣợc lập từ các số 1, 2, , 9?

A. 15120. B. 9. 5 C. 5. 9 D. 126.

Lời giải. Mỗi cách xếp số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau từ các số 1, 2, , 9 là một chỉnh hợp chập

5 của 9 phần tử. Vậy có A 95 15120. Chọn A.

Câu 26. Cho tập A 0,1, 2, , 9 .Số các số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau lấy ra từ tập

A là?

A. 30420. B. 27162. C. 27216. D. 30240.

Lời giải. Gọi số cần tìm là abcde a, 0.

Chọn a có 9 cách.

Chọn b c d e, , , từ 9 số còn lại có A 94 3024 cách.

Vậy có 9 3024 27216. Chọn C.

Câu 27. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số khác nhau đôi một, trong đó chữ số 2 đứng liền giữa

hai chữ số 1 và 3?

A. 249. B. 7440. C. 3204. D. 2942.

Lời giải. Ta chia thành các trƣờng hợp sau:

TH1: Nếu số 123 đứng đầu thì có A 74 số.

TH2: Nếu số 321 đứng đầu thì có A 74 số.

TH3: Nếu số 123;321 không đứng đầu

Khi đó có 6 cách chọn số đứng đầu ( khác 0;1;2;3 ), khi đó còn 6 vị trí có 4 cách xếp 3 số 321 hoặc

123 , còn lại 3 vị trí có A 36 cách chọn các số còn lại. Do đó trƣờng hợp này có 6.2. A 365760

Suy ra tổng các số thoả mãn yêu cầu là 2 A 74 5760 7440. Chọn B.

DẠNG 3: TỔ HỢP

PHƢƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

Khi giải bài toán chọn trên một tập hợp X có n phần tử, ta sẽ dùng tổ hợp nếu có 2 dấu hiệu sau:

*Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của X ( 1  k  n).

*Không phụ thuộc vào thứ tự sắp xếp các phần tử đã chọn.

VÍ DỤ:

Ví dụ 1: Từ 5 bông hồng vàng, 3 bông hồng trắng, 4 bông hồng đỏ (các bông hồng xem nhƣ đôi một

khác nhau). Ngƣời ta muốn chọn ra 1 bó hoa hồng gồm 7 bông. Có bao nhiêu cách chọn.

a) 1 bó hoa trong đó có đúng một bông hồng đỏ.

b) 1 bó hoa trong đó có ít nhất 3 bông hồng vàng và ít nhất 3 bông hồng đỏ.

LỜI GIẢI

a). Chọn 1 bó hoa gồm 7 bông, trong đó có đúng 1 bông hồng đỏ, 6 bông hồng còn lại chọn trong 8

bông (gồm vàng và trắng). Số cách chọn:

####### 1 6

C .C 4 8  112 cách.

Lớp học thầy Đinh Trọng Hoàng, bồi dưỡng các môn Toán, Lý, Hóa, Tiếng Anh từ lớp 8-12.

Liên hệ đăng ký học: 01679250568 (thầy Hoàng), 01655527936 (cô Mai)

aố nam và nữ bằng nhau. b.ít nhất 1 nữ.

LỜI GIẢI

aƣớc 1: Chọn 2 nam trong 14 nam, có C 214 cách.

Bƣớc 2: Chọn 2 nữ trong 6 nữ,có C 26 cách.

Vậy số cách chọn nhóm có 2 nam, 2 nữ là C 142 .C 26  1365 cách.

b. Cách 1: Xét các trƣờng hợp xảy ra cụ thể:

Trƣờng hợp 1: Chọn 1 nữ, 3 nam có 6 314  2184 cách

Trƣờng hợp 2: Chọn 2 nữ, 2 nam có C 142 .C 26  1365 cách

Trƣờng hợp 3: Chọn 3 nữ,1 nam có C .14 36  280 cách

Trƣờng hợp 4: Chọn 4 nữ thì có C 6 4  15 cách

Vậy số cách chọn cần tìm là: 2184  1365  280  15  3844 cách.

