Bai toán tìm số thứ 55 trong day sô năm 2024
Bài toán 1: Để đánh số trang 1 quyển sách người ta dùng hết 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Show
Giải: Để đánh số trang quyển sách đó, người ta phải viết liên tiếp các số tự nhiên bắt đầu từ 1 thành dãy số. Dãy số này có 9 số có 1 chữ số có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần số chữ số là 9 x 1 + 90 x 2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là: 435 - 189 = 246 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết tiếp các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được 246 : 3 = 82 số Số trang quyển sách đó là 99 + 82 = 181 ( trang) Bài toán 2: Để đánh số trang một cuốn sách người ta phải dùng tất cả 600 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Giải: 99 trang đầu cần dùng 9 x 1 + 90 x 2 = 189 chữ số. 999 trang đầu cần dùng: 9 x 1 + 90 x 2 + 900 x 3 = 2889 chữ số Vì: 189 < 600 < 2889 nên trang cuối cùng phải có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số các trang có 3 chữ số là: 600 - 189 = 411 (chữ số) Số trang có 3 chữ số là 411: 3 = 137 trang. Vậy quyển sách có tất cả là: 99 + 137 = 236 trang. Bài toán 3: Để ghi thứ tự các nhà trên một đường phố, người ta dùng các số chẵn 2, 4, 6, 8 . . . để ghi các nhà ở dãy phải và các số lẻ 1, 3, 5, 7 . . . để ghi các nhà ở dãy trái của đường phố đó. Hỏi số nhà cuối cùng của dãy chẵn trên đường phố đó là bao nhiêu, biết rằng khi đánh thứ tự các nhà của dãy này, người ta đã dùng 367 lượt chữ số cả thảy. Giải: Số nhà có số thứ tự ghi bằng 1 chữ số chẵn là: (8 - 2) : 2 + 1 = 4 (nhà) Số nhà có số thứ tự ghi bằng 2 chữ số chẵn là: (98 - 10) : 2 + 1 = 45 (nhà) Số lượt chữ số để đánh số thự tự các nhà có 1 và 2 chữ số là: 4 + 45 x 2 = 94 (lượt) Số lượt chữ số để đánh số thứ tự nhà có 3 chữ số là: 367 - 94 = 273 (lượt) Số nhà có số thứ tự 3 chữ số là: 273 : 3 = 91 (nhà) Tổng số nhà của dãy chẵn là: 4 + 45 + 91 = 140 (nhà) Số nhà cuối cùng của dãy chẵn là: (140 - 1) x 2 + 2 = 280. Bài toán 4: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7, ..., n. Hãy tìm số n để số chữ số của dãy gấp 3 lần số các số hạng của dãy. Giải: Để tìm được số n sao cho số các chữ số của dãy gấp ba lần số các số hạng của dãy đó, ta giả sử trung bình mỗi số lẻ liên tiếp của dãy đều có 3 chữ số. Do đó: - Từ 1 đến 9 gồm các số lẻ có một chữ số là: (9 - 1) : 2 + 1 = 5 (số) Môi số cần phải viết thêm 2 chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: 2 x 5 = 10 (chữ số) Các số lẻ gồm hai chữ số là (99 - 11): 2 + 1 = 45 (số) Mỗi số cần phải viết thêm 1 chữ số nên số chữ số cần phải viết thêm là: 1 x 45 = 45 (chữ số) Các số lẻ gồm 3 chữ số là: (999 - 101) : 2 + 1 = 450 (số) Các số có 3 chữ số đảm bảo số chữ số của dãy gấp ba lần số số hạng của dãy đó. Từ 1001 trở đi, mỗi số cần bớt đi một chữ số. Số chữ số cần thêm phải bằng số chữ số cần bớt và