Bài tập ước lượng khoảng tin cậy có lời giải năm 2024
|
Khoảng tin cậy là một dãy giá trị mà trong đó các tham số của tổng thể như số trung bình ((), tỉ lệ (p) và phương sai ((2) cần được ước lượng nằm trong khoảng này. Ứơc lượng khoảng tin cậy là một hình thức dự báo trong thống kê, một chỉ tiêu kinh tế nào đó có thể được ước lượng tại một điểm nào đó (dự báo điểm) hay nằm trong một khoảng nào đó (dự báo khoảng) với độ tin cậy cho trước. Ví dụ: Với độ tin cậy 90%, một mẫu gồm 16 quan sát có trung bình từ một tổng thể có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn s = 6 thì trung bình tổng thể ( có giá trị trong khoảng từ 17,4675 đến 22,5325. Khoảng tin cậy cho trung bình tổng thể được ước lượng dựa vào giá trị được quan sát của trung bình mẫu. Ðặt ( là một tham số chưa biết của tổng thể. Giả sử rằng chúng ta dựa vào thông tin của mẫu quan sát, tìm những biến ngẫu nhiên A và B sao cho: P ( A < q < B ) = 1 - trong đó (1 - () là độ tin cậy (level of confidence) và 100 (1 - ()% là khoảng tin cậy cho (, khoảng này sẽ chứa các tham số của tổng thể. II. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CHO TRUNG BÌNH TỔNG THỂ (khi biết phương sai s 2 ) Giả sử rằng chúng ta có một mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát từ một phân phối chuẩn với trung bình ( và phương sai (2, và trung bình mẫu là Ġ. Một khoảng tin cậy 100 (1- ()% cho trung bình tổng thể ( được xác định như sau: Trong đóĠ là một số sao cho P ( Z ľ) = P ( Z < ĭ) Ľ và biến ngẫu nhiên Z có phân phối chuẩn tắc:Ġ Ví dụ: Một qui trình sản xuất đường tinh chế. Trọng lượng của những bao đường có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 1,2kg. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 25 bao có trọng lượng trung bình mỗi bao 19,8 kg. Tìm khoảng tin cậy 95% cho trọng lượng trung bình tổng thể được sản xuất bởi qui trình. Bảng tra phân phối chuẩn Z được tóm tắt như sau: a 0,005 0,01 0,025 0,05 0, Za 2,575 2,33 1,96 1,645 1, · Khoảng tin cậy 95% cho trung bình tổng thể là: quảng cáo đều đánh lừa sự thông minh của khách hàng.. Ðiểm trả lời có trung bình mẫu là 3, và độ lệch chuẩn là 1,57. Tìm một khoảng tin cậy 99% cho trung bình tổng thể. Xuất phát từ công thức : Ta có: ĉ= 3,92 ; Sx= 1,57 ; n = (1 - ) = 99% Þ = 1% /2 = 0,5% = 0, Tra bảng trang 76 ta có: Z0,5% = 2, 3,82 < < 4,Như vậy, khoảng tin cậy 99% cho trung bình sự trả lời của sinh viên nằm trong khoảng từ 3, đến 4,02, nghĩa là sinh viên có xu hướng đồng ý câu nói trên. III. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CỦA TRUNG BÌNH TỔNG THỂ ( khi chưa biết phương sai tổng thể) (mẫu nhỏ) Trong trường hợp chưa biết phương sai tổng thể ((2), ta có thể sử dụng biến ngẫu nhiên t với (n -1) độ tự do của phân phối Student thay cho biến ngẫu nhiên Z và tính giống như trong trường hợp biết phương sai (2 nhưng thay độ lệch chuẩn tổng thể bằng độ lệch chuẩn mẫu. Các điều kiện khác và giả sử giống như phần (II). Ta có:ĉ ĉ và khoảng tin cậy 100 ( 1- () % cho ( được tính như sau: (2)Trong đóĠ là một số sao cho P Ĩľ) =Ġ Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 6 kiện hàng được chọn ra từ tất cả các kiện hàng được sản xuất bởi nhà máy trong một tuần. Trọng lượng của 6 kiện hàng lần lượt như sau (kg): 18,6 18,4 19,2 20,8 19,4 20, Tìm khoảng tin cậy 90% cho trọng lượng trung bình tổng