Cách 2: Sử dụng phần bù:

Bƣớc 1: Chọn 4 bạn bất kỳ trong 20 bạn, có C 420 cách.

Bƣớc 2: Chọn 4 bạn đều nam, có C 414 cách.

Suy ra chọn 4 bạn có ít nhất 1 nữ: C 420  C 414  3844 cách chọn.

Một đội văn nghệ gồm 20 ngƣời, trong đó có 10 nam, 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 ngƣời,

sao cho:

a. Có đúng 2 nam trong 5 ngƣời đó?

b. Có ít nhất 2 nam, ít nhất 1 nữ trong 5 ngƣời đó.

LỜI GIẢI

aố cách chọn 2 nam , 3 nữ là: C 210 C 310  5400 cách.

bó các trƣờng hợp xảy ra thỏa yêu cầu của đề nhƣ sau:

Trƣờng hợp 1: Có 2 nam và 3 nữ. Số cách chọn 5400 cách.

Trƣờng hợp 2: Có 3 nam và 2 nữ. Số cách chọn: C 310 C 210  5400

Trƣờng hợp 3: Có 4 nam và 1 nữ. Số cách chọn: C 410 C 110  2100

 Tổng cộng 3 trƣờng hợp ta có 5400  5400  2100  12900 cách.

Vấn đề 3. TỔ HỢP

Câu 28. Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ. Chọn 3 học sinh để tham gia vệ sinh

công cộng toàn trƣờng, hỏi có bao nhiêu cách chọn nhƣ trên?

A. 9880. B. 59280. C. 2300. D. 455.

Lời giải Nhóm học sinh 3 ngƣời đƣợc chọn (không phân biệt nam, nữ - công việc) là một tổ hợp

chậm 3 của 40 (học sinh).

Vì vậy, số cách chọn nhóm học sinh là 403

40!

9880.

37!.3!

C Chọn A.

Câu 29. Một tổ có 10 ngƣời gồm 6 nam và 4 nữ. Cần lập một đoàn đại biểu gồm 5 ngƣời, hỏi có

bao nhiêu cách lập?

A. 25. B. 252. C. 50. D. 455.

Lời giải. Mỗi đoàn đƣợc lập là một tổ hợp chập 5 của 10 (ngƣời). Vì vậy, số đoàn đại biểu có thể có

là 105

10!

252.

5!.5!

C Chọn B.

Câu 30. Trong một ban chấp hành đoàn gồm 7 ngƣời, cần chọn 3 ngƣời trong ban thƣờng vụ. Nếu

không có sự phân biệt về chức vụ của 3 ngƣời trong ban thƣờng vụ thì có bao nhiêu các chọn?

A. 25. B. 42. C. 50. D. 35.

Lời giải. Vì không xét đến sự phân biệt chức vụ của 3 ngƣời trong ban thƣờng vụ nên mỗi cách chọn

ứng với một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử.

Nhƣ vậy, ta có 75

7!

35

2!.5!

C cách chọn ban thƣờng vụ. Chọn D.

Câu 31. Một cuộc thi có 15 ngƣời tham dự, giả thiết rằng không có hai ngƣời nào có điểm bằng nhau.

Nếu kết quả cuộc thi và việc chọn ra 4 ngƣời có điểm cao nhất thì có bao nhiêu kết quả có thể xảy ra?

A. 1635. B. 1536. C. 1356. D. 1365.

Lời giải. Nếu kết quả cuộc thi là việc chọn ra 4 ngƣời có điểm cao nhất thì mỗi kết quả ứng với một

tổ hợp chập 4 của 15 phần tử.

Nhƣ vậy, ta có C 15 4 1365 kết quả. Chọn D.

Câu 32. Một hộp đựng 5 viên bi màu xanh, 7 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách lấy ra 6 viên bi bất

kỳ?