bằng: 10 + 45 = 55 (chữ số) Vì mỗi số phải bớt đi 1 chữ số nên số các số lẻ có 4 chữ số là: 55 : 1 = 55 (số) Ta có: (n - 1001) : 2 + 1 = 55 (n - 1001) : 2 = 55 - 1 = 54 (n - 1001) = 54 x 2 = 108 n = 108 + 1001 = 1109 Bài tập về dạng toán tìm số số hạng khi biết số chữ số của dãy sốBài 1: Để viết dãy số tự nhiên liên tiếp bắt đầu từ 1 người ta dùng hết 756 chữ số. Hỏi số hạng cuối cùng của dãy số là bao nhiêu. Bài 2: Để ghi số thứ tự học sinh của 1 trường Tiểu học, người ta phải dùng 1137 chữ số. Hỏi trường đó có bao nhiêu học sinh ? Bài 3: Tính số trang của một cuốn sách. Biết rằng để đánh số trang của cuốn sách đó người ta phải dùng 3897 chữ số? Bài 4: Để đánh số trang của một quyển sách, người ta phải dùng trung bình mỗi trang 4 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang? Dạng 7: Tìm chữ số thứ n của dãy sốBài toán 1: Cho dãy số 1, 2, 3,..... Hỏi chữ số thứ 200 là chữ số nào ? Giải: Dãy số đã cho có 9 số có 1 chữ số Có 90 số có 2 chữ số Để viết các số này cần 9 x 1 + 90 x 2 = 189 chữ số Số chữ số còn lại là 200 - 189 = 11 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 3 chữ số bắt đầu từ 100. Ta viết được 11 : 3 = 3 số (dư 2 chữ số) Nên có 3 số có 3 chữ số được viết liên tiếp đến 99 + 3 = 102 Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 103 nhưng chỉ viết được 10. Vậy chữ số thứ 200 của dãy là chữ số 0 của số 103. Bài toán 2: Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ..... Hỏi chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số nào? Giải: Dãy số đã cho có 4 số có 1 chữ số Có (98 - 10) : 2 + 1 = 45 số có 2 chữ số Có (998 - 100) : 2 + 1 = 450 số có 3 chữ số Để viết các số này cần: 4 x 1 + 45 x 2 + 450 x 3 = 1444 chữ số Số chữ số còn lại là: 2010 - 1444 = 566 chữ số Số chữ số còn lại này dùng để viết các số có 4 chữ số bắt đầu từ 1000. Ta viết được: 566 : 4 = 141 số (dư 2 chữ số) Nên có 141 số có 4 chữ số được viết , số có 4 chữ số thứ 141 là: (141 - 1) x 2 + 1000 = 1280 Còn dư 2 chữ số dùng để viết tiếp số 1282 nhưng mới chỉ viết được 12. Vậy chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 2 hàng trăm của số 1282. Bài toán 3: Tìm chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số . Giải: Số thập phân bằng phân số \(\dfrac {1}{7}\) là: 1 : 7 = 0,14285714285...... Đây là số thập phân vô hạn tuần hoàn. Ta thấy cứ 6 chữ số thì lập thành 1 nhóm 142857. Với 2010 chữ số thì có số nhóm là: 2010 : 6 = 335 (nhóm). Vậy chữ số thứ 2010 ở phần thập phân của số thập phân bằng phân số \(\dfrac {1}{7}\) là chữ số 7. Bài toán 4: Cho 1 số có 2 chữ số, một dãy số được tạo nên bằng cách nhân đôi chữ số hàng đơn vị của số này rồi cộng với chữ số hàng chục, ghi lại kết quả; tiếp tục như vậy với số vừa nhận được ... (Ví dụ có thể là dãy: 59, 23, 8, 16, 13, ... ). Tìm số thứ 2010 của dãy nếu số thứ nhất là 14. Giải: Ta lập được dãy các số như