thể của tất cả các kiện hàng của nhà máy, giả sử phân phối của tổng thể là phân phối chuẩn. Kiện hàng (i) Trọng lượng (kg) (xi) (xi 2 ) 1 18,6 345,2 18,4 338,3 19,2 368,4 20,8 432,5 19,4 376,6 20,5 420,Tổng cộng 116,9 2282, Từ dữ liệu bảng trên tính được:ĉ Ľ 19,4833Ġ \= 0,vàĠ(tn-1,(/2 Ľ: giá trị tra bảng phân phối Student t. Vậy: ĉ 18,67 < < 20, Vì vậy, khoảng tin cậy 90% cho trọng lượng trung bình của tất cả các kiện hàng nằm trong khoảng từ 18,67 kg đến 20,29kg. Chú ý: Trong điều kiện như nhau, nếu khoảng tin cậy (KTC) càng lớn thì khoảng ước lượng giá trị càng lớn, càng kém chính xác. IV. ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG TIN CẬY CHO TỶ LỆ P TỔNG THỂ: trường hợp mẫu lớn Ví dụ: Trọng lượng của các kiện hàng (kg) được sản xuất bởi hai phân xưởng trong một nhà máy được cho trong bảng dưới đây: Bảng 2: Kiện hàng Phân xưởng A Phân xưởng B (i) (xi: kg) (yi: kg) di = xi - yi di 2 1 19,4 19,6 - 0,2 0, 2 18,8 17,5 1,3 1, 3 20,6 18,4 2,2 4, 4 17,6 17,5 0,1 0, 5 19,2 18,0 1,2 1, 6 20,9 20,0 0,9 0, 7 18,3 18,8 - 0,5 0, 8 20,4 19,2 1,2 1, Tổng cộng 6,2 10, \=0,\= 0,và Ġ t n-1, (/2 = t 7, 0,5% = 3, Khoảng tin cậy 99% cho ((x - (y):
Vì vậy, khoảng tin cậy 99% cho sự chênh lệch trọng lượng trung bình tổng thể của mỗi kiện hàng được sản xuất từ hai phân xưởng nằm trong khoảng - 0,342 kg đến 1,892 kg. Khoảng này chứa đựng giá trị 0, điều này cho ta đoán rằng có sự bằng nhau về trọng lượng trung bình mỗi kiện hàng được sản xuất từ hai phân xưởng. 2. Ước lượng khoảng tin cậy dựa vào mẫu độc lập có phương sai khác nhau: (Independent samples) Giả sử có hai mẫu ngẫu nhiên độc lập có nx và ny quan sát từ những phân phối chuẩn có trung bình (x và (y và phương sai (x2 và (y2. Nếu trung bình mẫu làĠ vàĠ thì khoảng tin cậy 100 (1 - () % cho ( (x - (y) được tính: (2)Trong đóĠ là một số sao cho P ( Z ľ) =Ġ Ví dụ: Một mẫu ngẫu nhiên gồm 96 người hút thuốc lá, lượng giờ trung bình của những người nghỉ việc không có lý do là 2,15 giờ trong tháng và độ lệch chuẩn là 2,09 giờ/ tháng. Một mẫu ngẫu nhiên độc lập khác gồm 206 người không hút thuốc lá, lượng giờ trung bình của những người nghỉ việc là 1,69 giờ/tháng, độ lệch chuẩn của mẫu là 1,91 giờ/ tháng. Tìm khoảng tin cậy 99% cho sự khác biệt của hai trung bình tổng thể. Trong khoảng từ - 0,19 đến 1,11 chứa giá trị 0, có nghĩa là những bằng chứng trong tài liệu không đủ mạnh để bác bỏ sự phán đoán rằng số người nghỉ việc trung bình của cả hai nhóm người này là bằng nhau. 3. Ước lượng khoảng tin cậy dựa vào mẫu độc lập có phương sai bằng nhau: Ví dụ: Một nghiên cứu về hiệu quả trong việc hoạch định tài chánh của ngân hàng. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 6 nhà hoạch định cho rằng tốc độ tăng thu nhập trung bình hàng năm là 9,972% Kết luận: Sự thật rằng khoảng 20,7% đến 44,3% đồng ý với yêu cầu trên nhưng những nhà kế toán thích có một phần mềm ứng dụng riêng biệt hơn là các giáo viên. VII. ƯỚC LƯỢNG CỞ MẪU (Estimating the sample size) Chúng ta đã phát triển những phương pháp để tìm khoảng tin cậy cho một tham số của tổng thể trên cơ sở thông tin của mẫu. Theo một tiến trình như vậy, một nhà điều tra có thể tin rằng nếu khoảng tin cậy mang lại kết quả quá rộng thì phản ánh một điều không mong muốn, bởi vì nó không chắc chắn cho tham số đang được ước lượng. Một cách điển hình, chỉ có một hướng để đạt được khoảng hẹp hơn với độ tin cậy cao hơn là tăng số quan sát hay tăng cỡ mẫu (n lớn hơn). Trong một số trường hợp, các nhà điều tra có thể cố định trước độ rộng của khoảng tin cậy, chọn n vừa đủ lớn để đảm bảo độ rộng đó. Vậy làm thế nào cỡ mẫu có thể được chọn theo hướng này cho hai vấn đề ước lượng khoảng. 