A. 665280. B. 924. C. 7. D. 942.

Lời giải. Số cách lấy 6 viên bi bất kỳ (không phân biệt màu) trong 12 viên bi là một tổ hợp chập 6

của 12 (viên bi). Vậy ta có C 12 6 924 cách lấy. Chọn B.

Câu 33. Có bao nhiêu cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con?

A. 104. B. 450. C. 1326. D. 2652.

Lời giải. Mỗi cách lấy 2 con bài từ 52 con là một tổ hợp chập 2 của 52 phần tử.

Vậy số cách lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ 52 con là C 52 2 1326ọn C.

Câu 34. Có 15 đội bóng đá thi đấu theo thể thức vòng tròn tính điểm. Hỏi cần phải tổ chức bao nhiêu

trận đấu?

A. 100. B. 105. C. 210. D. 200.

Lời giải. Lấy hai đội bất kỳ trong 15 đội bóng tham gia thi đấu ta đƣợc một trận đấu.

Vậy số trận đấu chính là một tổ hợp chập 2 của 15 phần tử (đội bóng đá).

Nhƣ vậy, ta có 152

15!

105

13!.2!

C trận đấu. Chọn B.

Câu 35. Có bao nhiêu cách cắm 3 bông hoa giống nhau vào 5 lọ khác nhau (mỗi lọ cắm không quá

một bông)?

A. 10. B. 30. C. 6. D. 60.

Lời giải. Cắm 3 bông hoa giống nhau, mỗi bông vào 1 lọ nên ta sẽ lấy 3 lọ bất kỳ trong 5 lọ khác

nhau để cắm bông. Vậy số cách cắm bông chính là một tổ hợp chập 3 của 5 phần tử (lọ hoa). Nhƣ

vậy, ta có 53

5!

10

2!.3!

C cách. Chọn A.

Câu 36. Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm 2018 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà

hai đầu mút thuộc P?

A.

2018!.

2016!

B.

2016!.

2!

C.

2018!.

2!

D.

2018!

.

2016!.2!

Lời giải. Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn đƣợc một đoạn thẳng.

Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 2018 phần tử (điểm).

Nhƣ vậy, ta có 20182

2018!

2016!.2!

C đoạn thẳng. Chọn D.

Câu 37. Cho 10 điểm, không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi có bao nhiêu đƣờng thẳng khác nhau

tạo bởi 2 trong 10 điểm nói trên?

A. 90. B. 20. C. 45. D. Một số khác.

Lời giải. Với hai điểm bất kỳ trong n điểm ta luôn đƣợc một đoạn thẳng.

Vậy số đoạn thẳng cần tìm chính là một tổ hợp chập 2 của 10 phần tử (điểm).

Nhƣ vậy, ta có 102

10!

45

8!.2!

C đƣờng thẳng. Chọn C.

Câu 38. Trong mặt phẳng, cho 6 điểm phân biệt sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi có

thể lập đƣợc bao nhiêu tam giác mà các đỉnh của nó thuộc tập điểm đã cho?

A. 15. B. 20. C. 60. D. Một số khác.

Lời giải. Cứ 3 điểm phân biệt không thẳng hàng tạo thành một tam giác.

Suy ra số đƣờng chéo của đa giác đều n đỉnh là 2

3.

2

####### n

n n

C n

Theo bài ra, ta có 2

3

3

3 18.

135 3 270 0

2

n

n

n n n

n n

Chọn D.

Câu 46. Trong mặt phẳng có bao nhiêu hình chữ nhật đƣợc tạo thành từ bốn đƣờng thẳng phân biệt

song song với nhau và năm đƣờng thẳng phân biệt vuông góc với bốn đƣờng thẳng song song đó.

A. 60. B. 48. C. 20. D. 36.

Lời giải. Cứ 2 đƣờng thẳng song song với 2 đƣờng thẳng vuông góc với chúng cắt nhau tại bốn

điểm là 4 đỉnh của hình chữ nhật.