sau: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1, 2, 4, 8, 16, 13, 7, 14, 9, 18, 17, 15, ..... Ta thấy cứ hết 18 số thì dãy các số lại được lặp lại như dãy 18 số đầu. Với 2010 số thì có số nhóm là: 2010 : 18 = 111 nhóm (dư12 số) 12 số dó là các số của nhóm thứ 112 lần lượt là: 14, 9, 18, 17, 15, 11, 3, 6, 12, 5, 10, 1. Vậy số thứ 2010 của dãy là số 1. Bài tập tự luyện về dạng toán tìm chữ số thứ n của dãy sốBài 1: Cho dãy số: 2, 5, 8, 11,.......Hãy tìm chữ số thứ 200 của dãy số đó. Bài 2: Cho dãy số: 2, 4, 6, 8, ..... Bạn Minh tìm được chữ số thứ 2010 của dãy là chữ số 0, hỏi bạn tìm đúng hay sai? Bài 3: Bạn Minh đang viết phân số \(\dfrac {5}{13}\) dưới dạng số thập phân. Thấy bạn Thông sang chơi, Minh liền dố: Đố bạn tìm được chữ số thứ 100 ở phần thập phân của số thập phân mà tớ đang viết. Thông nghĩ 1 tí rồi trả lời ngay: đó là chữ số 6. Em hãy cho biết bạn Thông trả lời đúng hay sai? Dạng 8: Tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy sốBài toán 1: Cho dãy số: 1, 2, 3, ......., n. Hãy tìm số n biết tổng của dãy số là 136 Giải: Áp dụng công thức tính tổng ta có : 1 + 2 + 3 +........+ n = \(\dfrac {(1+n) \times n}{2}\) \= 136 Do đó: (1 + n ) x n = 136 x 2 \= 17 x 8 x 2 \= 16 x 17 Vậy n = 16 Bài toán 2: Cho dãy số: 21, 22, 23, ......, n Tìm n biết: 21 + 22 + 23 + ..........+ n = 4840 Giải: Nếu cộng thêm vào tổng trên tổng của các số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 20 ta có tổng sau: 1 + 2 + 3 +..........+ 21 + 22 + 23 +.........+ n Áp dụng công thức tính tổng ta có (1 + n) x n : 2 = 1 + 2 + ....+ 20 + 4840 \= ( 1 + 20) x 20 : 2 + 4840 \= 210 + 4840 = 5050 ( 1+ n) x n = 5050 x 2 \= 10100 \= 101 x 100 Vậy n = 100 Bài tập về dạng toán tìm số hạng thứ n khi biết tổng của dãy sốBài 1: Cho biết: 1 + 2 + 3 +........+ n = 345. Hãy tìm số n. Bài 2: Tìm số n biết rằng 98 + 102 +........+ n = 15050 Bài 3: Cho dãy số 10, 11, 12, 13, …, x. Tìm x để tổng của dãy số trên bằng 5106 Dạng 9: Tính tổng của dãy sốCác bài toán được trình bày ở chuyên đề này được phân ra hai dạng chính, đó là: Dạng thứ nhất: Dãy số với các số hạng là số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách đều Dạng thứ hai: Dãy số với các số hạng không cách đều. Dạng 9.1: Dãy số mà các số hạng cách đềuXuất phát từ một bài Toán như sau: Tính: A = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 Ta thấy tổng A có 100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, mỗi nhóm có tổng là 101 như sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... + (50 + 51) = 101 + 101 + ... + 101 = 50 x 101 = 5050. Đây là bài Toán mà lúc lên 7 tuổi nhà Toán học Gauxơ đã tính rất nhanh tổng các số Tự nhiên từ 1 đến 100 trước sự ngạc nhiên của thầy giáo và các bạn bè cùng lớp. Như vậy bài toán trên là cơ sở đầu tiên để chúng ta tìm hiểu và khai thác thêm rất nhiều các bài tập tương tự, được đưa ra ở