1. Cỡ mẫu cho những khoảng tin cậy của trung bình tổng thể có phân phối chuẩn khi biết phương sai: Xuất phát từ công thức (2):Ġ. Giả sử rằng một mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát từ một phân phối chuẩn có trung bình ( và phương sai (2. Một khoảng tin cậy 100 (1 - ()% cho trung bình tổng thể và một khoảng cách L =Ġ cho mỗi bên của trung bình mẫu thì số quan sát (cỡ mẫu) là : (2)Trong đó: Z(/2 là một số sao cho P ( Z > Z(/2 ) =Ġvà Z có một phân phối chuẩn tắc. Ví dụ : Chiều dài của những que kim loại được sản xuất bởi một qui trình công nghệ cao có phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn là 1,8mm. Một mẫu ngẫu nhiên gồm 9 quan sát từ tổng thể này, khoảng tin cậy 99% cho ước lượng trung bình tổng thể là 194,65 < ( < 197,75 thì được tìm ra cho chiều dài trung bình tổng thể. Giả sử một quản đốc sản xuất thì tin rằng khoảng cách thì quá rộng cho việc sử dụng thực tế và yêu cầu thay thế một khoảng tin cậy 99% không được mở rộng hơn 0,5mm cho mỗi bên của trung bình mẫu. Hãy tìm cỡ mẫu để đạt được khoảng cách như vậy? Ta có: L = 0,5 ( = 1,8 Z(/2 = Z0,5% = 2, Vì vậy, để thỏa mãn yêu cầu của quản đốc phân xưởng chúng ta cần một cỡ mẫu ít nhất phải là 86 quan sát. Tuy nhiên, trong thực tế sự tăng lên trong cỡ mẫu thì yêu cầu chi phí cao hơn để đạt được sự ước lượng cho trung bình tổng thể có khoảng tin cậy hẹp hơn. 2. Cỡ mẫu cho những khoảng tin cậy của tỉ lệ tổng thể: Xuất phát từ công thức: Giả sử rằng một mẫu ngẫu nhiên gồm n quan sát, một khoảng tin cậy 100 (1- ()% cho tỉ lệ tổng thể p được cho bởi công thức trên và khoảng cách cho mỗi bên của tỉ lệ mẫu là : Tuy nhiên tỉ lệĠ không thể được lớn hơn 0,25 (giá trị khi tỉ lệ mẫu là 0,5). Vì vậy, giá trị có thể lớn nhất cho L là Nếu sau đó một nhà điều tra muốn chọn một cỡ mẫu lớn hơn có ý nghĩa cho việc bảo đảm khoảng tin cậy không rộng hơn khoảng cách L* cho mỗi bên của tỉ lệ mẫu. Ví dụ: Trở lại ví dụ về những nhà lãnh đạo ngân hàng trả lời không về việc chấp nhận những thực tế trong kinh doanh dựa trên 73 quan sát và chúng ta đã tính khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ của tổng thể là: 0,42 < p < 0, Giả sử chúng ta muốn chắc chắn một khoảng tin cậy 95% cho tỉ lệ tổng thể không lớn hơn 0, cho mỗi bên của tỉ lệ mẫu thì cỡ mẫu của chúng ta sẽ là bao nhiêu? Vậy để chắc chắn đạt được khoảng tin cậy hẹp hơn, ít nhất chúng ta phải chọn n = 267. BÀI TẬP
Một cuộc điều tra được thực hiện của những người bán hàng ở các cửa hàng về thái độ và mong muốn của những khách hàng lớn tuổi. Một mẫu nhiên gồm 232 khách hàng tuổi từ 65 trở lên, 25% đã chỉ ra rằng họ mong muốn có sự quan tâm nhiều hơn cho khách hàng lớn tuổi. Họ đặt câu hỏi như sau: Những công ty và các cửa hàng có thể làm gì để giúp quí ông, quí bà một cách tốt nhất. Một mẫu ngẫu nhiên khác gồm 106 khách hàng khác, tuổi từ 55 - 64, 19,8% trong số nầy cũng muốn được đáp ứng mong muốn của mình. Tìmû khoảng tin cậy 90% cho sự khác biệt giữa hai tỉ lệ của hai tổng thể trên? |