Vậy lấy 2 đƣờng thẳng trong 4 đƣờng thẳng song song và lấy 2 đƣờng thẳng trong 5 đƣờng thẳng

vuông góc với 4 đƣờng đó ta đƣợc số hình chữ nhật là C 4 2 .C 52 60.

Chọn A.

Câu 47. Một lớp có 15 học sinh nam và 20 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn 5 bạn học sinh sao

cho trong đó có đúng 3 học sinh nữ?

A. 110790. B. 119700. C. 117900. D. 110970.

Lời giải. Số cách chọn 3 học sinh nữ là: C 320 1140 cách.

Số cách chọn 2 bạn học sinh nam là: C 15 2 105 cách.

Số cách chọn 5 bạn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: 1140 105 119700. Chọn B.

Câu 48. Có bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn luôn có

mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ?

A. 4! C C 41 5 1. B. 3! C C 32 5 2. C. 4! C C 42 5 2. D. 3! C C 42 52.

Lời giải. Số cách chọn 2 số chẵn trong tập hợp 2;4;6;8 là: C 4 2 cách.

Số cách chọn 2 số lẻ trong tập hợp 1;3;5;7;9 là: C 5 2 cách.

Số cách hoán vị 4 chữ số đã chọn lập thành 1 số tự nhiên là: 4! cách.

Vậy có 4! C 4 2 C 5 2 số tự nhiên thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.

Câu 49. Một túi đựng 6 bi trắng, 5 bi xanh. Lấy ra 4 viên bi từ túi đó. Hỏi có bao nhiêu cách lấy mà

4 viên bi lấy ra có đủ hai màu.

A. 300. B. 310. C. 320. D. 330.

Lời giải. Các viên bi lấy ra có đủ cả 2 màu nên ta có các trƣờng hợp:

Số bi trắng Số bi xanh Số cách chọn

1 3

####### 1 3

C 6 C 5

2 2

####### 2 2

C 6 C 5

3 1 C 6 3 C 15

Vậy có tất cả C 6 1 C 5 3 C 6 2 C 5 2 C 36 C 5 1 310 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn B.

Cách 2. Dùng phần bù. Số cách chọn 4 viên bi tùy ý từ 11 viên bi là: C 11 5 cách.

Số cách chọn 4 viên bi màu trắng là: C 64 cách.

Số cách chọn 4 viên bi là màu xanh là: C 5 4 cách.

Vậy có C 11 5 C 6 4 C 5 4 310 cách chọn 4 viên bi trong đó có cả 2 màu.

Câu 50. Một nhóm học sinh có 6 bạn nam và 5 bạn nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 học sinh

trong đó có cả nam và nữ?

A. 455. B. 7. C. 456. D. 462.

Lời giải. Số cách chọn 5 học sinh tùy ý là: C 11 5 cách.

Số cách chọn 5 học sinh nam là: C 6 5 cách.

Số cách chọn 5 học sinh nữ là: C 55 cách.

Vậy có C 11 5 C 56 C 5 5 455 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn A.

Cách 2. Do trong 5 học sinh đƣợc chọn có cả nam cả nữ nên ta có các trƣờng hợp sau:

Lớp học thầy Đinh Trọng Hoàng, bồi dưỡng các môn Toán, Lý, Hóa, Tiếng Anh từ lớp 8-12.

Liên hệ đăng ký học: 01679250568 (thầy Hoàng), 01655527936 (cô Mai)

Số học sinh nam Số học sinh nữ Số cách chọn

1 4

####### 1 4

C 6 C 5

2 3

####### 2 3

C 6 C 5

3 2 C 6 3 C 52

4 1

####### 4 1

C 6 C 5

Vậy có C 6 1 C 5 4 C 6 2 C 5 3 C 6 3 C 5 2 C 6 4 C 15 455 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 51. Để chào mừng kỉ niệm ngày thành lập Đoàn TNCS Hồ Chí Minh, nhà trƣờng tổ chức cho

học sinh cắm trại. Lớp 10A có 19 học sinh nam và 16 học sinh nữ. Giáo viên cần chọn 5 học sinh để

trang trí trại. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất 1 học sinh nữ? Biết rằng học

sinh nào trong lớp cũng có khă năng trang trí trại.