nhiều dạng khác nhau, được áp dụng ở nhiều thể loại toán khác nhau nhưng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh. Để giải quyết được các dạng toán đó chúng ta cần phải nắm được quy luật của dãy số, tìm được số hạng tổng quát, ngoài ra cần phải kết hợp những công cụ giải toán khác nhau nữa. Cách giải: Nếu số hạng của dãy số cách đều nhau thì tổng của hai số hạng cách đều đầu và số hạng cuối trong dãy số đó bằng nhau. Vì vậy: Tổng các số hạng của dãy bằng tổng của một cặp hai số hạng cách đầu số hạng đầu và cuối nhân với số hạng của dãy chia cho 2. Viết thành sơ đồ: Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x (số số hạng : 2) Từ sơ đồ trên ta suy ra: Số đầu của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số hạng cuối. Số cuối của dãy = tổng x 2 : số số hạng – số đầu. Sau đây là một số bài tập được phân thành các thể loại, trong đó đã phân thành hai dạng trên: Bài 1: Tính tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên. Giải: 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1, 3, 5, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35, 37. Ta thấy: 1 + 37 = 38 ; 5 + 33 = 38 1 + 35 = 38 ; 7 + 31 = 38 Nếu ta sắp xếp các cặp số từ hai đầu số vào, ta được các cặp số đều có tổng số là 38. Số cặp số là: 19 : 2 = 9 (cặp số) dư một số hạng. Số hạng dư này là số hạng ở chính giữa dãy số và là số 19. Vậy tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 39 x 9 + 19 = 361 Đáp số: 361. Nhận xét: Khi số số hạng của dãy số lẻ (19) thì khi sắp cặp số sẽ dư lại số hạng ở chính gữa vì số lẻ không chia hết cho 2, nên dãy số có nhiều số hạng thì việc tìm số hạng còn lại sẽ rất khó khăn. Vậy ta có thể làm cách 2 như sau: Ta bỏ lại số hạng đầu tiên là số 1 thì dãy số có: 19 - 1 = 18 (số hạng) Ta thấy: 3 + 37 = 40 ; 7 + 33 = 40 5 + 35 = 40 ; 9 + 31 = 40 ……… ……… Khi đó, nếu ta sắp xếp các cặp số từ 2 đầu dãy số gồm 18 số hạng vào thì được các cặp số có tổng là 40. Số cặp số là: 18 : 2 = 9 (cặp số) Tổng của 19 số lẻ liên tiếp đầu tiên là: 1 + 40 x 9 = 361 Chú ý: Khi số hạng là số lẻ, ta để lại một số hạng ở 2 đầu dãy số (số đầu, hoặc số cuối) để còn lại một số chẵn số hạng rồi sắp cặp; lấy tổng của mỗi cặp nhân với số cặp rồi cộng với số hạng đã để lại thì được tổng của dãy số. Bài 2: Tính tổng của số tự nhiên từ 1 đến n. Giải: Ghép các số: 1, 2, ……, n – 1, n thành từng cặp (không sắp thứ tự) : 1 với n, 2 với (n – 1), 3 với (n – 2), …… Khi n chẵn, ta có S = n x (n + 1) : 2 Khi n lẻ, thì n – 1 chẵn và ta có: 1 + 2 + …… + (n – 1) = (n – 1) x n : 2 Từ đó ta cũng có: S = (n – 1) x n : 2 + n \= (n - 1) x n : 2 + 2 x n : 2 \= [(n – 1) x n + 2 x n] : 2 \= (n – 1 + 2) x n : 2 \= n x (n + 1) : 2 Khi các em học sinh đã làm quen và thực hiện thành thạo thì hướng dẫn học sinh áp dụng công thức luôn mà không cần nhóm thành các cặp số có tổng bằng nhau. Tổng của dãy số cách đều = (số đầu + số cuối) x số số hạng : 2 Bài 3: Tính E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + ...+ 98,99 + 100 Giải Ta có thể đưa các số hạng của tổng trên về dạng số tự nhiên bằng cách nhân cả hai vế với 100, khi đó ta có: 100 x E = 1011 + 1112 + 1213 + ... + 9899 + 1000 Áp dụng công thức tính tổng ta tính được tổng là E = 4954,95 Hoặc giải như sau: Ta thấy: 11,12 - 10,11 = 12,13 - 11,12 = ... = 1,01 Vậy đây là dãy số cách đều 1,01 đơn vị. Dãy số có số số hạng là : (100 - 10,11) : 1,01 + 1 = 90 số hạng Tổng của dãy số là : (10,11 + 100) x 90 : 2 = 4954,95 Bài 4: Cho dãy số: 1, 2, 3, …… 195. Tính tổng các chữ số trong dãy? Giải: Ta viết lại dãy số và bổ sung thêm các số: 0, 196, 197, 198, 199 vào dãy: 0, 1, 2, 3, ……, 9 10, 11, 12, 13, ……, 19 ..................... 90, 91, 92, 93, ……, 99 100, 101, 102, 103, ……, 109 ............. Vì có 200 số và mỗi dòng có 10 số, nên có 200 : 10 = 20 (dòng) Tổng các chữ số hàng đơn vị trong mỗi dòng là: 1 + 2 + 3 + …… + 9 = 9 x 10 : 2 = 45 Vậy tổng các chữ số hàng đơn vị là: 45 x 20 = 900 Tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng đầu đều bằng tổng các chữ số hàng chục trong 10 dòng sau và bằng: 1 x 10 + 2 x 10 + …… + 9 x 10 = (1 + 2 + …… + 9) x 10 = 45 x 10 = 450 Vậy tổng các chữ số hàng chục là: 450 x 2 = 900 Ngoài ra dễ thấy tổng các chữ số hàng trăm là: 10 x 10 = 100. Vậy tổng các chữ số của dãy số này là: 900 + 900 + 100 = 1900 Từ đó suy ra tổng các chữ số của dãy ban đầu là: 1900 – (1 + 9 + 6 + 1 + 9 + 7 + 1 + 9 + 8 + 1 + 9 + 9) = 1830 Bài 5: Tính tổng tất cả số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số: Giải: Các số thập phân có phần nguyên là 9, phần thập phân có 3 chữ số là: 9,000; 9,001; 9,002; 9,003; 9,004; 9,005; 9,006; 9,007; 9,008; …… ; 9,999 tức là có 1000 số. Tổng tất cả các số của dãy số trên là: (9,000 + 9,999) x 1000 : 2 = 9499,5 Đáp số: 9499,5 Bài 6: Phải thêm vào tổng các số hạng trong dãy số: 2, 4, 6, 8, ..., 246 ít nhất bao nhiêu đơn vị để được số chia hết cho 100 ? Giải: Đây là dãy số chẵn liên tiếp hay dãy số cách đều 2 đơn vị. Dãy số có số số hạng là: (246 - 2) : 2 + 1 = 123 số hạng. Tổng của dãy số là: (246 + 2) x 123 : 2 = 12252 Vì 100 - 52 = 48 nên phải thêm vào tổng của dãy số ít nhất 48 đơn vị. Dạng 9.2: Dãy số mà các số hạng không cách đều.Bài toán 1: Tổng nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước 2 lần. Ví dụ: \(\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \dfrac {1}{32} + \dfrac {1}{64}\) Cách giải: Cách 1: Bước 1: Đặt A = \(\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \dfrac {1}{32} + \dfrac {1}{64}\) Bước 2: Ta thấy: \(\dfrac {1}{2} = 1 - \dfrac {1}{2}\) \(\dfrac {1}{4} = \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{4}\) \(\dfrac {1}{8} = \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{8}\) Bước 3: Vậy A = \(\left (1 - \dfrac {1}{2} \right ) + \left (\dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{4} \right ) + \left (\dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{8} \right ) + ... \left (\dfrac {1}{32} - \dfrac {1}{64} \right ) \) A = \(1 - \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{8} + ... \dfrac {1}{32} - \dfrac {1}{64}\) A = \(1 - \dfrac {1}{64}\) A = \(\dfrac {64}{64} - \dfrac {1}{64} = \dfrac {63}{64}\) Đáp số: \(\dfrac {63}{64}\) Cách 2: Bước 1: Đặt A = \(\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \dfrac {1}{32} + \dfrac {1}{64}\) Bước 2: Ta thấy: \(\dfrac {1}{2} = 1 - \dfrac {1}{2}\) \(\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} = \dfrac {3}{4} = 1 - \dfrac {1}{4}\) \(\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} = \dfrac {7}{8} = 1 - \dfrac {1}{8}\) ……………. Bước 3: Vậy A = \(\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{16} + \dfrac {1}{32} + \dfrac {1}{64}\) \= \(1 - \dfrac {1}{64} = \dfrac {64}{64} - \dfrac {1}{64} = \dfrac {63}{64}\) Bài toán 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của phân số liền trước n lần (n > 1). Ví dụ: \(B \times 3 = 3 \times \left ( \dfrac {5}{2} + \dfrac {5}{6} + \dfrac {5}{18} + \dfrac {5}{54} + \dfrac {5}{162} + \dfrac {5}{486} \right )\) Cách giải: Bước 1: Tính B x n (n = 3) \(B \times 3 = 3 \times \left ( \dfrac {5}{2} + \dfrac {5}{6} + \dfrac {5}{18} + \dfrac {5}{54} + \dfrac {5}{162} + \dfrac {5}{486} \right ) \\ = \dfrac {15}{2} + \dfrac {5}{2} + \dfrac {5}{6} + \dfrac {5}{18} + \dfrac {5}{54} + \dfrac {5}{162}\) Bước 2: Tính \(B \times n - B\) (n = 3) \(B \times 3 - B = \left ( \dfrac {15}{2} + \dfrac {5}{2} + \dfrac {5}{6} + \dfrac {5}{18} + \dfrac {5}{54} + \dfrac {5}{162} \right ) - \left ( \dfrac {5}{2} + \dfrac {5}{6} + \dfrac {5}{18} + \dfrac {5}{54} + \dfrac {5}{162} + \dfrac {5}{486} \right )\) \(B \times (3 - 1) = \dfrac {15}{2} + \dfrac {5}{2} + \dfrac {5}{6} + \dfrac {5}{18} + \dfrac {5}{54} + \dfrac {5}{162} - \dfrac {5}{2} - \dfrac {5}{6} - \dfrac {5}{18} - \dfrac {5}{54} - \dfrac {5}{162} - \dfrac {5}{486}\) \(B \times 2 = \dfrac {15}{2} - \dfrac {5}{486}\) \(B \times 2 = \dfrac {3645 - 5}{486}\) \(B \times 2 = \dfrac {3640}{486}\) \(B = \dfrac {3640}{486} : 2\) \(B = \dfrac {1820}{486}\) \(B = \dfrac {910}{243}\) Bài toán 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trước là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau: Ví dụ 1: \(A = \dfrac {1}{2 \times 3} + \dfrac {1}{3 \times 4} + \dfrac {1}{4 \times 5} + \dfrac {1}{5 \times 6}\) Cách giải: \(A = \dfrac {3-2}{2 \times 3} + \dfrac {4-3}{3 \times 4} + \dfrac {5-4}{4 \times 5} + \dfrac {6-5}{5 \times 6} \\ = \dfrac {3}{2 \times 3} - \dfrac {2}{2 \times 3} + \dfrac {4}{3 \times 4} - \dfrac {3}{3 \times 4} + \dfrac {5}{4 \times 5} - \dfrac {4}{4 \times 5} + \dfrac {6}{5 \times 6} - \dfrac {5}{5 \times 6} \\ = \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{3} + \dfrac {1}{3} - \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{4} - \dfrac {1}{5} + \dfrac {1}{5} - \dfrac {1}{6} \\ = \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{6} \\ = \dfrac {2}{6} = \dfrac {1}{3}\) Ví dụ 2: \(B = \dfrac {3}{2 \times 5} + \dfrac {3}{5 \times 8} + \dfrac {3}{8 \times 11} + \dfrac {3}{11 \times 14}\) Cách giải: \(B = \dfrac {5-2}{2 \times 5} + \dfrac {8-5}{5 \times 8} + \dfrac {11-8}{8 \times 11} + \dfrac {14-11}{11 \times 14}\) \(B = \dfrac {5}{2 \times 5} - \dfrac {2}{2 \times 5} + \dfrac {8}{5 \times 8} - \dfrac {5}{5 \times 8} + \dfrac {11}{8 \times 11} - \dfrac {8}{8 \times 11} + \dfrac {14}{11 \times 14} - \dfrac {11}{11 \times 14} \\ = \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{5} + \dfrac {1}{5} - \dfrac {1}{8} + \dfrac {1}{8} - \dfrac {1}{11} + \dfrac {1}{11} - \dfrac {1}{14} \\ = \dfrac {1}{2} - \dfrac {1}{14} \\ = \dfrac {6}{14} = \dfrac {3}{7}\) Bài tập tự luyện về dạng 9: Tính tổng của dãy sốBài 1: Tính tổng:
Bài 2:
Dãy số trên có mười số hạng Tổng bao nhiêu, mời bạn tính nhanh Đố em, đố chị, đố anh Tìm ra phương pháp tính nhanh mới tài. Bài 3: Tính nhanh:
Bài 4: \(\dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{4} + \dfrac {1}{8} + ... + \dfrac {1}{1024} + \dfrac {1}{2048} + \dfrac {1}{4096} = ?\) Phép cộng phân số khó gì? Kê đủ số hạng ra thì uổng công Cách gì ai tỏ ai thông Cộng nhanh đáp đúng lại không tốn giờ Đố bạn hiền đó em thơ Đố ai ai biết đây nhờ giải mau. Bài 5: Hãy tính tổng của các dãy số sau:
Bài 6: Tính nhanh:
Bài 7: Cho dãy số: \(\dfrac {1}{2}, \dfrac {1}{6}, \dfrac {1}{12}, \dfrac {1}{20}, \dfrac {1}{30}, \dfrac {1}{42},...\)
Dạng 10: Dạng toán về dãy chữKhác với các dạng toán khác, toán về dạng dãy chữ không đòi hỏi học sinh phải tính toán phức tạp. Ngược lại để giải những bài toán dạng này, đòi hỏi học sinh phải biết vận dụng sáng tạo những kiến thức toán học đơn giản, những hiểu biết về xã hội, từ đó mà vận dụng dạng toán này vào trong đời sống hàng ngày và các môn học khác. Một số ví dụ về dạng toán dãy chữBài toán 1: Người ta viết liên tiếp nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH thành một dãy chữ liên tiếp: HOCSINHGIOITINHHOCSINHGIOI…… hỏi chữ cái thứ 2009 của dãy là chữ cái nào? Giải: Ta thấy mỗi nhóm chữ: HOCSINHGIOITINH gồm 15 chữ cái. Giả sử dãy chữ có 2009 chữ cái thì có: 2009 : 15 = 133 (nhóm) và còn dư 14 chữ cái. Vậy chữ cái thứ 2009 của dãy chữ HOCSINHGIOITINH là chữ N của tiếng TINH đứng ở vị trí thứ 14 của nhóm chữ thứ 134. Bài toán 2: Một người viết liên tiếp nhóm chữ THIXAHAIDƯƠNG thành dãy THIXAHAIDƯƠNGTHIXAHAIDƯƠNG …… Hỏi:
Giải:
2002 : 13 = 154 (nhóm) Như vậy, kế từ chữ cái đầu tiên đến chữ cái thứ 2002 trong dãy, người ta đã viết 154 lần nhóm THIXAHAIDƯƠNG, vậy chữ cái thứ 2002 trong dãy là chữ G của tiếng DƯƠNG.
