Tương tự như hàm số hay tích phân, vi phân, đạo hàm có nhiều ứng dụng trong toán học và nhiều lĩnh vực khác.
Mục lục
- 1 Ý nghĩa hình học của đạo hàm
- 1.1 Tiếp tuyến của đường cong phẳng
- 1.2 Phương trình tiếp tuyến
- 2 Ý nghĩa vật lý của đạo hàm
- 2.1 Vận tốc tức thời
- 2.2 Cường độ tức thời của dòng điện
- 2.3 Gia tốc tức thời
- 3 Ý nghĩa hàm số của đạo hàm
- 3.1 Xét tính đơn điệu của hàm số
- 3.2 Điều kiện để hàm số có cực trị
- 3.3 Tìm cực trị
- 4 Tham khảo
Tiếp tuyến của đường cong phẳngSửa đổi
Đạo hàm của hàm số y = f [ x ] {\displaystyle y=f[x]} tại x 0 {\displaystyle x_{0}} là hệ số góc của tiếp tuyến M 0 T {\displaystyle M_{0}T} của [C] tại điểm M 0 [ x 0 ; f [ x 0 ] ] {\displaystyle M_{0}[x_{0};f[x_{0}]]} . Chứng minh: Giả sử ta có điểm M [ x 0 + Δ x ; f [ x 0 + Δ x ] 0 {\displaystyle M[x_{0}+\Delta x;f[x_{0}+\Delta x]0} là điểm di chuyển trên [C]. Ta có M 0 H ¯ {\displaystyle {\bar {M_{0}H}}} = Δ x , H M ¯ = Δ y {\displaystyle \Delta x,{\bar {HM}}=\Delta y} Hệ số góc của cát tuyến M 0 M {\displaystyle M_{0}M} là t a n φ = H M ¯ M 0 H ¯ {\displaystyle tan\varphi ={\frac {\bar {HM}}{\bar {M_{0}H}}}} = Δ y Δ x {\displaystyle ={\frac {\Delta y}{\Delta x}}} Khi M dần tới M 0 {\displaystyle M_{0}} [ M ⟶ M 0 {\displaystyle M\longrightarrow M_{0}} ] thì Δ x → 0 {\displaystyle \Delta x\rightarrow 0} và ngược lại. Theo giả thiết, f[x] có đạo hàm tại x 0 {\displaystyle x_{0}} nên tồn tại giới hạn f ′ [ x 0 ] = lim Δ x → 0 Δ y Δ x {\displaystyle f'[x_{0}]=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}} = lim M → M 0 t a n φ {\displaystyle \lim _{M\to M_{0}}tan\varphi } Vậy khi M ⟶ M 0 {\displaystyle M\longrightarrow M_{0}} thì cát tuyến M 0 M {\displaystyle M_{0}M} dần tới vị trí giới hạn là đường thẳng M 0 T {\displaystyle M_{0}T} , có hệ số góc bằng lim M → M 0 t a n φ = f ′ [ x 0 ] {\displaystyle \lim _{M\to M_{0}}tan\varphi =f'[x_{0}]} . Đường thẳng M 0 T {\displaystyle M_{0}T} là tiếp tuyến tại M 0 {\displaystyle M_{0}} của [C]. Vậy f ′ [ x 0 ] {\displaystyle f'[x_{0}]} là hệ số góc của tiếp tuyến tại M 0 {\displaystyle M_{0}} của đồ thị [C]
Phương trình tiếp tuyếnSửa đổi
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] của hàm y=f[x] tại M 0 [ x 0 ; f [ x 0 ] ] {\displaystyle M_{0}[x_{0};f[x_{0}]]} là y − y 0 = f ′ [ x 0 ] [ x − x 0 ] {\displaystyle y-y_{0}=f'[x_{0}][x-x_{0}]} trong đó y 0 = f [ x 0 ] {\displaystyle y_{0}=f[x_{0}]} . Điều này được rút ra từ tiếp tuyến đường cong phẳng.
Vận tốc tức thờiSửa đổi
Một chuyển động thẳng có phương trình dạng s = s [ t ] {\displaystyle s=s[t]} là một hàm số có đạo hàm, khi đó vận tốc tức thời xác định bằng công thức v [ t 0 ] = s ′ [ t 0 ] = lim t → t 0 s [ t ] − s [ t 0 ] t − t 0 {\displaystyle v[t_{0}]=s'[t_{0}]=\lim _{t\to t_{0}}{\frac {s[t]-s[t_{0}]}{t-t_{0}}}} trong đó nếu t → t 0 {\displaystyle t\rightarrow t_{0}} ⇔ | t − t 0 | {\displaystyle \Leftrightarrow \left\vert t-t_{0}\right\vert } sẽ có độ chính xác càng cao..
Cường độ tức thời của dòng điệnSửa đổi
Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số thời gian của t hay Q = Q [ t ] {\displaystyle Q=Q[t]} với cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian | t − t 0 | {\displaystyle \left\vert t-t_{0}\right\vert } là I = Q [ t ] − Q [ t 0 ] t − t 0 {\displaystyle I={\frac {Q[t]-Q[t_{0}]}{t-t_{0}}}} hoặc đơn giản chỉ là I [ t 0 ] = Q ′ [ t 0 ] {\displaystyle I[t_{0}]=Q'[t_{0}]}
Gia tốc tức thờiSửa đổi
Với đạo hàm cấp hai ta có f ″ [ t ] {\displaystyle f''[t]} là gia tốc tức thời của chuyển động s = f [ t ] {\displaystyle s=f[t]} tại thời điểm t.
Tất cả các kiến thức kể trên đều có trong SGK Đại số và Giải tích 11, Sách nâng cao Đại số và Giải tích 11 nâng cao và Sách Giáo viên Đại số Giải tích 11 nâng cao.
Xét tính đơn điệu của hàm sốSửa đổi
Định lý sau đây được thừa nhận: Cho hàm y=f[x] có đạo hàm trên K nếu f'[x]>0 với mọi x thuộc K thì hàm số f[x] đồng biến trên K nếu f'[x] 0 {\displaystyle K\setminus \left\{x_{0}\right\},h>0} Nếu f'[x]>0 trên khoảng [ x 0 − h ; x 0 ] {\displaystyle [x_{0}-h;x_{0}]} và f'[x]0 trên khoảng [ x 0 ; x 0 + h ] {\displaystyle [x_{0};x_{0}+h]} thì x 0 {\displaystyle x_{0}} là một điểm cực tiểu của hàm số f[x]
Tìm cực trịSửa đổi
Định lý sau đây được thừa nhận: Giả sử hàm y=f[x] có đạo hàm cấp 2 trong khoảng K kể trên và h>0 thì:
nếu f ′ [ x 0 ] = 0 , f ″ [ x 0 ] > 0 => x 0 min {\displaystyle f'[x_{0}]=0,f''[x_{0}]>0=>x_{0}\min }
nếu f ′ [ x 0 ] = 0 , f ″ [ x 0 ] < 0 => x 0 max {\displaystyle f'[x_{0}]=0,f''[x_{0}]x_{0}\max }
Tất cả các kiến thức trong mục này đều có trong SGK Giải tích 11.