A. C 19 5. B. C 35 5 C 195. C. C 35 5 C 16 5. D. C 165.

Lời giải. Tổng số học sinh lớp 10A là 35.

Có C 535 cách chọn 5 học sinh từ 35 học sinh lớp 10A.

Có C 19 5 cách chọn 5 học sinh từ 19 học sinh nam của lớp 10A.

Do đó có C 35 5 C 19 5 cách chọn 5 học sinh sao cho có ít nhất một học sinh nữ. Chọn B.

Câu 52. Một lớp học có 40 học sinh, trong đó có 25 nam và 15 nữ. Giáo viên cần chọn 3 học sinh

tham gia vệ sinh công cộng toàn trƣờng. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 học sinh trong đó có nhiều

nhất 1 học sinh nam?

A. 2625. B. 455. C. 2300. D. 3080.

Lời giải. Do trong 3 học sinh đƣợc chọn có nhiều nhất 1 học sinh nam nên ta có các trƣờng hợp sau:

Số học sinh nam Số học sinh nữ Số cách chọn

1 2

####### 1 2

C 25 C 15

0 3 C 25 0 C 153

Vậy có C 25 1 C 15 2 C 25 0 C 15 3 3080 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.

Cách 2. Số cách chọn 3 học sinh bất kì trong lớp là: C 340 cách.

Số cách chọn 3 học sinh trong đó có 2 học sinh nam, 1 học sinh nữ là: C 25 2 C 15 1 cách.

Số cách chọn 3 học sinh nam là: C 325 C 15 0 cách.

Vậy có C 40 3 C 25 2 C 15 1 C 25 3 C 15 0 3080 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 53. Từ 20 ngƣời cần chọn ra một đoàn đại biểu gồm 1 trƣởng đoàn, 1 phó đoàn, 1 thƣ kí và 3

ủy viên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn đoàn đại biểu?

A. 4651200. B. 4651300. C. 4651400. D. 4651500.

Lời giải. Số cách chọn 1 ngƣời trong 20 ngƣời làm trƣởng đoàn là: C 20 1 cách.

Số cách chọn 1 ngƣời trong 19 ngƣời còn lại làm phó đoàn là: C 19 1 cách.

Số cách chọn 1 ngƣời trong 18 ngƣời còn lại làm thƣ kí là: C 18 1 cách.

Số cách chọn 3 ngƣời trong 17 ngƣời còn lại làm ủy viên là: C 17 3 cách.

Vậy số cách chọn đoàn đại biểu là C 20 1 C 119 C 18 1 C 17 3 4651200. Chọn A.

Câu 54. Một tổ gồm 10 học sinh. Cần chia tổ đó thành ba nhóm có 5 học sinh, 3 học sinh và 2 học

sinh. Số các chia nhóm là:

A. 2880. B. 2520. C. 2515. D. 2510.

Lời giải. Số cách chọn ra nhóm có 5 học sinh từ 10 học sinh là: C 10 5 cách.

Số cách chọn ra nhóm 3 học sinh từ 5 học sinh còn lại là: C 5 3 cách.

Số cách chọn ra nhóm 2 học sinh từ 2 học sinh còn lại là: C 2 2 cách.

Vậy có C 10 5 C 35 C 2 2 2520 cách chia nhóm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Câu 55. Một nhóm đoàn viên thanh niên tình nguyện về sinh hoạt tại một xã nông thôn gồm có 21

đoàn viên nam và 15 đoàn viên nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân chia 3 nhóm về 3 ấp để hoạt động

sao cho mỗi ấp có 7 đoàn viên nam và 5 đoàn viên nữ?