- 2001 chia cho 4 thì dư 1. - Những chữ cái trong dãy có số thứ tự là chia cho 4 thì dư 1 thì được tô màu XANH. Vậy chữ cái thứ 2001 trong dãy được tô màu XANH. Bài toán 3: Bạn Hải cho các viên bi vào hộp lần lượt theo thứ tự là: bi xanh, bi đỏ, bi vàng rồi lại đến bi xanh, bi đỏ, bi vàng ... cứ như vậy. Hỏi:
Giải:
Như vậy, bạn Hải đã cho vào hộp được 33 nhóm, còn dư 1 viên của nhóm thứ 34 và là viên bi đầu tiên của nhóm này. Vậy viên bi thứ 100 có màu xanh.
3 x 10 = 30 viên bi. Nhưng viên bi màu đỏ là viên bi thứ 2 của nhóm. Vậy cần bỏ vào hộp ít nhất số viên bi là: 30 - 1= 29 viên. Bài tập về dạng toán tìm chữ trong dãy chữBài 1: Một người viết liên tiếp nhóm chữ: TOANNAM thành dãy: TOANNAMTOANNAMTOAN…… Hỏi:
Bài 2: Người ta viết các chữ cái D, A, Y, T, O, T, H, O, C, T, O, T,…… thành dãy: DAYTOTHOCTOTDAYTOT… bằng 3 màu xanh, đỏ, tím, mỗi tiếng một màu. Hỏi chữ cái thứ 2010 là chữ cái gì? Màu gì? Bài 3: Bạn Dương viết liên tiếp các nhóm chữ DIENBIENPHU thành dãy: DIENBIENPHUDIENBIENPHU ... Hỏi:
Bài 4: Một người viết liên tiếp nhóm chữ TOQUOCVIETNAM thành dãy TOQUOCVIETNAM TOQUOCVIETNAM … Hỏi:
Một số lưu ý khi giải toán về “dãy số”Trong bài toán về dãy số thường người ta không cho biết cả dãy số (vì dãy số có nhiều số không thể viết ra hết được) vì vậy, phải tìm ra được quy luật của dãy (mà có rất nhiều quy luật khác nhau) mới tìm được các số mà dãy số không cho biết. Đó là những quy luật của dãy số cách đều, dãy số không cách đều hoặc dựa vào dấu hiệu chia hết để tìm ra quy luật. Ở dạng 2: Muốn kiểm tra số A có thoả mãn quy luật của dãy đã cho hay không? Ta cần xem dãy số cho trước và số cần xác định có cùng tính chất hay không? (Có cùng chia hết cho một số nào đó hoặc có cùng số dư) thì số đó thuộc dãy đã cho. Ở dạng 3 và 4: Học sinh phải được tự tìm ra công thức tổng quát, vận dụng một cách thành thạo và biết biến đổi công thức để làm các bài toán khác. Ở dạng 9: Có các yêu cầu: + Tìm tổng các số hạng của dãy. + Tính nhanh tổng. Khi giải: Sau khi tìm ra quy luật của dãy, ta sắp xếp các số theo từng cặp sao cho có tổng đều bằng nhau, sau đó tìm số cặp rồi tìm tổng các số hạng của dãy. Chú ý: Khi tìm số cặp số mà còn dư một số hạng thì khi tìm tổng ta phải cộng số dư đó vào. Nếu tính nhanh tổng của các phân số phải dựa vào tính chất của phân số. Ở dạng 10: Đó là dãy chữ khi giải phải dựa vào quy luật của dãy, sau đó có thể xem mỗi nhóm chữ có tất cả bao nhiêu chữ rồi đi tìm có tất cả bao nhiêu nhóm và đó chính là phần trả lời của bài toán. |