A. 3 C 36 12. B. C 1236. C. 3 C C 217 15 5. D. C C C C 217 155 147 105.

Lớp học thầy Đinh Trọng Hoàng, bồi dưỡng các môn Toán, Lý, Hóa, Tiếng Anh từ lớp 8-12.

Liên hệ đăng ký học: 01679250568 (thầy Hoàng), 01655527936 (cô Mai)

Câu 59. Có 12 học sinh giỏi gồm 3 học sinh khối 12, 4 học sinh khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi

có bao nhiêu cách chọn ra 6 học sinh trong số học sinh giỏi đó sao cho mỗi khối có ít nhất 1 học

sinh?

A. 85. B. 58. C. 508. D. 805.

Lời giải. Số cách chọn 6 học sinh bất kì trong 12 học sinh là: C 12 6 cách.

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 10 là: C 76 cách.

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 11 là: C 86 cách.

Số cách chọn 6 học sinh mà trong đó không có học sinh khối 12 là: C 96 cách.

Vậy có C 12 6 C 7 6 C 8 6 C 9 6 805 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn D.

Câu 60. Đội học sinh giỏi cấp trƣờng môn Tiếng Anh của trƣờng THPT X theo từng khối nhƣ sau:

khối 10 có 5 học sinh, khối 11 có 5 học sinh và khối 12 có 5 học sinh. Nhà trƣờng cần chọn một đội

tuyển gồm 10 học sinh tham gia IOE cấp tỉnh. Tính số cách lập đội tuyển sao cho có học sinh cả ba

khối và có nhiều nhất 2 học sinh khối 10.

A. 50. B. 500. C. 502. D. 501.

Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 2 khả năng xảy ra nhƣ sau:

TH1: Có đúng 1 học sinh khối 10.

Số cách chọn 1 học sinh khối 10 là: C 5 1 cách.

Số cách chọn 9 học sinh còn lại khối 11 và 12 là: C 109 cách.

TH2: Có đúng 2 học sinh khối 10.

Số cách chọn 2 học sinh khối 10 là: C 52 cách.

Số cách chọn 8 học sinh còn lại từ khối 11 và 12 là: C 10 8 cách.

Vậy có C 5 1 C 10 9 C 5 2 C 10 8 500 cách lập đội thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Câu 61. Đội văn nghệ của một nhà trƣờng gồm 4 học sinh lớp 12A, 3 học sinh lớp 12B và 2 học

sinh lớp 12C. Cần chọn ngẫu nhiên 5 học sinh từ đội văn nghệ đó để biểu diễn trong lễ bế giảng. Hỏi

có bao nhiêu cách chọn sao cho lớp nào cũng có học sinh đƣợc chọn và có ít nhất 2 học sinh lớp

12A?

A. 80. B. 78. C. 76. D. 98.

Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 3 khả năng xảy ra nhƣ sau:

Số học sinh lớp 12A Số học sinh lớp 12B Số học sinh lớp 12C Số cách chọn

2 2 1

####### 2 2 1

C 4 C 3 C 2

2 1 2

####### 2 1 2

C 4 C 3 C 2

3 1 1 C 4 3 C 13 C 12

Vậy có C 4 2 C 3 2 C 12 C 4 2 C 13 C 22 C 34 C 13 C 12 78 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Câu 62. Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh, 5 viên bi đỏ, 3 viên bi màu vàng. Có bao nhiêu cách

chọn từ hộp đó ra 4 viên bi sao cho số bi xanh bằng số bi đỏ?

A. 280. B. 400. C. 40. D. 1160.

Lời giải. Từ giả thiết suy ra có 2 trƣờng hợp xảy ra nhƣ sau:

Số viên bi xanh Số viên bi đỏ Số viến bi vàng Số cách chọn

1 1 2 C 8 1 C 5 1 C 32

2 2 0

####### 2 2 0

C 8 C 5 C 3

Vậy có C 18 C 15 C 3 2 C 28 C 52 C 3 0 400 cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Câu 63. Một hộp bi có 5 viên bi đỏ, 3 viên bi vàng và 4 viên bi xanh. Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra

4 viên bi trong đó số viên bi đỏ lớn hơn số viên bi vàng.

A. 654. B. 275. C. 462. D. 357.

Lời giải. Tổng số bi lấy ra có 4 viên mà bi đỏ nhiều hơn bi vàng nên có 2 trƣờng hợp xảy ra:

TH1: Không có bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 1 viên trở lên.

Số cách lấy 4 viên bi bất kì trong tổng số 9 viên bi (gồm 5 đỏ và 4 xanh) là: C 9 4 cách.

Số cách lấy 4 viên bi xanh là: C 4 4 cách.

Số cách lấy thỏa mãn trong trƣờng hợp này là: C 9 4 C 4 4 125 cách.

TH2: Có 1 viên bi vàng, khi đó số bi đỏ phải từ 2 viên trở lên. Số cách lấy 1 viên bi vàng: C 3 1 cách.

Số cách lấy 3 viên bi còn lại trong đó có 2 bi đỏ và 1 bi xanh là: C 5 2 C 4 1 cách.

Số cách lấy 3 viên bi còn lại đều là bi đỏ là: C 5 3 C 04 cách.

Số cách lấy thỏa mãn trong trƣờng hợp này là: C 13 C 5 2 C 14 C 5 3 C 40 150 cách.

Vậy có 125 150 275 cách lấy thỏa mãn yêu cầu bài toánọn B.

Câu 64. Có 5 tem thƣ khác nhau và 6 bì thƣ khác nhau. Từ đó ngƣời ta muốn chọn ra 3 tem thƣ, 3 bì

thƣ và dán 3 tem thƣ ấy lên 3 bì đã chọn. Hỏi có bao nhiêu cách làm nhƣ thế?

A. 1000. B. 1200. C. 2000. D. 2200.

Lời giải. Số cách chọn 3 tem thƣ trong 5 tem thƣ khác nhau là: C 5 3 cách.

Số cách chọn 3 bì thƣ trong 6 bì thƣ khác nhau là: C 6 3 cách.

Số cách dán tem thƣ thứ nhất vào 3 bì thƣ là: C 13 cách.

Số cách dán tem thƣ thứ hai vào 2 bì thƣ còn lại là: C 12 cách.

Số cách dán tem thƣ thứ hai vào bì thƣ cuối cùng là: C 1 1 cách.

Vậy có C 5 3 C 6 3 C 3 1 C 2 1 C 11 1200 cách làm thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn B.

Câu 65. Cho 10 câu hỏi, trong đó có 4 câu lý thuyết và 6 câu bài tập, ngƣời ta cấu tạo thành các đề

thi. Biết rằng trong đề thi phải gồm 3 câu hỏi trong đó có ít nhất 1 câu lý thuyết và 1 câu hỏi bài tập.

Hỏi có thể tạo đƣợc bao nhiêu đề nhƣ trên?

A. 69. B. 88. C. 96. D. 100.

Lời giải. Theo bài ra, một đề thi gồm 3 câu hỏi vừa có câu hỏi lý thuyết vừa có câu hỏi bài tập nên ta

xét:

TH1: Đề thi gồm 1 câu lý thuyết, 2 câu bài tập. Lấy 1 câu lý thuyết trong 4 câu lý thuyết có C 14

cách, tƣơng ứng lấy 2 câu bài tập trong 6 câu bài tập có C 26 cách. Vậy có C C 14. 26 đề.

TH2: Đề thi gồm 2 câu lý thuyết, 1 câu bài tập. Lập luận tƣơng tự TH1, ta sẽ tạo đƣợc C 24 .C 16 đề.

Vậy có thể tạo đƣợc C 14 C 26 C 24 C 6 1 96 đề thi thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn C.