Chuyên đề phương trình và bất phương trình logarit - lý thuyết và bài tập trắc nghiệm
Trang 1/35 CHỦ ĐỀ 5. PHƯƠNG TRÌNH – BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Định nghĩa • Phương trình lôgarit là phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit. • Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit. 2. Phương trình và bất phương trình lôgarit cơ bản: cho , 0, 1 ab a > ≠ • Phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log [ ] a fx b = • Bất phương trình lôgarit cơ bản có dạng: log [ ] ; log [ ] ; log [ ] ; log [ ] a aaa fx b fx b fx b fx b > ≥ < ≤ 3. Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit • Đưa về cùng cơ số [] 0 log [ ] log [ ] [] [] aa fx f x gx f x gx > = ⇔ = , với mọi 01 a thì [] 0 log [ ] log [ ] [] [] aa gx f x gx f x gx > >⇔ > Nếu 01 a >⇔ < • Đặt ẩn phụ • Mũ hóa B. KỸ NĂNG CƠ BẢN 1. Điều kiện xác định của phương trình Câu 1: Điều kiện xác định của phươg trình 2 log[ 6] log[ 2] 4 xx x x −− + = + + là A. 3 x > B. 2 x >− C. \[ 2;3] − D. 2 x > 2. Kiểm tra xem giá trị nào là nghiệm của phương trình Câu 2: Phương trình 3 log [3 2] 3 x−= có nghiệm là: A. 29 3 x = B. 11 3 x = C. 25 3 x = D. 87 x = 3. Tìm tập nghiệm của phương trình Câu 3: Phương trình 2 22 log [ 1] 6log 1 2 0 xx + − ++ = có tập nghiệm là: A. { } 3;15 B. { } 1;3 C. { } 1;2 D. { } 1;5 4. Tìm số nghiệm của phương trình Câu 4: Số nghiệm của phương trình [ ] [ ] 42 24 log log log log 2 x x += là: A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5. Tìm nghiệm lớn nhất, hay nhỏ nhất của phương trình Câu 5: Tìm nghiệm lớn nhất của phương trình 32 log 2log log 2 x xx −=− là A. 1 2 x = B. 1 4 x = C. 2 x = D. 4 x = 6. Tìm mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình [tổng, hiệu, tích, thương…] Câu 6: Gọi 12 , x x là nghiệm của phương trình 16 log 2 log 0 x x − = . Khi đó tích 12 . xx bằng: A. 1 B. 1 − C. 2 − D. 2 7. Cho một phương trình, nếu đặt ẩn phụ thì thu được phương trình nào [ẩn t ] Câu 7: Nếu đặt 2 log t x = thì phương trình 2 2 1 2 1 5 log 1 log x x += −+ trở thành phương trình nào A. 2 5 60 tt − + = B. 2 5 60 t t + + = Trang 2/35 C. 2 6 50 tt − += D. 2 6 50 tt + += 8. Tìm điều kiện của tham số m để phương trình thỏa điều kiện về nghiệm số [có nghiệm, vô nghiệm, 2 nghiệm thỏa điều kiện nào đó…] Câu 8: Tìm m để phương trình 2 33 log 2log 1 0 x x m + + −= có nghiệm A. 2 m ≤ B. 2 m < C. 2 m ≥ D. 2 m > Câu 9: Tìm m để phương trình 22 33 log log 1 2 1 0 x xm + + − −= có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1;3 A. [0;2] m ∈ B. [0;2] m ∈ C. [0;2] m ∈ D. [0;2] m ∈ 9. Điều kiện xác định của bất phương trình Câu 10: Điều kiện xác định của bất phương trình 1 1 1 2 2 2 log [4 2] log [ 1] log x xx + − −> là: A. 1 x > B. 0 x > C. 1 2 x >− D. 1 x >− 10. Tìm tập nghiệm của bất phương trình Câu 11: Bất phương trình 23 log [2 1] log [4 2] 2 x x ++ + ≤ có tập nghiệm: A. [ ;0] −∞ B. [ ;0] −∞ C. [0; ] +∞ D. [ ] 0; +∞ Câu 12: Bất phương trình [ ] [ ] 2 2 0,5 log 2 log 1 1 xx x −− ≥ − + có tập nghiệm là: A. ] 1 2; + +∞ B. ] 1 2; − +∞ C. [ ;1 2 −∞ + D. [ ;1 2 −∞ − 11. Tìm nghiệm nguyên [tự nhiên] lớn nhất, nguyên [tự nhiên] nhỏ nhất của bất phương trình Câu 13: Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình [ ] [ ] 24 42 log log log log xx > là: A. 17 B. 16 C. 15 D. 18 12. Tìm điều kiện của tham số m để bất phương trình thỏa điều kiện về nghiệm số [có nghiệm, vô nghiệm, nghiệm thỏa điều kiện nào đó…] Câu 14: Tìm m để bất phương trình 22 log [5 1].log [2.5 2] xx m − −≤ có nghiệm 1 x ≥ A. 3 m ≥ B. 3 m > C. 3 m ≤ D. 3 m < C. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU Câu 1. Điều kiện xác định của phươg trình 23 log 16 2 x − = là: A. 3 \ ;2 2 x ∈ . B. 2 x ≠ . C. 3 2 2 x . Câu 2. Điều kiện xác định của phươg trình 2 log [2 7 12] 2 x xx −− = là: A. [ ] [ ] 0;1 1; x ∈ ∪ +∞ . B. [ ] ;0 x ∈ −∞ . C. [ ] 0;1 x ∈ . D. [ ] 0; x ∈ +∞ . Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình 55 log [ 1] log 1 x x x −= + là: A. [ ] 1; x ∈ +∞ . B. [ ] 1;0 x∈− . C. \[ 1;0] x∈− . D. [ ] ;1 x ∈ −∞ . Câu 4. Điều kiện xác định của phươg trình 9 21 log 12 x x = + là: A. [ ] 1; x ∈ − +∞ . B. \[ 1;0] x∈− . C. [ ] 1;0 x∈− . D. [ ] ;1 x ∈ −∞ . Câu 5. Phương trình 2 log [3 2] 2 x−= có nghiệm là: A. 4 3 x = . B. 2 3 x = . C. 1 x = . D. 2 x = . Câu 6. Phương trình 2 22 log [ 3] log [ 1] log 5 xx + + −= có nghiệm là: A. 2 x = . B. 1 x = . C. 3 x = . D. 0 x = . Câu 7. Phương trình 2 33 log [ 6] log [ 2] 1 xx − = −+ có tập nghiệm là: Trang 3/35 A. {0;3} T = . B. T = ∅ . C. {3} T = . D. {1;3} T = . Câu 8. Phương trình 22 log log [ 1] 1 x x + −= có tập nghiệm là: A. { } 1;3 − . B. { } 1;3 . C. { } 2 . D. { } 1 . Câu 9. Phương trình 2 22 log [ 1] 6log 1 2 0 xx + − ++ = có tập nghiệm là: A. { } 3;15 . B. { } 1;3 . C. { } 1;2 . D. { } 1;5 . Câu 10. Số nghiệm của phương trình [ ] [ ] 42 24 log log log log 2 x x += là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 11. Số nghiệm của phương trình 2 3 2 log .log [2 1] 2log xx x −= là: A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. Câu 12. Số nghiệm của phương trình 32 22 2 log [ 1] log [ 1] 2log 0 x xx x +− − +− =là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 13. Số nghiệm của phương trình [ ] [ ] 5 25 log 5 log 5 3 0 xx − −=là : A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Câu 14. Phương trình 2 31 3 log [5 3] log [ 1] 0 xx − + + = có 2 nghiệm 12 , x x trong đó 12 x x < .Giá trị của 12 23 Px x = + là A. 5. B. 14. C. 3. D. 13. Câu 15. Hai phương trình 3 5 5 2log [3 1] 1 log [2 1] xx − += + và 2 21 2 log [ 2 8] 1 log [ 2] xx x − −=− + lần lượt có 2 nghiệm duy nhất là 12 , x x . Tổng 12 xx + là? A. 8. B. 6. C. 4. D. 10. Câu 16. Gọi 12 , x x là nghiệm của phương trình 16 log 2 log 0 x x − = . Khi đó tích 12 . xx bằng: A. 1 − . B. 1. C. 2. D. 2 − . Câu 17. Nếu đặt 2 log t x = thì phương trình 2 2 1 2 1 5 log 1 log x x += −+ trở thành phương trình nào? A. 2 5 60 tt − + =. B. 2 5 60 t t + + =. C. 2 6 50 tt − +=. D. 2 6 50 tt + +=. Câu 18. Nếu đặt lg tx = thì phương trình 12 1 4 lg 2 lg x x += −+ trở thành phương trình nào? A. 2 2 30 tt + +=. B. 2 3 20 tt − +=. C. 2 2 30 tt − +=. D. 2 3 20 tt + +=. Câu 19. Nghiệm bé nhất của phương trình 32 2 22 log 2log log 2 x x x −=− là: A. 4 x = . B. 1 4 x = . C. 2 x = . D. 1 2 x = . Câu 20. Điều kiện xác định của bất phương trình 1 1 1 2 2 2 log [4 2] log [ 1] log x xx + − −> là: A. 1 2 x >− . B. 0 x > . C. 1 x > . D. 1 x >− . Câu 21. Điều kiện xác định của bất phương trình 24 2 log [ 1] 2log [5 ] 1 log [ 2] x x x + − − + . B. 3 x > . C. 3 2 32 x x >+ . B. 2 x > . C. 2 x >− . D. 0 x > . Câu 46. Điều kiện xác định của bất phương trình [ ] 2 0,5 0,5 log [5x 15] log 6x 8 x + ≤ ++ là: A. 2 x >− . B. 4 2 x x − . C. 3 x >− . D. 42 x − < . B. 1 x >− . C. 0 x > . D. 1 1 x x . Câu 48. Bất phương trình 2 0,2 0,2 log 5log 6 xx − − là: A. 3 x = . B. 2 x = . C. 1 x = . D. 1 x = − . Câu 54. Điều kiện xác định của phương trình [ ] 22 log 3log 3 1 1 xx − − = là: A. 3 21 3 x + > . B. 1 3 ≥ x . C. 0 x > . D. [0; ] \{ 1} ∈ +∞ x . Câu 55. Điều kiện xác định của phương trình [ ] [ ] 2 2 2 23 6 log 1 .log 1 log 1 xx x x xx −− + − = −− là: A. 1 x ≤− . B. 1 x ≥ . C. 0, 1 x x > ≠ . D. 1 x ≤− hoặc 1 x ≥ . Câu 56. Nghiệm nguyên của phương trình [ ] [ ] 2 2 2 23 6 log 1 .log 1 log 1 xx x x xx −− + − = −− là: A. 1 x = . B. 1 x = − . C. 2 x = . D. 3 x = . Câu 57. Nếu đặt 2 log t x = thì bất phương trình [ ] 1 3 42 2 21 2 2 2 2 32 log log 9log 4log 8 x xx x − − + < trở thành bất phương trình nào? A. 42 13 36 0 tt + +< . B. 42 5 90 tt − +< . C. 42 13 36 0 tt − +< . D. 42 13 36 0 tt − −< . Câu 58. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình [ ] 1 3 42 2 21 2 2 2 2 32 log log 9log 4log 8 x xx x − − + < là: A. 7 x = . B. 8 x = . C. 4 x = . D. 1 x = . Câu 59. Bất phương trình [ ] [ ] 3 log log 9 72 1 x x −≤ có tập nghiệm là: A. 3 log 73;2 = S . B. [ 3 log 72;2 = S . C. [ 3 log 73;2 = S . D. [ ] ;2 = −∞ S . Câu 60. Gọi 12 , x x là nghiệm của phương trình [ ] 2 log 1 1 x x−= . Khi đó tích 12 . xx bằng: A. 2 − . B. 1. C. 1 − . D. 2. Câu 61. Nếu đặt [ ] 2 log 5 1 x t = − thì phương trình [ ] [ ] 24 log 5 1 .log 2.5 2 1 xx − −= trở thành phương trình nào? A. 2 20 tt +− = . B. 2 21 t = . C. 2 20 tt − − = . D. 2 1 t = . Câu 62. Số nghiệm của phương trình [ ] 4 log 12 .log 2 1 x x+= là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Câu 63. Phương trình 2 55 log [2 1] 8log 2 1 3 0 xx − − −+ = có tập nghiệm là: A. { } 1; 3 −− . B. { } 1;3 . C. { } 3;63 . D. { } 1;2 . Câu 64. Nếu đặt 3 1 log 1 x t x − = + thì bất phương trình 43 1 1 43 11 log log log log 11 xx xx −+ < +− trở thành bất phương trình nào? A. 2 1 0 t t − < . B. 2 10 t − < . C. 2 1 0 t t − > . D. 2 1 0 t t + < . Trang 7/35 Câu 65. Phương trình [ ] 2 23 log 3 7 3 2 0 x xx − − + − = có nghiệm là: A. 2; 3 xx = = . B. 2 x = . C. 3 x = . D. 1; 5 x x = = . Câu 66. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình [ ] [ ] 24 42 log log log log xx > là: A. 18. B.16 . C.15 . D.17 . Câu 67. Phương trình 12 1 4 ln 2 ln xx + = − + có tích các nghiệm là: A. 3 e . B. 1 e . C. e . D.2 . Câu 68. Phương trình 9 log 2 9 x xx = có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B.0. C.2. D.3. Câu 69. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình 3 log 3 log 3 0 x x −< là: A. 3 x = . B. 1 x = . C. 2 x = . D. 4 x = . Câu 70. Phương trình ln 7 ln 7 98 x x += có nghiệm là: A. xe = . B. 2 x = . C. 2 xe = . D. xe = . Câu 71. Bất phương trình [ ] [ ] 2 2 0,5 log 2 log 1 1 xx x −− ≥ − + có tập nghiệm là: A. ] 1 2; = − +∞ S . B. ] 1 2; = + +∞ S . C. [ ;1 2 = −∞ + S . D. [ ;1 2 = −∞ − S . Câu 72. Biết phương trình 2 2 11 7 log 0 log 2 6 x x − + = có hai nghiệm 12 , xx . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 33 12 2049 4 += xx . B. 33 12 2047 4 += − xx . C. 33 12 2049 4 += − xx . D. 33 12 2047 4 += xx . Câu 73. Số nghiệm nguyên dương của phương trình [ ] [ ] 1 21 2 log 4 4 log 2 3 xx x + + =− − là: A. 2. B.1. C.3. D.0. Câu 74. Tập nghiệm của bất phương trình [ ] [ ] 12 2 log log 2 1 0 x−> là: A. 3 1; 2 S = . B. 3 0; 2 S = . C. [ ] 0;1 S = . D. 3 ;2 2 S = . Câu 75. Tập nghiệm của bất phương trình [ ] [ ] 2 42 log 2 3 1 log 2 1 xx x + +> + là: A. 1 ;1 2 S = . B. 1 0; 2 S = . C. 1 ;1 2 S = − . D. 1 ;0 2 S = − . Câu 76. Tập nghiệm của bất phương trình [ ] 2 25 5 3 log 125 .log log 2 x xx x >+ là: A. [ ] 1; 5 S = . B. [ ] 1; 5 S = − . C. [ ] 5;1 S = − . D. [ ] 5; 1 S=−− . Câu 77. Tích các nghiệm của phương trình 2 4 8 16 81 log .log .log .log 24 x xx x = là : A. 1 2 . B.2 . C. 1. D.3 . Câu 78. Phương trình 3 log 1 2 x+= có bao nhiêu nghiệm ? A. 2 . B.0 . C.1. D.3 . Trang 8/35 Câu 79. Biết phương trình 9 93 log log log 27 4 6.2 2 0 xx − += có hai nghiệm 12 , xx . Khi đó 22 12 xx + bằng : A. 6642 . B. 82 6561 . C.20 . D.90 . Câu 80. Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 2 1 log log 2 10 3 0 x x x − +> là: A. [ ] 1 0; 2; 2 S = ∪ +∞ . B. [ ] 1 2;0 ; 2 S = − ∪ +∞ . C. [ ] 1 ;0 ;2 2 S = −∞ ∪ . D. [ ] 1 ; 2; 2 S = −∞ ∪ +∞ . Câu 81. Tập nghiệm của phương trình 2 2 2 2 log 2 log 6 log 4 4 2.3 xx x −= là: A. 4 9 S = . B. 1 2 S = − . C. 1 4 S = . D. { } 2 S = − . Câu 82. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] 33 3 log log 2 log xx m − − = có nghiệm? A. 1 m > . B. 1 m ≥ . C. 1 m < . D. 1 m ≤ . Câu 83. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình [ ] 2 3 log 4 1 x x m ++ ≥ nghiệm đúng với mọi . x ∈ ? A. 7 m ≥ . B. 7 m > . C. 4 m < . D. 4 7 m − . Câu 86. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 44 log 3log 2 1 0 x xm + + −= có 2 nghiệm phân biệt? A. 13 8 m < . B. 13 8 m > . C. 13 8 m ≤ . D. 13 0 8 m . C. 6 m ≤ . D. 6 m < . Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 33 log 2log 1 0 x x m + + −= có nghiệm? A. 2 m < . B. 2 m ≤ . C. 2 m ≥ . D. 2 m > . Câu 89. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 log [5 1] x m −≤ có nghiệm 1 x ≥ ? A. 2 m ≥ . B. 2 m > . C. 2 m ≤ . D. 2 m < . Câu 90. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22 33 log log 1 2 1 0 x xm + + − −= có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1;3 ? A. [0;2] m ∈ . B. [0;2] m ∈ . C. [0;2] m ∈ . D. [0;2] m ∈ . Câu 91. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] [ ] 24 log 5 1 .log 2.5 2 xx m − −= có nghiệm 1. x ≥ ? Trang 9/35 A. [ ] 2; m ∈ +∞ . B. [ ] 3; m ∈ +∞ . C. [ ;2] m ∈ −∞ . D. [ ] ;3 m ∈ −∞ . Câu 92. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] 2 33 log 2 log 3 1 0 xm x m − + + −= có hai nghiệm 12 , x x thỏa mãn 12 . 27. xx = ? A. 2 m = − . B. 1 m = − . C. 1 m = . D. 2 m = . Câu 93. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] 22 2 21 4 2 log log 3 log 3 x x mx + −= − có nghiệm thuộc [ ] 32; +∞ ? A. [ 1; 3 m ∈ . B. ] 1; 3 m ∈ . C. ] 1; 3 m ∈ − . D. [ 3;1 m ∈− . Câu 94. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho khoảng [ ] 2;3 thuộc tập nghiệm của bất phương trình [ ] [ ] 22 55 log 1 log 4 1 [1] x x x m +> + + − . A. [ ] 12;13 m∈− . B. [ ] 12;13 m ∈ . C. [ ] 13;12 m∈− . D. [ ] 13; 12 m∈− − . Câu 95. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình [ ] [ ] 22 22 log 7 7 log 4 , . x mx x m x + ≥ + + ∀∈ A. [ ] 2;5 m ∈ . B. [ ] 2;5 m∈− . C. [ ] 2;5 m ∈ . D. [ ] 2;5 m∈− . Câu 96. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình [ ] [ ] 22 55 1 log 1 log 4 x mx x m + +≥ + + có nghiệm đúng . x ∀ A. [ ] 2;3 m ∈ . B. [ ] 2;3 m∈− . C. [ ] 2;3 m ∈ . D. [ ] 2;3 m∈− . Trang 10/35 D. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM I – ĐÁP ÁN 3.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 C A A B D A B C B D A A C B A B A B D C 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 A D C A C A A D A A C A B A B D B A D B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 A A C D B A A A B C A D C A B A C A C A 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 A D C A C D A A D C B A B A D A C A A A 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 C A A D B A C B A A B C A A A A II –HƯỚNG DẪN GIẢI NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU [Ở phần này các đáp án bị lệc không cần để ý vì sau này sẽ xóa] Câu 1. Điều kiện xác định của phươg trình 23 log 16 2 x − = là: A. 3 \ ;2 2 x ∈ . B. 2 x ≠ . C. 3 2 2 x . Hướng dẫn giải Biểu thức 23 log 16 x − xác định 3 2 30 3 2 2 2 31 2 2 x x x x x −> > ⇔ ⇔ ⇔ > ⇔≠ ⇔≠ ⇔ ∈ ∪ +∞ − +> − + > Câu 3. Điều kiện xác định của phương trình 55 log [ 1] log 1 x x x −= + là: A. [ ] 1; x ∈ +∞ . B. [ ] 1;0 x∈− . C. \[ 1;0] x∈− . D. [ ] ;1 x ∈ −∞ . Hướng dẫn giải Biểu thức 5 log [ 1] x − và 5 log 1 x x + xác định 10 0 1 1 1 10 x xx x x x x > ⇔ ⇔ ⇔> + > −> chọn đáp án A. Câu 4. Điều kiện xác định của phươg trình 9 21 log 12 x x = + là: A. [ ] 1; x ∈ − +∞ . B. \[ 1;0] x∈− . C. [ ] 1;0 x∈− . D. [ ] ;1 x ∈ −∞ . Hướng dẫn giải Trang 11/35 Biểu thức 9 2 log 1 x x + xác định : 2 0 1 0 [ ; 1] [0; ] 1 x xx x x ⇔ > ⇔ < − ∨ > ⇔ ∈ −∞ − ∪ +∞ + Câu 5. Phương trình 2 log [3 2] 2 x−= có nghiệm là: A. 4 3 x = . B. 2 3 x = . C. 1 x = . D. 2 x = . Hướng dẫn giải PT 3 3 20 2 2 3 24 2 x x x x x − > > ⇔ ⇔ ⇔= − = = . Câu 6. Phương trình 2 22 log [ 3] log [ 1] log 5 xx + + −= có nghiệm là: A. 2 x = . B. 1 x = . C. 3 x = . D. 0 x = . Hướng dẫn giải PT 2 1 1 10 2 8 [ 3][ 1] 5 2 80 2 x x x x x xx x x x > > −> ⇔ ⇔ ⇔ ⇒= = − + −= + −= = . Câu 7. Phương trình 2 33 log [ 6] log [ 2] 1 xx − = −+ có tập nghiệm là: A. {0;3} T = . B. T = ∅ . C. {3} T = . D. {1;3} T = . Hướng dẫn giải PT 2 2 60 6 6 30 3 0 6 3[ 3] 3 x xx xx x x x x x − > ⇔ − > ⇔ > ⇒ ∈ ∅ = −= − = . Câu 8. Phương trình 22 log log [ 1] 1 x x + −= có tập nghiệm là: A. { } 1;3 − . B. { } 1;3 . C. { } 2 . D. { } 1 . Hướng dẫn giải PT [ ] 2 2 1 0 1 10 2 1 20 2 log [ 1] 1 x x x xx x xx x xx > > > ⇔ −> ⇔ ⇔ ⇔ = = − −− = = − = , chọn đáp án A. Câu 9. Phương trình 2 22 log [ 1] 6log 1 2 0 xx + − ++ = có tập nghiệm là: A. { } 3;15 . B. { } 1;3 . C. { } 1;2 . D. { } 1;5 . Hướng dẫn giải PT 2 2 22 2 1 1 10 1 log [ 1] 1 1 3 log [ 1] 3log [ 1] 2 0 log [ 1] 2 3 x x x x x x x xx xx >− >− +> = + = ⇔ ⇔ ⇔⇔ = = +− ++ = + = = . Câu 10. Số nghiệm của phương trình [ ] [ ] 42 24 log log log log 2 x x += là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải PT [ ] [ ] [ ] 22 2 4 22 2 2 22 22 0 1 log 0 11 log 0 log log log log 2 22 log log log log 2 x x x x x x xx > > > ⇔⇔ > += += Trang 12/35 [ ] [ ] [ ] 22 2 22 22 11 11 3 log log log log log 2 log log 1 2 22 2 x x xx x > > ⇔⇔ + + = −= [ ] 22 2 1 1 1 16 log log 2 log 4 16 x x x x x x x > > > ⇔ ⇒ ⇒ ⇒= = = = . Câu 11. Số nghiệm của phương trình 2 3 2 log .log [2 1] 2log xx x −= là: A. 2. B. 0. C. 1. D. 3. Hướng dẫn giải PT [ ] 23 2 3 2 0 1 2 2 10 log log [2 1] 2 0 log .log [2 1] 2log x x x xx xx x > > ⇔ −> ⇔ −− = −= 2 3 1 1 2 2 1 log 0 1 5 log [2 1] 2 5 x x x x x x x x > > = ⇔ ⇔⇔ = = = −= = . Câu 12. Số nghiệm của phương trình 32 22 2 log [ 1] log [ 1] 2log 0 x xx x +− − +− =là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải PT 3 3 2 22 32 2 22 0 0 10 1 10 0 [ 1] log [ 1] log [ 1] 2log 0 x x x x xx x x x x xx x > > +> ⇔⇔ + − +> = −+ +− − +− = 2 22 0 00 [ 1][ 1] 0 10 1 [ 1] x xx x x xx xx x x x > >> ⇔ ⇔ ⇔ ⇒ ∈ ∅ + −+ = += =− −+ . Câu 13. Số nghiệm của phương trình [ ] [ ] 5 25 log 5 log 5 3 0 xx − −=là : A. 3. B. 4. C. 1. D. 2. Hướng dẫn giải PT 5 25 55 5 11 0 11 log [5 ] log [5 ] 3 0 log [5 ] log [5 ] 3 0 log [5 ] 3 0 22 xx x x x x x x >> > ⇔⇔ ⇔ − −= − −= −= 5 65 5 11 1 5 log [5 ] 6 55 5 xx x x x xx >> > ⇔ ⇔ ⇔ ⇔= = = = . Câu 14. Phương trình 2 31 3 log [5 3] log [ 1] 0 xx − + + = có 2 nghiệm 12 , x x trong đó 12 x x < .Giá trị của 12 23 Px x = + là A. 5. B. 14. C. 3. D. 13. Hướng dẫn giải Trang 13/35 PT 2 31 2 3 33 3 5 30 5 log [5 3] log [ 1] 0 log [5 3] log [ 1] 0 x x xx x x −> > ⇔⇔ − + + = − − + = 2 22 33 3 3 33 5 1 5 55 1 4 log [5 3] log [ 1] 5 3 1 5 40 4 x x xx x x x x x x x xx x > > >> = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔⇔ = = −= + −= + − + = = Vậy 12 2 3 2.1 3.4 14 xx + = += . Câu 15. Hai phương trình 3 5 5 2log [3 1] 1 log [2 1] xx − += + và 2 21 2 log [ 2 8] 1 log [ 2] xx x − −=− + lần lượt có 2 nghiệm duy nhất là 12 , x x . Tổng 12 xx + là? A. 8. B. 6. C. 4. D. 10. Hướng dẫn giải PT1: 3 5 5 2log [3 1] 1 log [2 1] xx − += + PT 3 2 5 55 5 5 3 10 1 2 10 3 log [3 1] log 5 3log [2 1] 2log [3 1] 1 log [2 1] x x x xx xx −> > ⇔ +> ⇔ −+ = + − += + 23 2 3 55 1 1 3 3 log 5[3 1] log [2 1] 5[3 1] [2 1] x x xx xx > > ⇔⇔ −= + −= + 2 32 3 2 11 33 5[9 6 1] 8 12 6 1 8 33 36 4 0 xx xx x x x x x x >> ⇔⇔ − + = + + + − + − = 1 1 3 2 1 8 2 x x x x > ⇔ ⇒ = = = PT2: 2 21 2 log [ 2 8] 1 log [ 2] xx x − −=− + PT 2 22 2 12 2 2 2 80 2 4 20 2 log [ 2 8] 1 log [ 2] log [ 2 8] 1 log [ 2] xx x x x x xx x xx x − − > ⇔ + > ⇔ >− − −=− + − −=+ + 2 22 22 4 44 log [ 2 8] log 2[ 2] 2 8 2[ 2] 4 12 0 x xx xx x xx x xx > >> ⇔ ⇔⇔ − −= + −− = + −− = 2 4 6 2 6 x x x x > ⇔ ⇒ = = − = Vậy 12 26 8 xx + = + = . Câu 16. Gọi 12 , x x là nghiệm của phương trình 16 log 2 log 0 x x − = . Khi đó tích 12 . xx bằng: A. 1 − . B. 1. C. 2. D. 2 − . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Trang 14/35 Điều kiện:01 x PT 32 32 22 2 22 2 log 2log log 2 log 2log log 2 0 xx x xx x ⇔− = −⇔− − += 3 2 22 2 2 2 22 2 log log 2log 2 0 log [log 1] 2[log 1] 0 x x x xx x ⇔ − − += ⇔ − − − = 2 2 2 2 22 2 2 2 2 log 1 log 1 0 1 [log 1][log 2] 0 log 1 2 log 2 0 log 2 4 x x x xx x x x x x = = −= ⇔ − − = ⇔ ⇔ =− ⇔ = − = = = 1 2 x ⇒=là nghiệm nhỏ nhất. Câu 20. Điều kiện xác định của bất phương trình 1 1 1 2 2 2 log [4 2] log [ 1] log x xx + − −> là: A. 1 2 x >− . B. 0 x > . C. 1 x > . D. 1 x >− . Hướng dẫn giải Trang 15/35 BPT xác định khi: 0 0 1 4 20 1 2 10 1 x x x xx x x > > + > ⇔ >− ⇔ > −> > . Câu 21. Điều kiện xác định của bất phương trình 24 2 log [ 1] 2log [5 ] 1 log [ 2] x x x + − − > . Câu 22. Điều kiện xác định của bất phương trình 2 12 2 log log [2 ] 0 x −> là: A. [ 1;1] x∈− . B. [ ] [ ] 1;0 0;1 x∈− ∪ . C. [ ] [ ] 1;1 2; x ∈ − ∪ +∞ . D. [ ] 1;1 x∈− . Hướng dẫn giải BPT xác định khi : 2 2 22 2 2 0 22 2 2 log [2 ] 0 21 1 0 x x x x xx −> − −> 22 11 11 x x x − ⇒ > = ⇒ +> ⇒ + > = [ ] [ ] 0 33 0 4 4 1 4 2 2 1 3 log 4 2 log 3 1 2 xx x x>⇒ > = ⇒ +> + = ⇒ + > = Cộng vế với vế của [ ] 1 và [ ] 2 ta được: 23 log [2 1] log [4 2] 2 x x ++ + > Mà BPT: 23 log [2 1] log [4 2] 2 x x ++ + ≤ nên [ ] 0 x loai > Xét [ ] [ ] 0 22 0 2 2 1 2 1 2 log 2 1 log 2 1 3 xx x x≤ ⇒ ≤ = ⇒ +≤ ⇒ + ≤ = [ ] [ ] 0 33 0 4 4 1 4 2 2 1 3 log 4 2 log 3 1 4 xx x x≤ ⇒ ≤ = ⇒ + ≤ + = ⇒ + ≤ = Cộng vế với vế của [ ] 3 và [ ] 4 ta được: [ ] 23 log [2 1] log [4 2] 2 x x tm ++ + ≤ Vậy 0 x ≤ hay [ ] ;0 x ∈ −∞ . Câu 24. Bất phương trình [ ] [ ] 2 2 0,5 log 2 log 1 1 xx x −− ≥ − + có tập nghiệm là: A. ] 1 2; + +∞ . B. ] 1 2; − +∞ . C. [ ;1 2 −∞ + . D. [ ;1 2 −∞ − . Hướng dẫn giải TXĐ 2 12 20 2 1 10 xx xx x x x −− > ⇔ ⇔ ⇔> > −> BPT [ ] [ ] [ ] [ ] 1 2 2 2 0,5 2 2 log 2 log 1 1 log 2 log 1 1 xx x xx x − ⇔ −− ≥ − + ⇔ −− ≥ − + [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 22 2 21 log 2 log 1 1 0 log 0 2 xx x xx x −− − ⇔ − − + − − ≥ ⇔ ≥ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 21 1 2 1 2 2 10 2 xx x x x x xx x −− − ⇔ ≥ ⇔ − − − ≥ ⇔ − − ≥ Trang 16/35 [ ] [ ] 2 12 2 10 1 2 12 x loai xx x x tm ≤− ⇔ − − ≥ ⇔ ⇒ ≥ + ≥+ Câu 25. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình [ ] [ ] 24 42 log log log log xx ≥ là: A. 6. B. 10. C. 8. D. 9. Hướng dẫn giải BPT [ ] [ ] [ ] 22 2 4 2 2 22 22 22 0 1 log 0 11 log 0 log log log log 22 log log log log x x x x xx x x > > > ⇔⇔ > +≥ +≥ [ ] [ ] [ ] 2 2 22 22 22 1 1 11 1 log log log log log log 1 log log 22 2 x x xx xx > > ⇔⇔ +≥ − ≥ [ ] 22 1 1 log log 1 2 x x > ⇔ ≥ [ ] 22 2 1 1 1 8 log log 2 log 4 8 x x x x x x x > > > ⇔ ⇒ ⇒ ⇒ ≥ ≥ ≥ ≥ Câu 26. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình [ ] [ ] 2 31 3 log 1 log 1 xx −≤ − là: A. 0 x = . B. 1 x = . C. 15 2 x − = . D. 15 2 x + = . Hướng dẫn giải BPT [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 3 3 33 1 0 11 10 1 log 1 log 1 log 1 log 1 0 xx xx x x xx − > −< < ⇔ −> ⇔ < − ≤− − − + − ≤ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 33 11 11 11 log 11 0 log 11 0 11 1 xxx xx xx xx −< < −< < −< < ⇔⇔⇔ − − ≤ − − ≤ − − ≤ 2 11 11 15 1 01 15 1 5 2 [ 1] 0 0 22 x x x x xx x x x −< < −< < − ⇔ ⇔ ⇔− − +> − +> ⇔ ⇔⇔ − +≤ − +≤ − +≤ 35 3 5 35 3 5 0; ;3 22 22 03 xx x x −+ −+ < ∨> ⇔ ⇔∈ ∪ ≤≤ Câu 28. Điều kiện xác định của phương trình 23 log [ 5] log [ 2] 3 xx −+ + = là: A. 5 x ≥ . B. 2 x >− . C. 25 x −< < . D. 5 x > . Trang 17/35 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] PT xác định khi và chỉ khi: 50 5 5 20 2 xx x xx −> > ⇔ ⇔> + > >− [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính 2 3 log [ 5] log [ 2] 3 X X −+ + − Nhấn CALC và cho 1 X = máy tính không tính đượC. Vậy loại đáp án B và C. Nhấn CALC và cho 5 X = [thuộc đáp án D] máy tính không tính đượC. Vậy loại D. Câu 29. Điều kiện xác định của phương trình 2 log[ 6 7] 5 log[ 3] xx x x − + + −= − là: A. 3 2 x>+ . B. 3 x > . C. 3 2 32 x x >+ ⇔ ⇔ >+ > [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính 2 log[ 6 7] 5 log[ 3] XX X X − + + −− − Nhấn CALC và cho 1 X = máy tính không tính đượC. Vậy loại đáp án C và D. Nhấn CALC và cho 4 X = [thuộc đáp án B] máy tính không tính đượC. Vậy loại B. Câu 30. Phương trình 31 3 3 log log log 6 x xx + += có nghiệm là: A. 27 x = . B. 9 x = . C. 12 3 x = . D. . 3 log 6 x = .. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 0 x > 3 1 3 33 3 3 3 log log log 6 log 2log log 6 log 3 27 x x xx x xx x + + = ⇔ + − = ⇔ = ⇔= [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính 31 3 3 log log log 6 X XX + +− Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng. Câu 31. Phương trình 1 ln ln 8 x x x − = + có nghiệm là: A. 2 x = − . B. 4 2 x x = = − . C. 4 x = . D. 1 x = . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 0 0 1 ln ln 4 4 1 8 2 8 x x x xx x x x x x x > > − = ⇔ ⇒ ⇔= = − + = = − + [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính 1 ln ln 8 X X X − − + Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng. Câu 32. Phương trình 2 22 log 4log 3 0 x x − +=có tập nghiệm là: Trang 18/35 A. { } 8;2 . B. { } 1;3 . C. { } 6;2 . D. { } 6;8 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 0 x > 2 2 22 2 log 1 2 log 4log 3 0 log 3 8 x x x x x x = = − += ⇔ ⇔ = = [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính 2 22 log 4log 3 XX −+ Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng. Câu 33. Tập nghiệm của phương trình [ ] 2 2 1 log 2 1 0 2 x+ −= là: A. { } 0 . B. { } 0; 4 − . C. { } 4 − . D. { } 1;0 − . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 2 x ≠− 2 22 0 log 2 1 2 2 22 4 x x pt x x x x += = ⇔ + =⇔ + = ⇔ ⇔ +=− =− [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính [ ] [ ] 2 2 1 log 2 1 2 X+− Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng. Câu 34. Tập nghiệm của phương trình [ ] 2 21 2 1 log log 1 xx x = −− là: A. { } 12 + . B. { } 1 2;1 2 +− . C. 1 51 5 ; 22 + − . D. { } 12 − . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 0 x > và 2 10 xx − −> Với điều kiện đó thì 21 2 1 log log x x = . Phương trình đã cho tương đương phương trình [ ] 2 11 2 22 0 0 log log 1 1 2 12 1 12 x x x xx x x xx x x > > = −− ⇔ ⇔ ⇔ = + = + = −− = − [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính [ ] 2 2 1 2 1 log log 1 XX X − − − Dùng chức năng CALC của máy tính ta gán từng giá trị của x trong 4 đáp án và ta chọn được đáp án đúng. Câu 35. Phương trình [ ] 2 log 3.2 1 2 1 x x −= + có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 2. C. 3. D. 0. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] [ ] 21 2 21 0 log 3.2 1 2 1 3.2 1 2 2.4 3.2 1 0 1 1 2 2 x x x x xx x x x x + = = − = +⇔ − = ⇔ − += ⇔ ⇔ = − = Trang 19/35 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính [ ] 2 log 3 2 1 2 1 0 X xX − − −= Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn = . Máy hiện X=0. Ấn Alpha X Shift STO A Ấn AC. Viết lại phương trình: [ ] 2 log 3 2 1 2 1 0 X xX X A −− − = − Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 5 =. Máy hiện X=-1. Ấn Alpha X Shift STO B. Ấn AC. Viết lại phương trình: [ ] [ ] [ ] 2 log 3x2 1 2 1 0 X X X A X B −− − = −− Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn =. Máy hỏi X? Ấn 1= Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm. Câu 36. Số nghiệm của phương trình [ ] [ ] 2 ln 6x 7 ln 3 xx − + = − là: A. 0. B. 2. C. 3. D. 1. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] [ ] [ ] 2 22 3 30 3 ln 6 7 ln 3 5 5 6 7 3 7 10 0 2 x xx xx x x x xx x x x x > −> > − + = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔= = − +=− − + = = [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính [ ] [ ] 2 ln 6 7 ln 3 0 XX X − + − −= Ấn SHIFT CALC nhập X=4 [chọn X thỏa điều kiện xác định của phương trình], ấn = . Máy hiện X=5. Ấn Alpha X Shift STO A Ấn AC. Viết lại phương trình: [ ] [ ] 2 ln 6 7 ln 3 0 XX X X A − +− − = − Ấn SHIFT CALC. Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn 7 =. Máy không giải ra nghiệm. Vậy đã hết nghiệm. Câu 37. Nghiệm nhỏ nhất của phương trình [ ] [ ] 53 3 log 2 .log 2log 2 x xx − − = − là: A. 1 5 . B. 3. C. 2. D. 1. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 2 x > [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 53 3 53 3 33 55 log 2 .log 2log 2 2log 2 .log 2log 2 3 log 2 0 log 2 0 1 log 1 log 1 5 x xx x xx x xx x xx − −= −⇔− −= − = − = − = ⇔⇔⇔ = = −= − So điều kiện suy ra phương trình có nghiệm 3 x = . [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính [ ] [ ] 53 3 log 2 .log 2log 2 X X X −− − − Nhấn CALC và cho 1 5 X = [số nhỏ nhất] ta thấy sai. Vậy loại đáp án A. Nhấn CALC và cho 1 X = ta thấy sai. Vậy loại đáp án D. Nhấn CALC và cho 2 X = ta thấy sai. Vậy loại đáp án C. Câu 38. Nghiệm lớn nhất của phương trình 32 log 2log 2 log xx x −+ =− là : A. 100. B. 2. C. 10. D. 1000. Trang 20/35 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 0 x > 32 1 log 1 10 log 2log 2 log log 2 100 log 1 10 x x xx x x x xx = = − − + =− ⇔ = ⇔= = = [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính 32 log 2log 2 log XX X − + −+ Nhấn CALC và cho 1000 X = [số lớn nhất] ta thấy sai. Vậy loại đáp án D. Nhấn CALC và cho 100 X = ta thấy đúng. Câu 39. Gọi 12 , x x là 2 nghiệm của phương trình [ ] [ ] 2 3 3 log 5 log 2 5 xx x −− = + . Khi đó 12 xx − bằng: A. 5. B. 3. C. 2 − . D. 7. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] [ ] [ ] 2 3 3 2 5 2x 5 0 2 5 log 5 log 2 5 5 2 52 5 2 x x xx x x x xx x x >− +> = −− = + ⇔ ⇔ ⇔ = = − −−= + = − [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 5 và –2. Câu 40. Gọi 12 , x x là 2 nghiệm của phương trình 22 12 1 4 log 2 log xx += +− . Khi đó 12 . xx bằng: A. 1 2 . B. 1 8 . C. 1 4 . D. 3 4 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 0 4 1 16 x x x > ≠ ≠ . Đặt 2 log t x = ,điều kiện 4 2 t t ≠− ≠ . Khi đó phương trình trở thành: 2 1 1 12 2 1 3 20 21 42 4 x t tt t t t x = = − + = ⇔ + += ⇔ ⇒ = − +− = Vậy 12 1 . 8 x x = [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm là 1 2 và 1 4 . Câu 41. Gọi 12 , x x là 2 nghiệm của phương trình [ ] 2 log 3 1 x x+= . Khi đó 12 xx + bằng: Trang 21/35 A. 3 − . B. 2 − . C. 17 . D. 3 17 2 −+ . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 3 0 x x [ ] [ ] 2 2 log 3 1 3 2 3 2 0 x x x x x x + = ⇔ + = ⇔ + − = Vậy 12 3. xx += − [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng chức năng SOLVE trên máy tính bỏ túi tìm được 2 nghiệm và lưu 2 nghiệm vào A và B. Tính A + B = – 3. Câu 42. Nếu đặt 2 log t x = thì phương trình [ ] 2 log 4 log 2 3 x x− = trở thành phương trình nào? A. 2 10 tt − − = . B. 2 4 3 10 tt − −= . C. 1 1 t t += . D. 1 23 t t −=. Hướng dẫn giải [ ] 2 2 22 22 2 1 log 4 log 2 3 log 4 log 3 log log 1 0 log x x x x x x − = ⇔ + − = ⇔ − −= Câu 43. Nếu đặt log tx = thì phương trình 23 log 20log 1 0 xx − += trở thành phương trình nào? A. 2 9 20 1 0 tt − += . B. 2 3 20 1 0 tt − += . C. 2 9 10 1 0 tt − += . D. 2 3 10 1 0 tt − +=. Hướng dẫn giải 23 2 log 20log 1 0 9log 10log 1 0 x x x x − += ⇔ − += Câu 44. Cho bất phương trình 9 3 1 log 1 1 log 2 x x − ≤ + . Nếu đặt 3 log tx = thì bất phương trình trở thành: A. [ ] 21 2 1 tt − ≤+ . B. 12 1 12 t t − ≤ + . C. [ ] 11 11 22 tt −≤ + . D. 21 0 1 t t − ≥ + . Hướng dẫn giải [ ] 3 9 3 33 3 3 3 33 1 1 log 1 log 2 log 2 log 2log 1 11 1 2 10 0 1 log 2 1 log 2 2 1 log 2 1 log 1 log x x x x x x x x xx − − −− − ≤⇔ ≤⇔ ≤⇔ − ≥ ⇔ ≥ + + + ++ Câu 45. Điều kiện xác định của bất phương trình 51 5 5 log [ 2] log [ 2] log 3 x xx −+ + > − là: A. 3 x > . B. 2 x > . C. 2 x >− . D. 0 x > . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 20 2 20 2 2 00 xx x xx xx − > > + > ⇔ >− ⇔ > >> [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính 51 5 5 log [ 2] log [ 2] log 3 X X X −+ + − + Nhấn CALC và cho 1 X = máy tính không tính được. Vậy loại đáp án C và D. Nhấn CALC và cho 5 2 X = [thuộc đáp án B] máy tính hiển thị 1,065464369. Câu 46. Điều kiện xác định của bất phương trình [ ] 2 0,5 0,5 log [5x 15] log 6x 8 x + ≤ ++ là: Trang 22/35 A. 2 x >− . B. 4 2 x x − . C. 3 x >− . D. 42 x − < − +> ⇔ ⇔ >− >− + +> . B. 1 x >− . C. 0 x > . D. 1 1 x x . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 2 10 1 0 1 x x x x −< < − > ⇔ > [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính 2 1 ln X X − Nhấn CALC và cho 0,5 X = − [thuộc đáp án A và B] máy tính hiển thị 0,4054651081. Vậy loại đáp án C và D. Nhấn CALC và cho 0,5 X = [thuộc đáp án B] máy tính không tính đượC. Vậy loại B, chọn A. Câu 48. Bất phương trình 2 0,2 0,2 log 5log 6 xx − 2 0,2 0,2 0,2 11 log 5log 6 2 log 3 125 25 x xx − − + + −≥ ⇔ −≥ − + ⇔ − ≥ − + Trang 23/35 15 56 16 xx x x < ∨ > ⇔ ⇔< ≤ ≤≤ [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính [ ] [ ] 2 13 3 log 6X 5 log 1 X X − ++ − Nhấn CALC và cho 2 X = [thuộc đáp án A và D] máy tính không tính được. Vậy loại đáp án A và D. Nhấn CALC và cho 7 X = [thuộc đáp án C] máy tính hiển thị – 0,6309297536. Vậy loại C, chọn B. Câu 50. Bất phương trình [ ] 2 2 3 log 2 1 0 xx −+ < có tập nghiệm là: A. 3 0; 2 = S . B. 3 1; 2 = − S . C. [ ] 1 ;0 ; 2 = −∞ ∪ +∞ S . D. [ ] 3 ;1 ; 2 = −∞ ∪ +∞ S . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] [ ] 22 2 3 0 log 21 0 21 1 1 2 x xx xx x < −+ < ⇔ −+ > ⇔ > [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính [ ] 2 2 3 log 2 1 XX − + Nhấn CALC và cho 5 X = − [thuộc đáp án A và D] máy tính hiển thị – 9,9277…. Vậy loại đáp án A và B. Nhấn CALC và cho 1 X = [thuộc đáp án C] máy tính hiển thị – 1,709511291. Vậy chọn C. Câu 51. Tập nghiệm của bất phương trình 3 46 log 0 x x + ≤ là: A. 3 2; 2 = −− S . B. [ ] 2;0 = − S . C. [ ] ;2 = −∞ S . D. 3 \ ;0 2 = − S . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] 3 4x 6 3 0 0 4x 6 3 log 0 2 2 4x 6 2 20 1 xx x x x x x + > + ≤ ⇔ ⇔ ⇔ − ≤ [ ] [ ] 2 0,2 5 0,2 0,2 0,2 1 log log 2 log 3 log 2 log 3 2 3 0 3 x x x x x x x x Trang 24/35 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính [ ] 0,2 5 0,2 log log 2 log 3 XX − −− Nhấn CALC và cho 3 X = [nhỏ nhất] máy tính hiển thị 0. Vậy loại đáp án B. Nhấn CALC và cho 4 X = máy tính hiển thị -0.6094234797.Vậy chọn D. Câu 53. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình [ ] 1 3 log 4.3 2 1 x x − >− là: A. 3 x = . B. 2 x = . C. 1 x = . D. 1 x = − . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] [ ] 1 1 21 2 33 log 4.3 2 1 4.3 3 3 4.3 0 0 3 4 log 4 x x x xx x xx − −− > −⇔ > ⇔ − < ⇔ < < ⇔ < [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào màn hình máy tính [ ] 1 3 log 4.3 2 1 X X − −+ Nhấn CALC và cho 3 X = [lớn nhất] máy tính hiển thị –1.738140493. Vậy loại đáp án A. Nhấn CALC và cho 2 X = máy tính hiển thị – 0.7381404929. Vậy loại B. Nhấn CALC và cho 1 X = máy tính hiển thị 0.2618595071. Vậy chọn C. Câu 54. Điều kiện xác định của phương trình [ ] 22 log 3log 3 1 1 xx − − = là: A. 3 21 3 x + > . B. 1 3 ≥ x . C. 0 x > . D. [0; ] \{ 1} ∈ +∞ x . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Biểu thức [ ] 22 log 3log 3 1 1 xx − − = xác định khi và chỉ khi: [ ] 2 3log 3 1 1 0 3 10 x x − −> −> [ ] 2 1 log 3 1 3 1 3 x x −> ⇔ > 1 1 3 1 3 3 21 3 12 21 3 1 3 1 3 3 x x x x x + −> > + ⇔ ⇔ ⇔> > > [Phương pháp trắc nghiệm] Thay 1 3 x = [thuộc B, C, D] vào biểu thức [ ] 2 log 3 1 x − được 2 log [0] không xác định, vậy loại B, C, D, chọn đáp án A. Câu 55. Điều kiện xác định của phương trình [ ] [ ] 2 2 2 23 6 log 1 .log 1 log 1 xx x x xx −− + − = −− là: A. 1 x ≤− . B. 1 x ≥ . C. 0, 1 x x > ≠ . D. 1 x ≤− hoặc 1 x ≥ . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Phương trình xác định khi và chỉ khi : 2 2 2 10 10 1 10 xx x x x x − −> + −> ⇔ ≥ − ≥ [Phương pháp trắc nghiệm] Thay 1 x = − [thuộc A, D] vào biểu thức [ ] 2 2 log 1 xx −− được 2 log [ 1] − không xác định, Thay 1 2 x = [thuộc C] vào biểu thức 2 1 x − được 3 4 − không xác định Vậy loại A, C, D chọn đáp án B. Câu 56. Nghiệm nguyên của phương trình [ ] [ ] 2 2 2 23 6 log 1 .log 1 log 1 xx x x xx −− + − = −− là: A. 1 x = . B. 1 x = − . C. 2 x = . D. 3 x = . Trang 25/35 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 1 x ≥ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 23 6 2 2 2 23 6 2 22 2 6 36 6 log 1 .log 1 log 1 log 1 .log 1 log 1 log 6.log 1 .log 6.log 1 log 1 0 xx x x xx x x x x x x x x x x x x −− + − = −− ⇔ +− +− = +− ⇔ +− +− − +− = Đặt [ ] 2 6 log 1 t x x = +− ta được [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 6 66 6 2 2 3 2 6 2 log 3 2 log 3 log 3 lo 6 2 3 2 3 2 2 26 g3 2 2 2 log 6.log 6. 0 log 1 0 0 1 1 log 1 log 6.log 6 log 6.l 12 22 2 2 12 og 6 1 1 1 log 1 log 3 2 11 11 11 tt x x t t x x x x x x x x x xx x x x xx − − −= + − = = ⇔⇔ = + − = + − = ⇔ + − = + −= ⇔ ⇔=∈ − −= + −= + ⇔ ⇔= ∉ − −= [Phương pháp trắc nghiệm] Thay 1 x = vào phương trình ta được VT VP = chọn đáp án A. Câu 57. Nếu đặt 2 log t x = thì bất phương trình [ ] 1 3 42 2 21 2 2 2 2 32 log log 9log 4log 8 x xx x − − + < trở thành bất phương trình nào? A. 42 13 36 0 tt + +< . B. 42 5 90 tt − +< . C. 42 13 36 0 tt − +< . D. 42 13 36 0 tt − −< . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 0 x > [ ] [ ] [ ] 1 3 42 2 21 2 2 2 2 2 42 22 2 2 42 22 32 log log 9log 4log 8 log 3log 3 9 5 2log 4log 0 log 13log 36 0 x xx x xx x x xx − − + < ⇔ − −+ − − < ⇔ − +< Câu 58. Nghiệm nguyên lớn nhất của bất phương trình [ ] 1 3 42 2 21 2 2 2 2 32 log log 9log 4log 8 x xx x − − + < là: A. 7 x = . B. 8 x = . C. 4 x = . D. 1 x = . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 0 x > Trang 26/35 [ ] [ ] [ ] 1 3 42 2 21 2 2 2 2 2 42 22 2 2 42 22 2 2 2 2 32 log log 9log 4log 8 log 3log 3 9 5 2log 4log 0 log 13log 36 0 4 8 2 log 3 4 log 9 11 3 log 2 84 x xx x xx x x xx x x x x x − − + < ⇔ − −+ − − < ⇔ − +< ≠ [ ] [ ] 2 22 2 23 2 log 3 7 3 20 3 7 3 2 3 5 60 3 x x xx xx x x x x − = − + − = ⇔ − + = − ⇔ − + = ⇔ = Lần lượt thay 1; 2 x x = = [thuộc B,A, D] vào vê trái ta được đẳng thức sai, vậy loại B, A, D. Vậy chọn đáp án C. Câu 66. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình [ ] [ ] 24 42 log log log log xx > là: A. 18. B. 16 . C. 15 . D. 17 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 1 x > [ ] [ ] [ ] 24 42 22 2 log log log log log log 2 log 4 16 x x x xx > ⇔ >⇔ >⇔ > Phương pháp trắc nghiệm] Thay 16;15 x = [thuộc B, C] vào phương trình ta được bất dẳng thức sai nên loại B, C Thay 17;18 x = vào phương trình ta được bất đẳng thức đúng Vậy chọn đáp án D. Câu 67. Phương trình 12 1 4 ln 2 ln xx + = − + có tích các nghiệm là: Trang 28/35 A. 3 e . B. 1 e . C. e . D. 2 . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: 24 0, ; x xe xe − >≠ ≠ 2 2 ln 1 12 1 ln 3ln 2 0 ln 2 4 ln 2 ln xe x xx x xx xe = = + = ⇔ − += ⇔ ⇔ = − + = Vậy chọn đáp án A. Câu 68. Phương trình 9 log 2 9 x xx = có bao nhiêu nghiệm? A. 1. B. 0. C. 2. D. 3. Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : 0; 1 x x > ≠ [ ] [ ] 99 log log 2 22 9 9 99 9 9 log 9 log 1 log 2log 0 log 1 9 xx xx x x x x x x = ⇔ = ⇔+ − = ⇔ = ⇔ = Vậy chọn đáp án A. Câu 69. Nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình 3 log 3 log 3 0 x x −< là: A. 3 x = . B. 1 x = . C. 2 x = . D. 4 x = . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : 0; 1; 3 x xx > ≠≠ [ ] 3 3 33 3 log 0 01 1 log 3 log 3 0 0 log 1 3 log . log 1 x x x x xx xx < > − [Phương pháp trắc nghiệm] Loại B, A vì 1; 3 xx ≠≠ Loại C vì 2 2 3 2 log 3 log 3 0 x=⇒− > Vậy chọn đáp án D. Câu 70. Phương trình ln 7 ln 7 98 x x += có nghiệm là: A. xe = . B. 2 x = . C. 2 xe = . D. xe = . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : 0; 1 x x > ≠ Đặt t xe = ln 7 ln .ln 7 ln 7 98 7 98 2.7 98 2 t x te t xe t + = ⇔ + = ⇔ = ⇔= [Phương pháp trắc nghiệm] Lần lượt thay 2; ; x x e x e = = = vào phương trình ta được đẳng thức sai, vậy loại A, B, D, vậy chọn đáp án C. Câu 71. Bất phương trình [ ] [ ] 2 2 0,5 log 2 log 1 1 xx x −− ≥ − + có tập nghiệm là: A. ] 1 2; = − +∞ S . B. ] 1 2; = + +∞ S . C. [ ;1 2 = −∞ + S . D. [ ;1 2 = −∞ − S . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện : 2 x > [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 2 22 2 0,5 2 32 log 2 log 1 1 log 2 1 1 2 1 2 0 12 0 20 12 xx x xx x xx x x x xx x −− ≥ − + ⇔ −− − ≥ ⇔ −− − − ≥ − ≤≤ ⇔ − − ≥ ⇔ ≥+ [ Phương pháp trắc nghiệm] Trang 29/35 Dựa vào điều kiện ta loại A, C, D. Vậy chọn đáp án B. Câu 72. Biết phương trình 2 2 11 7 log 0 log 2 6 x x − + = có hai nghiệm 12 , xx . Khẳng định nào sau đây là đúng? A. 33 12 2049 4 += xx . B. 33 12 2047 4 += − xx . C. 33 12 2049 4 += − xx . D. 33 12 2047 4 += xx . Hướng dẫn giải Điều kiện: 2 0 0 log 0 1 x x x x > > ⇔ ≠ ≠ . Đặt 2 log . t x = Phương trình đã cho trở thành 2 3 7 60 tt − −=. 3 2 2 3 2 3 29 log 3 3 2 2 1 log 2 3 3 4 x x t t x x − = = = = ⇔⇔ ⇔ = − = − = = [thỏa mãn điều kiện] Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là 33 12 3 1 2049 8; 4 4 = ⇒+ = S xx Câu 73. Số nghiệm nguyên dương của phương trình [ ] [ ] 1 21 2 log 4 4 log 2 3 xx x + + =− − là: A. 2. B. 1. C. 3. D. 0. Hướng dẫn giải Điều kiện: 1 2 2 3 0 log 3 1 x x + −> ⇔ > − . Ta có: [ ] [ ] [ ] 1 2 1 2 11 2 44 44 log 4 4 log 2 3 log 2 1 23 23 xx xx x xx xx + ++ + + + =− −⇔ = ⇔ = − − Đặt 2 , 0. x tt = > Ta có [ ] 22 2 1 4 2 3 3 4 0 4. ⇒ + = − ⇔ − − = ⇒= t t t t t t 2 22 2 x x ⇔ = ⇔= [thỏa mãn điều kiện] Vậy nghiệm của phương trình đã cho là 2 x = . Câu 74. Tập nghiệm của bất phương trình [ ] [ ] 12 2 log log 2 1 0 x−> là: A. 3 1; 2 S = . B. 3 0; 2 S = . C. [ ] 0;1 S = . D. 3 ;2 2 S = . Hướng dẫn giải Điều kiện: 2 2 10 1. log [2 1] 0 x x x −> ⇔> −> Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 12 12 1 2 22 log log 2 1 0 log log 2 1 log 1 xx −> ⇔ −> 2 2 log [2 1] 1 0 2 12 3 1. log [21] 0 21 1 2 x x x x x −< < − < ⇔ ⇔ ⇔ < < − > −> [thỏa mãn điều kiện] Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 3 1; 2 S = . Câu 75. Tập nghiệm của bất phương trình [ ] [ ] 2 42 log 2 3 1 log 2 1 xx x + +> + là: A. 1 ;1 2 S = . B. 1 0; 2 S = . C. 1 ;1 2 S = − . D. 1 ;0 2 S = − . Hướng dẫn giải Điều kiện: 2 1 1 2 3 10 1 2 . 1 2 2 10 2 xx xx x x x − + +> ⇔ ⇔ >− +> >− Trang 30/35 Ta có: [ ] [ ] [ ] [ ] 2 2 2 42 44 log 2 3 1 log 2 1 log 2 3 1 log 2 1 xx x xx x + +> + ⇔ + +> + 22 2 1 2 3 1 4 4 1 2 0 0. 2 x x x x xx x ⇔ + +> + +⇔ + < ⇔− < < [thỏa mãn điều kiện] Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 ;0 2 S = − . Câu 76. Tập nghiệm của bất phương trình [ ] 2 25 5 3 log 125 .log log 2 x xx x >+ là: A. [ ] 1; 5 S = . B. [ ] 1; 5 S = − . C. [ ] 5;1 S = − . D. [ ] 5; 1 S=−− . Hướng dẫn giải Điều kiện: [ ] 0 1 * . x + ⇔ + >+ [ ] 2 22 5 5 5 5 55 1 3 31 3 3log 5 1 . log log log log 2log log 0 2 2 22 2 x x x x x x x ⇔ + >+ ⇔ + >+ ⇔ − < 1 0 2 5 1 0 log 5 5 1 5. 2 x xx ⇔ < < ⇔ Ta có phương trình tương đương 99 2log log 3 2 6.2 2 0. [1] xx − += Đặt 9 log 2 ,0 x t t = > . [ ] 2 2 1 6 80 4 = ⇒ − += ⇔ = t t t t - Với 9 log 9 2 2 2 log 1 9. x t xx = ⇔ = ⇔ = ⇔= - Với 9 log 2 9 4 2 2 log 2 81 x t xx = ⇔ = ⇔ = ⇔= . Trang 31/35 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là { } 22 12 9;81 6642 = ⇒ + = S xx . Câu 80. Tập nghiệm của bất phương trình 2 2 2 1 log log 2 10 3 0 x x x − +> là: A. [ ] 1 0; 2; 2 S = ∪ +∞ . B. [ ] 1 2;0 ; 2 S = − ∪ +∞ . C. [ ] 1 ;0 ;2 2 S = −∞ ∪ . D. [ ] 1 ; 2; 2 S = −∞ ∪ +∞ . Hướng dẫn giải Điều kiện: 0 [*] x > . Đặt 2 log 2 . u u xx = ⇒= Bất phương trình đã cho trở thành [ ] 22 2 10 2 10 2 3 0 2 3 0 [1] 2 u uu u u − − +> ⇔ − +> Đặt [ ] 22 22 5 [l] 2 , 1. 1 3 10 0 2 2 1 1 2 ⇔ ⇔ > ⇔ > ⇔ > > uu t t t tt u u t hoặc 1 u ⇒ >⇒ > - Với 2 1 1 log 1 . 2 u xx > [ ] 33 3 log log 2 log xx m − − = [ ] 2 2 x x m ⇔= − 2 2 2 1 ⇔= − m x m Phương trình có nghiệm 2 x > khi 1 m > ,chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay 0 m = [thuộc C, D] vào biểu thức 3 log m không xác định, vậy loại C, D, Trang 32/35 Thay 1 m = [thuộc B] ta được phương trình tương đương 2 xx = − vô nghiệm Vậy chọn đáp án A. Câu 83. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để bất phương trình [ ] 2 3 log 4 1 x x m ++ ≥ nghiệm đúng với mọi . x ∈ ? A. 7 m ≥ . B. 7 m > . C. 4 m < . D. 4 7 m ∀ ∈ ⇔∆ < ⇔− < < Câu 85. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] 2 2 log 2 mx x −= vô nghiệm? A. 4 m < . B. 44 m −< < . C. 4 4 m m > − . Hướng dẫn giải [ ] 22 2 log 2 4 0[*] mx x x mx − = ⇔− + − = Phương trình [*] vô nghiệm 2 0 16 0 4 4 mm ⇔∆ < ⇔ − < ⇔− < < Câu 86. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 44 log 3log 2 1 0 x xm + + −= có 2 nghiệm phân biệt? A. 13 8 m < . B. 13 8 m > . C. 13 8 m ≤ . D. 13 0 8 m ⇔ − > ⇔ < Câu 87. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 22 log [5 1].log [2.5 2] xx m − −≥ có nghiệm 1 x ≥ ? A. 6 m ≥ . B. 6 m > . C. 6 m ≤ . D. 6 m < . Hướng dẫn giải BPT 22 2 2 log [5 1].log [2.5 2] m log [5 1]. 1 log [5 1] m xx x x ⇔− −≤⇔− + −≤ Đặt [ ] 2 6 log 1 t x x = +− do 1 x ≥ [ ] 2; t ⇒ ∈ +∞ BPT 2 [1 ] [ ] t tm t t m f tm ⇔ + ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ Với 2 [] ft t t = + , [] 2 1 0 ft t = +> với [ ] 2; t ∈ +∞ nên hàm đồng biến trên [ ] 2; t ∈ +∞ Nên [ ] [2] 6 Minf t f = = Do đó để để bất phương trình 22 log [5 1].log [2.5 2] m xx − −≥ có nghiệm 1 x ≥ thì : [] 6 m Minf t m ≤ ⇔≤ Câu 88. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 2 33 log 2log 1 0 x x m + + −= có nghiệm? A. 2 m < . B. 2 m ≤ . C. 2 m ≥ . D. 2 m > . Hướng dẫn giải TXĐ: 0 x > Trang 33/35 PT có nghiệm khi 0 1 [ 1] 0 2 0 2 m mm ′ ∆≥ ⇔ − − ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≤ . Câu 89. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình 2 log [5 1] x m −≤ có nghiệm 1 x ≥ ? A. 2 m ≥ . B. 2 m > . C. 2 m ≤ . D. 2 m < . Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] [ ] 2 1 51 4 log 51 2 2 xx xm ≥ ⇔ − ≥⇔ − ≥⇔ ≥ Câu 90. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 22 33 log log 1 2 1 0 x xm + + − −= có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn 3 1;3 ? A. [0;2] m ∈ . B. [0;2] m ∈ . C. [0;2] m ∈ . D. [0;2] m ∈ . Hướng dẫn giải Với 3 1;3 x ∈ hay 3 2 2 23 33 3 1 3 log 1 1 log 1 log 3 1 x x ≤ ≤ ⇒ +≤ +≤ + hay 12 t ≤≤ . Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [ ] 1;2 ”. Ta có 2 2 2. PT m t t ⇔ = ++ Xét hàm số [ ] [ ] 2 [ ] 2, 1;2 , '[ ] 2 1 0, 1;2 ft t t t f t t t = + − ∀∈ = + > ∀∈ Suy ra hàm số đồng biến trên [ ] 1;2 . Khi đó phương trình có nghiệm khi 0 2 4 0 2. mm ≤ ≤ ⇔≤ ≤ Vậy 02 m ≤≤ là các giá trị cần tìm. Câu 91. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] [ ] 24 log 5 1 .log 2.5 2 xx m − −= có nghiệm 1. x ≥ ? A. [ ] 2; m ∈ +∞ . B. [ ] 3; m ∈ +∞ . C. [ ;2] m ∈ −∞ . D. [ ] ;3 m ∈ −∞ . Hướng dẫn giải Với [ ] [ ] 22 1 5 5 log 5 1 log 5 1 2 xx x≥⇒ ≥ ⇒ − ≥ − = hay 2 t ≥ . Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình có nghiệm 2 t ≥ ”. Xét hàm số 2 [ ] , 2, '[ ] 2 1 0, 2 ft t t t f t t t = + ∀≥ = + > ∀≥ Suy ra hàm số đồng biến với 2 t ≥ . Khi đó phương trình có nghiệm khi 2 6 3. mm ≥ ⇔ ≥ Vậy 3 m ≥ là các giá trị cần tìm. Câu 92. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình [ ] 2 33 log 2 log 3 1 0 xm x m − + + −= có hai nghiệm 12 , x x thỏa mãn 12 . 27. xx = ? A. 2 m = − . B. 1 m = − . C. 1 m = . D. 2 m = . Hướng dẫn giải Điều kiện 0. x > Đặt 3 log . tx = Khi đó phương trình có dạng: [ ] 2 2 3 10 t m t m − + + −= . Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì [ ] [ ] [ ] 2 2 4 22 2 4 3 1 8 8 0 * 4 22 m m m mm m < − ∆ = + − − = − + > ⇔ > + Với điều kiện [ ] * ta có: [ ] 1 23 1 3 23 1 2 3 log log log . log 27 3. t t x x xx += + = = = Theo Vi-ét ta có: 12 2 23 1 t t m m m + = +⇒ + = ⇔ = [thỏa mãn điều kiện] Vậy 1 m = là giá trị cần tìm. t 1 2 f ′[t] + f [t] 0 4 t 2 +∞ f ′[t] + f [t] 6 +∞ Trang 34/35 Câu 93. Tìm tất cả các giá trị thực của tham s ố m để phương trình [ ] 22 2 21 4 2 log log 3 log 3 x x mx + −= − có nghiệm thuộc [ ] 32; +∞ ? A. [ 1; 3 m ∈ . B. ] 1; 3 m ∈ . C. ] 1; 3 m ∈ − . D. [ 3;1 m ∈− . Hướng dẫn giải Điều kiện: 0. x > Khi đó phương trình tương đương: [ ] 2 22 2 log 2log 3 log 3 x x mx − −= − . Đặt 2 log t x = với 22 32 log log 32 5 xx ≥ ⇒ ≥ = hay 5. t ≥ Phương trình có dạng [ ] [ ] 2 2 3 3 * t t mt − −= − . Khi đó bài toán được phát biểu lại là: “Tìm m để phương trình [*] có nghiệm 5 t ≥ ” Với 5 t ≥ thì [ ] [ ] [ ] [ ] [*] 3 . 1 3 3. 1 3 0 t t mt t t m t ⇔ − + = − ⇔ − +− − = 1 1 30 3 t t mt m t + ⇔ +− − = ⇔ = − Ta có 14 1. 33 t t t + = + − − Với 44 5 11 1 3 3 53 t t ≥ ⇒ ⇔⇔ < − += + + > Hệ trên thỏa mãn [ ] 2;3 x ∀∈ 23 23 [ ] 12 khi 2 12 13. [ ] 13 khi 2 x x m Max f x x m m Min f x x 7 m = : [2] không thỏa x ∀∈ 0 m = : [3] không thỏa x ∀∈ [1] thỏa x ∀∈ [ ] 2 2 2 3 70 7 5 47 0 2 5. 0 0 2 40 m m m m m m m m m −> < ′ ≤ ∆= − − ≤ ⇔ ⇔ ⇔ > > ′ ∆ = − < Câu 96. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình [ ] [ ] 22 55 1 log 1 log 4 x mx x m + +≥ + + có nghiệm đúng . x ∀ A. [ ] 2;3 m ∈ . B. [ ] 2;3 m∈− . C. [ ] 2;3 m ∈ . D. [ ] 2;3 m∈− . Trang 35/35 Hướng dẫn giải Bất phương trình tương đương [ ] 22 7 1 4 0, x mx x m x + ≥ + + > ∀∈ [ ] 2 2 5 4 5 0 [2] [*], . 4 0 [3] mx x m x mx x m − − +− ≥ ⇔ ∀∈ + + > 0 m = hoặc 5 m = : [*] không thỏa x ∀∈ 0 m ≠ và 5 m ≠ : [*] [ ] 2 2 2 3 50 45 0 2 3. 0 40 m m m m m −> ′ ∆= − − ≤ ⇔ ⇔ ′ ∆ = − <
Hệ thống bài tập trắc nghiệm VDC, phân loại phương trình, bất phương trình, hệ mũ – logarit lớp 12 THPT [phần 11 – 20]
1 THÂN TẶNG QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TOÀN QUỐC HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ MŨ LOGARIT LỚP 12 THPT PHẦN 11 – 20 4 9 1993 9 4 log log log b a a b c CREATED BY GIANG SƠN TP.THÁI BÌNH; THÁNG 5/2020 _____________________________________________________________________________________________________________ 2 VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT LỚP 12 THPT [LỚP BÀI TOÁN PT, BPT, HPT – PHẦN 11] __________________________________________________ Câu 1. Tổng các nghiệm của phương trình 2 4 2 2 .5 1 x x . A. log 25 B. 2log 25 C. 2 D. 2log 25 – 1 Câu 2. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 10;100] để phương trình 2 3 2 log [ 1]log 2 0 x m x m có nghiệm ? A. 109 B. 100 C. 10 D. 6 Câu 3. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 19;20] để phương trình 2 3 2 log [ 2]log 4 0 x m x m có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 9 x x . A. 20 B. 23 C. 17 D. 19 Câu 4. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3 1 2 .5 x x x m có hai nghiệm phân biệt mà tổng bình phương hai nghiệm không vượt quá 15 ? A. 5 B. 4 C. 8 D. 7 Câu 5. Khoảng [a;b] là điều kiện tham số m để phương trình 2 4 2 2 .5 x x m có hai nghiệm phân biệt mà tổng của chúng nhỏ hơn 0,5. Giá trị b – a gần nhất với số nào A. 0,49 B. 0,48 C. 0,47 D. 0,51 Câu 6. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3 4 x x m e có hai nghiệm phân biệt. A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số Câu 7. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 [5 2 2] 10 4 0 x x m e x m e x có ba nghiệm phân biệt ? A. 10 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 8. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3 2 3 2 2 3 3 3 8 log 3 3 2 2 3 x x x m x x m x x có hai nghiệm phân biệt. A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 Câu 9. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 1 2 1 5 .2 10.8 x x x m x có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn điều kiện 1 2 1 2 2 12 x x x x . A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 Câu 10. Tồn tại bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình 3 2 2 2[ 1 ][1 1 ] m m e e x x x x có nghiệm A. 2 B. 0 C. Vô số D. 1 Câu 11. Tập hợp [ ; ] S a b gồm tất cả các giá trị m để phương trình 2 3 4 1 x x m có hai nghiệm thực phân biệt. Tính giá trị biểu thức 2a + 3b. A. 29 B. 28 C. 32 D. 36 Câu 12. Phương trình 2 3 3 log [ 2]log 5 0 x m x n [n là tham số nguyên] có hai nghiệm phân biệt mà tích của chúng bằng 27. Giá trị nguyên nhỏ nhất của n là A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất m để hàm số 2 2 2 1 log [ 3 ] 1 2 x y x x m x m e x có tập xác định . A. 4,25 B. 4,75 C. 2,25 D. 4 3 Câu 14. Cho ba số thực dương a, b, c khác 1 thỏa mãn log 2log 4log a b c b c a và a + 2b + 3c = 48. Tính abc. A. 324 B. 243 C. 521 D. 512 Câu 15. Cho 1 [ ] 2018 2018 x f x . Tìm số nguyên n nhỏ nhất sao cho 5 2018 [ 2017] [ 2016] ... [0] [1] ... [2018] n f f f f f . A. n = 5 B. n = 6 C. n = 7 D. n = 8 Câu 16. Cho a, b, c, d là các số nguyên dương thỏa mãn 3 5 log ;log 2 4 a c b d và a – c = 9. Tính b – d. A. 93 B. 85 C. 71 D. 76 Câu 17. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc miền [– 2019;2019] để phương trình sau có nghiệm 2 2 2 2 log 2log log x x m x m . A. 2021 B. 2019 C. 4038 D. 2020 Câu 18. Phương trình 2 2 27 1 3 3log 2 [ 3] 1 log [ 1 3 ] 0 x m x m x x m có hai nghiệm phân biệt a, b thỏa mãn điều kiện |a – b| < 15. Số giá trị nguyên của tham số m thu được là A. 12 B. 11 C. 13 D. 14 Câu 19. Tính tổng các nghiệm phân biệt của hai phương trình 2 2 7 3 ln[ 4]; 11 21 ln[6 ] x x x x x x . A. 2 B. 4 C. 8 D. 6 Câu 20. Phương trình 2 3 3 6 ln[ 1] 1 0 x x x có bao nhiêu nghiệm phân biệt ? A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Câu 21. Tìm điều kiện tham số để bất phương trình 2 2 2 2 2 2 .9 [2 1].6 .4 0 x x x x x x m m m nghiệm đúng với mọi giá trị 1 2 x . A. m < 1,5 B. m 1,5 C. m 0 D. m < 0 Câu 22. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để hàm số 2 ln[ 1] 2 x y m x x đồng biến trên [1; ] ? A. 4 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 23. Tìm tập hợp các giá trị của a để bất phương trình log 3 3 a x x [0 1 a ]. A. [2;3] B. [1;2] C. [3;5] D. [5; ] Câu 24. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để hàm số log[ 2] y m x m xác định trên 1 ; 2 . A. 4 B. 5 C. 3 D. Vô số Câu 25. Các số thực dương x, y, z thỏa mãn 6 3 2 5 log log log log 3 x x y z y z . Tính giá trị biểu thức 6 3 2 log 5 log 5 log 5 2 3 P x y z . A. 20 B. 24 C. 26 D. 30 Câu 26. Phương trình 2 2 2 log [ 2]log 2 0 x m x m có hai nghiệm phân biệt a, b thỏa mãn 60 a b . Số các giá trị nguyên m < 100 thỏa mãn bài toán là A. 93 B. 98 C. 92 D. 97 _________________________________ 4 VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT LỚP 12 THPT [LỚP BÀI TOÁN PT, BPT, HPT – PHẦN 12] __________________________________________________ Câu 1. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để hệ phương trình sau có số nghiệm tối đa 10 4 4 1993 9 4 9log 1993 log [1993 ] y x m x x y x y A. 6 B. 7 C. 3 D. 10 Câu 2. Biết rằng a là số thực dương để bất phương trình 4 1993 7971 x a x nghiệm đúng với x . Khi đó giá trị biểu thức 1993 4log [9 ] a gần nhất số nào sau đây A. 1993 B. 1050 C. 1975 D. 1945 Câu 3. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m không vượt quá 2020 để phương trình sau có nghiệm 2 2 2ln [ 1]cos tan 2 0 m x x m m . A. 2018 B. 2019 C. 2020 D. 2021 Câu 4. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn 2 2 2 2 2 2 log [ 2 ] 1 1 log [ 1] x x y x y ? A. 5 B. 4 C. 2 D. 6 Câu 5. Cho phương trình 4 4 3 log [ ] 2 2 0 x x m x m , m là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để phương trình đã cho có nghiệm thuộc 1;1 . Số phần tử của S là A. 3. B. 6. C. 5. D. Vô số Câu 6. Cho 2 log log log l g ; o 0 y a b c b x x p q r a c . Tính y theo , , p q r . A. 2 y q p r . B. 2 p r y q . C. 2 y q p r . D. 2 y q pr . Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 2019;2020] sao cho hệ phương trình sau có nghiệm 2 2 2 2 2 2 2 4 9.3 [4 9 ].7 , 2 1 2 2 . x y x y y x x y x m A. 2017 B. 2021 C. 2019 D. 2020 Câu 8. Có bao nhiêu cặp số nguyên x, y thỏa mãn 0 2020 x và 3 log [3 3] 2 9 y x x y ? A. 2019 B. 6 C. 2020 D. 4 Câu 9. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương [x;y] với 2020 x thỏa mãn 3 2[3 ] 3[1 9 ] log [2 1] x x y x ? A. 4 B. 3 C. 2020 D. 1010 Câu 10. Có bao nhiêu giá trị nguyên dương c để tồn tại các số thực a > 1, b > 1 thỏa mãn 9 12 16 5 log log log b a a b c ? A. 5 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 11. Tồn tại bao nhiêu số hữu tỷ a thuộc [– 1;1] sao cho tồn tại số thực b thỏa mãn 2 2 2 2 4 1 1 log [1 2 ] 4 1 2 1 2 4 2 a a a a a a a b b . A. 0 B. 3 C. 1 D. Vô số 5 Câu 12. Tồn tại bao nhiêu cặp số [x;y] với 0 2020; x y thỏa mãn 2 2 2 2 3 log [3 6 6] 3 2 1 y x x y x x ? A. 5 B. 6 C. 7 D. 4 Câu 13. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để 2 2 3 3 1; 1; max ln 3ln min ln 3ln 3 e e x x m x x m ? A. 1 B. 2 C. 0 D. 3 Câu 14. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn 2 1 2 0 2020; 2.4 1 2 2log y x x x y ? A. 2020 B. 2019 C. 63 D. 31 Câu 15. Có bao nhiêu cặp số [x;y] thỏa mãn đồng thời 2 * 2 2 2 ;0 2020 ln [ 1] . y y x x x e e y x x A. 3 B. 2 C. 4 D. Vô số Câu 16. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương [x;y] thỏa mãn 4 3 2 2 2 2 2020; log 4 8 [ 4 ] 1 1 x y y y x x y y . A. 2019.2020 B. 2020 2 C. 1993 D. 4 Câu 17. Có bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn 0; 20 20 x y x thỏa mãn điều kiện 2 2 3 log [ 2 ] 2 3 0 x y x y x y x y ? A. 19 B. 6 C. 10 D. 41 Câu 18. Có bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] với 1 2020 y thỏa mãn điều kiện 1 2 1 3 3 2 2 [4 2 ] log [4 2 4 ] log [2 ] 4 x x x x y x y y y y . A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 Câu 19. Tồn tại bao nhiêu giá trị m để hệ phương trình 3 2 2 2 log [ ] log [ ] 2 x y m x y m có đúng hai nghiệm nguyên ? A. 3 B. 2 C. 1 D. Vô số Câu 20. Có bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] với 0;2017 y thỏa mãn 2 2 2 2 2 3 log 8 2 2 5 2 3 x x y x x y x x . A. 44 B. 22 C. 42 D. 21 Câu 21. Khi hệ bất phương trình 2019 log [ ] 0 2 1 x y x y x y m có nghiệm duy nhất thì giá trị m thu được thuộc khoảng A. 1 ;0 3 B. [0;1] C. [1;2] D. 1 1; 3 Câu 22. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên dương [x;y] với 0 < x < 500 thỏa mãn phương trình 2 2 2 2 2 log [2 2 2] 2 x x y y x x . A. 4 B. 2 C. 3 D. 1 Câu 23. Cho hai số thực x > y thỏa mãn 2 ln[ ] 2 2 x y x y x y e e . Hỏi giá trị biểu thức 5x + 3y nằm trong khoảng giá trị nào sau đây A. [0;1] B. [1;2] C. 1 1; 2 D. 1 3 ; 2 10 _______________________________________ 6 VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT LỚP 12 THPT [LỚP BÀI TOÁN PT, BPT, HPT – PHẦN 13] __________________________________________________ Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có hai nghiệm đều lớn hơn – 2: 3 3 log [ 3] log 9 16 x x m . A. 15 B. 17 C. 14 D. 16 Câu 2. Tính tổng các số nguyên dương n thỏa mãn 4 3 n viết trong hệ thập phân là số có 2020 chữ số. A. 6711 B. 6709 C. 6707 D. 6705 Câu 3. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để tập nghiệm của bất phương trình sau chứa khoảng [1;3] 2 2 7 7 log [ 2 2] 1 log [ 6 5 ] x x x x m A. 35 B. 36 C. 34 D. Vô số Câu 4. Có bao nhiêu cặp số nguyên [a;b] thỏa mãn 1 < a < b < 100 và phương trình x x b a a b có nghiệm nhỏ hơn 1 ? A. 4751 B. 4656 C. 2 D. 4750 Câu 5. Cho a là hằng số dương khác 1 thỏa mãn 2cos 2 2 4cos 1 x a x với x . Giá trị của a thuộc khoảng nào sau đây A. [2;3] B. [43;5] C. [0;2] D. [4; ] Câu 6. Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 2 2 3 4 log [ ] log [ ] x y x y ? A. 3 B. 2 C. 1 D. Vô số Câu 7. Biết rằng phương trình 2 2 3 2 .5 .7 x x x m có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 1 2 4 x x x x . Giá trị tham số m nằm trong khoảng nào A. [1;2] B. [2;3] C. [3;4] D. [4;5] Câu 8. Khi phương trình 2 3 2 2 .5 2 x x m có hai nghiệm phân biệt a, b thỏa mãn 2 2 a b thì giá trị m thu được thuộc khoảng giá trị nào A. [2;3] B. [1;2] C. [0;1] D. [– 3;0] Câu 9. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 25 4log .log 1 0 5 x x m có hai nghiệm phân biệt a, b thỏa mãn điều kiện 50 625 0 ab ab . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 10. Cho phương trình 2 2 2 2 log [5 1]log 4 0 x m x m m với m là tham số. Biết phương trình có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 165 x x . Giá trị của 1 2 x x bằng A. 16 B. 119 C. 120 D. 159 Câu 11. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 2 2 2 1 1 1 1 log log log 2020 x y z và 2 log [ ] 2020 x y z . Tính giá trị của biểu thức 2 log [ ] 1 x y z x y z x y y z x z . A. 2020 2 B. 1010 C. 4040 D. 2020 Câu 12. Có bao nhiêu cặp số nguyên dương [x;y] thỏa mãn 2 3 2020 3 [3 1] [ 1]3 y x x y x x x x A. 7 B. 6 C. 15 D. 13 Câu 13. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m để phương trình 1 2 16 6.8 8.4 .2 0 x x x x m m có hai nghiệm phân biệt. Khi đó S có số tập con là 7 A. 16 tập con B. 8 tập con C. 4 tập con D. Vô số tập con Câu 14. Cho hàm số 2019 [ ] 2019ln x f x e e . Tính [1] [2] ... [2018] f f f . A. 2018 B. 1009 C. 1008,5 D. 1009,5 Câu 15. Tìm số nghiệm x thuộc [0;100] của phương trình cos[ ] 1 4 1 2 cos[ ] log [3cos[ ] 1] 2 x x x . A. 51 B. 49 C. 50 D. 52 Câu 16. Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình 2 2 ln[ 3 1] 3 0 x x x x . A. 0 B. 2 C. 1 D. 3 Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để tập nghiệm của bất phương trình sau chứa đúng hai số nguyên ? 2 ln[ 2 ] 2ln[2 1] 0 x x m x . A. 10 B. 8 C. 11 D. 9 Câu 18. Cho , , a b c là các số thực khác 0 thỏa mãn 6 9 24 a b c . Tính a a T b c . A. 3 . B. 3 . C. 2 . D. 11 12 . Câu 19. Cho hai hàm số 2 ln x y x và 3 1 4 2020 2 y m x x . Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại một điểm duy nhất bằng A. 506 B. 1011 C. 2020 D. 1010 Câu 20. Có bao nhiêu m nguyên dương để tập nghiệm của bất phương trình 2 2 2 3 3 3 1 3 0 x x m m có không quá 30 nghiệm nguyên? A. 28 . B. 29 . C. 30 . D. 31. Câu 21. Cho hàm số [ ] ln 2 x f x x . Tính tổng [1] [2] ... [2021] f f f . A. 2021 B. 2022 2023 C. 2021 2022 D. 4035 2021 Câu 22. Cho các hàm số 2 log 1 y x và 2 log 4 y x có đồ thị như hình vẽ. Diện tích của tam giác A B C bằng A. 21. B. 7 4 . C. 21 2 . D. 21 4 . Câu 23. Có tất cả bao nhiêu số nguyên dương m để bất phương trình 2 1 8 3.2 9.2 5 0 1 x x x m nghiệm đúng với mọi 1, 2 x A. Vô số. B. 4 . C. 5. D. 6 . 8 VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT LỚP 12 THPT [LỚP BÀI TOÁN PT, BPT, HPT – PHẦN 14] __________________________________________________ Câu 1. Cho đồ thị như hình vẽ. Biết rằng CB = 2AB. Mệnh đề nào sau đây đúng A. a = 5b B. 2 a b C. 3 a b D. 3 a b Câu 2. Có bao nhiêu cặp số thực [x;y] thỏa mãn đẳng thức 2 2 2 2 2 9 2 2 4 6 2 log 2log [2 2 2 2 ] 2 3 x x y y x y x y x y x x y y . A. 3 B. 2 C. 0 D. 1 Câu 3. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 2020;2020] để phương trình sau có đúng hai nghiệm 2 [2 2 ] 3 0 x x x m . A. 2094 B. 2093 C. 2092 D. 2095 Câu 4. Tồn tại bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình 2 log 3 100 0 x x m có đúng một nghiệm ? A. 1 B. 0 C. 3 D. 8 Câu 5. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thỏa mãn – 10 < m < 10 để phương trình 1 4 2 log [ 2 ] x x m m có nghiệm ? A. 4 B. 9 C. 10 D. 5 Câu 6. Tồn tại bao nhiêu số nguyên âm m để phương trình sau có nghiệm 2 2 2 2 3 3 1 log 5 2 2 1 x x m x x m x x . A. 6 B. 5 C. Vô số D. 4 Câu 7. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị m sao cho 10 m và phương trình sau có nghiệm duy nhất 2 2 5 5 2log [2 5 4] log [ 2 6] m x m x x x x x . Tìm số phần tử của S. A. 16 B. 15 C. 13 D. 14 Câu 8. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn 6 3 3 5 [2 log ][1 log 2] log 5 log y x và 2 0 x y ? A. 40 B. 35 C. 34 D. 27 Câu 9. Cho hàm số 2 [ ] 1 2019 x x f x . Tính giá trị biểu thức [cos1 ] [cos 2 ] ... [cos178 ] [cos179 ] P f f f f . A. 45,5 B. 89,5 C. 90,5 D. 44,5 Câu 10. Biết rằng phương trình 3 3 3 3 log [ 5]log [6 5]log 9 3 0 x m x m x m có ba nghiệm thực phân biệt sao cho tích của chúng bằng 729. Tổng các nghiệm khi đó bằng A. 1 B. 12 C. 39 D. 6 Câu 11. Có tất cả bao nhiêu số nguyên m thuộc khoảng [1;20] để bất phương trình log log m x x m có tập hợp nghiệm chứa khoảng 1 ;1 3 x ? 9 A. 17 B. 0 C. 18 D. 16 Câu 12. Tính 3n + 2 biết rằng 2 2 2 2 2 1 1 1 276 ... , 0, 1 log log log log n x x x x x x . A. 68 B. 71 C. 74 D. 77 Câu 13. Tìm tất cả các giá trị m để giá trị lớn nhất của hàm số sin sin sin 1 sin 4 6 [ ] 9 4 x m x x x f x không nhỏ hơn 1 3 ? A. 6 2 log 3 m B. 6 2 log 3 m C. 6 13 log 18 m D. 6 log 3 m Câu 14. Khoảng [a;b] là tập hợp các giá trị m để phương trình 2 2 log cos log[cos ] 4 0 x m x m có nghiệm. Tính giá trị biểu thức 2 2 a b . A. 6 B. 4 C. 8 D. 5 Câu 15. Có tất cả bao nhiêu số thực m thuộc [– 1;1] để phương trình sau có nghiệm [x;y] duy nhất 2 2 2 2 1 log [ ] log [2 2 2] m x y x y . A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 Câu 16. Biết rằng phương trình 9 [2 3].3 81 0 x x m có hai nghiệm phân biệt mà tổng bình phương hai nghiệm bằng 10. Giá trị tham số m thu được thuộc khoảng A. [5;10] B. [0;5] C. [10;15] D. 15; Câu 17. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 3 5 log [3 2 ] log [3 ] x x m m có nghiệm ? A. 3 B. 4 C. 2 D. 5 Câu 18. Cho x, y là hai số dương thỏa mãn 5x + y = 4. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên m để phương trình sau có nghiệm: 2 2 3 2 log 3 1 0 x y m x x y m x y . A. 10 B. 5 C. 9 D. 2 Câu 19. Cho hai số dương a, b thỏa mãn 4 6 9 log log log [4 5 ] 1 a b a b . Ký hiệu b T a thì A. 1 < T < 2 B. 1 2 2 3 T C. – 2 < T < 0 D. 1 0 2 T Câu 20. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt thuộc [1;81] 2 3 3 log [9 ] [ 5]log 3 10 x m x m . A. 3 B. 5 C. 4 D. 2 Câu 21. Tồn tại bao nhiêu bộ số nguyên [x;y] thỏa mãn 1 20;1 20 x y và 3 2 2 2 1 [ 2 4 8]log [2 3 6].log 2 3 y x x y x y x y x y y x . A. 2017 B. 4034 C. 2 D. 2017.2020 Câu 22. Có bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn đồng thời: 3 3 0 2020; 3 3 6 9 log x y x y y . A. 2020 B. 9 C. 7 D. 8 Câu 23. Bất phương trình 2 2 3 1 3 7 log 11 log 3 10 4 .log [ 3 12] 0 a a x a x x ax có nghiệm duy nhất. Giá trị tham số a thu được thuộc khoảng A. [0;1] B. [1;2] C. [– 1;0] D. [2; ] _________________________________ 10 VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT LỚP 12 THPT [LỚP BÀI TOÁN PT, BPT, HPT – PHẦN 15] __________________________________________________ Câu 1. Cho hàm số 2 [ ] 4ln[ 1 ] 9[ ] x x f x x x e e . Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: [ ] [2 ] 0 x f m e f x . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 2. Cho hàm số 2 [ ] ln[ 1 ] [ ] x x f x x x e e . Hỏi phương trình [3 ] [2 1] 0 x f f x có bao nhiêu nghiệm thực ? A. 3 B. 0 C. 2 D. 1 Câu 3. Cho hàm số 2 [ ] ln 1 f x x x . Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên m thỏa mãn bất phương trình [log ] [ log 2019] 0 m f m f ? A. 63 B. 64 C. 65 D. 66 Câu 4. Cho hàm số 2 [ ] ln 1 f x x x . Tính giá trị biểu thức 2 2 a b khi a và b là hai số thực dương a, b thỏa mãn 1 [ ] [ 2] 0; 4 2[ ] f a f b a b a b a b . A. 1 B. 4 C. 2 D. 3 Câu 5. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn đẳng thức ln[ ] 2 [ ] a e b ab a e b a e . Giá trị biểu thức ln[2 3 ] a b nằm trong khoảng nào sau đây ? A. [2;3] B. [1;2] C. [0;1] D. [3;4] Câu 6. Cho hàm số 2 [ ] 1[ ] x x f x e x e e . Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình 12 [ 7] 0 1 f m f m . A. 4 B. 6 C. 3 D. 5 Câu 7. Cho hàm số 2 4 [ ] ln[ 1 ] 1993[ ] 9 x x f x x x e e . Tìm tập nghiệm của bất phương trình [ 1] [ln ] 0 f a f a . A. [0;1] B. [0;1] C. 0; D. 0; Câu 6. Cho hàm số [ ] 2 2 x x f x . Ký hiệu 0 m là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn bất phương trình 12 [ ] [2 2 ] 0 f m f m , khi đó 0 m nằm trong khoảng nào sau đây A. [1513;2019] B. [1009;1513] C. [505;1009] D. [1;505] Câu 7. Cho hàm số [ ] 1993 1993 x x f x . Gọi 0 m là giá trị lớn nhất của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: [4 9] [ .1993 ] 0 x f x f m . Giá trị 0 m gần nhất số nào sau đây A. 5140343 B. 9681010 C. 1975542 D. 1945722 Câu 8. Cho hàm số [ ] 1993 1993 x x f x . Biết rằng tồn tại duy nhất bộ số [x;y] thỏa mãn bất phương trình [ ] [ ln 1] 0 x y x f e y x f e x . Giá trị biểu thức 2 5 P x y nằm trong khoảng nào ? A. [1;2] B. [2;3] C. [3;4] D. [5;6] Câu 9. Cho hàm số 2 3 [ ] 2 log[ 1 ] x f x e m x m x . Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x: [ ] [ ] 0 f x f x . A. 21 B. 4 C. Vô số D. 22 11 Câu 10. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 3 1 ln[ ] ab ae a ab . Giá trị của biểu thức 2 P a b bằng A. 3 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 11. Cho hàm số 2 [ ] 1 f x x x và bất phương trình 3 3 2019 [ ] [ ] 0 [ 2019 ] x x x m f x m f x x . Ký hiệu M là giá trị nguyên nhỏ nhất của m để bất phương trình nghiệm đúng với 4;16 x , M có số ước nguyên dương là A. 16 B. 14 C. 20 D. 24 Câu 12. Cho hàm số 2 [ ] 1 f x x x . Có bao nhiêu giá trị nguyên m nhỏ hơn 10 để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x: [ ]. [ ] x x e f e f m x x m . A. 10 B. 11 C. 12 D. 9 Câu 13. Cho hàm 4 2 9 [ ] 4 9log[ 1 ] 1993 x f x e m x m x . Bất phương trình [ ] [ ] 0 f x f x nghiệm đúng với mọi giá trị x thì số nguyên m lớn nhất thu được có căn bậc 10 gần nhất với số nào A. 20 B. 12 C. 13 D. 18 Câu 14. Cho hai số thực x, y thỏa mãn 2 [ ln 2 2 ][1 ] 2 x x y y . Giá trị của tổng x y bằng A. 1 B. 2 C. – 1 D. 4 Câu 15. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện 4 2 2 1993 ln[1993 ] 4 [4 9 ] 12 ae a a b a b . Khi đó giá trị biểu thức 12 10 ab gần nhất số nào sau đây A. 45 B. 56 C. 17 D. 29 Câu 16. Cho hàm số 2 3 [ ] log 1 m x f x x . S là tập hợp tất cả các giá trị m để [ ] [ ] 3 f a f b với mọi số thực a, b thỏa mãn điều kiện [ ] a b e e a b . Tính tích các phần tử của S. A. 27 B. – 27 C. 3 3 D. – 3 3 Câu 17. Cho các số thực x, y dương thỏa mãn 2 ln[ ] x e y x e e y x y x y e . Giá trị biểu thức 3 2 x y nằm trong khoảng nào sau đây A. [16;17] B. [15;16] C. [17;18] D. [19;20] Câu 18. Cho các số thực dương a, b thỏa mãn điều kiện [ ln 1][1 ] 2 e a a a b a b . Giá trị biểu thức 2 3 a b nằm trong khoảng nào sau đây A. [8;9] B. [6;7] C. [7;8] D. [9;10] Câu 19. Cho hệ [ ], 1993 1994 x y x e e x y m y với m là tham số lớn hơn 1. Khi hệ có nghiệm duy nhất thì giá trị log m thu được gần nhất với A. 866 B. 968 C. 722 D. 542 Câu 20. Cho hàm số 2 [ ] 1993 1993 ln[ 4 1 2 ] x x f x x x . Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để bất phương sau nghiệm đúng với 3 2 2 [0;1] : 2 3 [2 5] 0 x f x x x m f x x . A. 7 B. 3 C. 9 D. 8 Câu 21. Cho hàm số 3 3 [ ] 1993 4 1993 4 [9 9 ] 2019 x x f x x x x . Tồn tại bao nhiêu số nguyên âm m để bất phương trình [3sin 4cos ] [ ] 0 f x x f m có nghiệm ? A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 _________________________________ 12 VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT LỚP 12 THPT [LỚP BÀI TOÁN PT, BPT, HPT – PHẦN 16] __________________________________________________ Câu 1. Tìm tổng tất cả các nghiệm của phương trình 2 2 2 1 log [ 3] log [ 1] 4 2 3 2 x x x x x . A. 1 B. 2 C. – 1 D. 1 2 Câu 2. Tìm số giá trị nguyên của tham số m thuộc [– 10;10] để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 2 2 2 1 [ 10 1] [ 10 1] 2.3 x x x . A. 14 B. 13 C. 15 D. 16 Câu 3. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 100;100] để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2 2 2 log 3log 2 9 [ 1]3 0 x x x x m m . A. 103 B. 102 C. 101 D. 100 Câu 4. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 2 2 2 2 1 log 2 1 2 2 x m x x m x x x . A. 4 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 5. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 20;20] để phương trình sau có nghiệm thuộc [0;2] ? 2 2 2 2 2 2 .9 [2 1].6 .4 0 x x x x x x m m m . A. 15 B. 13 C. 12 D. 11 Câu 6. Cho các số thực x, y lớn hơn 1 thỏa mãn 3 3 3 3 3 log .log [6 ] 2log .log [2 ]. 3 log [2 ] 4,5 x y x y x y . Giá trị của biểu thức 2 x y gần nhất với số nào sau đây A. 7 B. 8 C. 10 D. 9 Câu 7. Có bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn 1 2 2 2021; 2 log [ 2 ] 2 y y x x x y ? A. 2020 B. 9 C. 2019 D. 10 Câu 8. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 10;10] để phương trình 2 2 1 16 2.4 10 x x m có đúng hai nghiệm thực phân biệt ? A. 7 B. 9 C. 8 D. 1 Câu 9. Tìm số nghiệm thực của phương trình 2 3 5 2018 2016 2017 2018 x x ? A. 3 B. 1 C. 4 D. 2 Câu 10. Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn 3 7 11 log 7 log 11 log 25 11 x y z . Tính 2 2 2 3 7 11 log 7 log 11 log 25 x y z . A. 469 B. 2020 C. 2019 D. 76 11 Câu 11. Phương trình 2 2 2 2 2 1 2 4 2 9.9 [2 1].15 [4 2].5 0 x x x x x x m m có đúng hai nghiệm thực phân biệt khi và chỉ khi m thuộc khoảng [a;b]. Tính 2a + b. A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 Câu 12. Khoảng ; k là tập hợp tất cả các giá trị m để bất phương trình 2 2 2 log [2 ] 2[ 1]log 2 0 x m x có nghiệm 2 x . Tính giá trị biểu thức 2 16 4 k k . A. 1993 B. 12 C. 60 D. 10 Câu 13. Cho hàm số 5 3 2 2 16 3 4 14 2 2020 5 3 2 x x x x x x e e e f x m e m e e Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số trên đồng biến trên . Tổng tất cả các phần tử 13 thuộc S bằng A. 7 8 . B. 1 2 . C. 2 . D. 3 8 . Câu 14. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 2 sin 1 cos 2 2 x x m có nghiệm ? A. 3 B. 2 C. 1 D. 4 Câu 15. Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 9 12 16 log log log [ ] x y x y và 2 x b a y với a, b nguyên dương. Tính giá trị biểu thức ab. A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 Câu 16. Tồn tại bao nhiêu bộ số [ ; ; ] x y z thỏa mãn * 9 6 4 9 4 1; 1; ; log log log y x x y z x y z . A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 Câu 17. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 4 10 25 log [2 3 ] log log a b a b . Tính 3 2 3 3 2 3 a ab b a ab b . A. 25 29 B. 5 6 C. 25 27 D. 25 28 Câu 18. Cho các số thực a, b, c lớn hơn 1 thỏa mãn 2 2 log log .log 9log 4log b b a a a c b c c b b . Tính giá trị biểu thức 2 log log a b b c . A. 1 B. 0,5 C. 2 D. 3 Câu 19. Cho ba số thực dương x, y, z thỏa mãn 5 12 84 85 log log log log [ ] x y z x y z . Khi đó giá trị biểu thức log 2020 x y z nằm trong khoảng nào sau đây A. 1 3 ; 2 2 B. [– 1;0] C. 3 ;2 2 D. 1 0; 2 Câu 20. Tập hợp các giá trị m để phương trình 3 2 2 2 3 1993 1993 3 0 x x x m x x x x m có ba nghiệm phân biệt có dạng [a;b]. Tính giá trị tổng 2 a b . A. 0 B. 2 C. – 2 D. 1 Câu 21. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m trên khoảng – 50;50] để bất phương trình 3 2 3 2 x x x x m nghiệm đúng với mọi giá trị x dương. A. 98 B. 50 C. 49 D. 51 Câu 22. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn đồng thời 2 3 3 0 2020; 8 3 .4 [3 1].2 [ 1] [ 1] x x x x x x y x y x . A. 2021 B. 6 C. 2020 D. 11 Câu 23. Tồn tại b bao nhiêu số nguyên m để hệ phương trình sau có nghiệm 5 7 3 5 2 2 2 3 3 2[ 1] 0, ln [4 3 3] [ 2]ln 1 0. x y x y x y x y m x m A. 2019 B. 6 C. 2020 D. 4 Câu 24. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình [ 2 1] [ 2 1] 8 x x m có hai nghiệm dương phân biệt ? A. 8 B. 7 C. 10 D. 9 _________________________________ 14 VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT LỚP 12 THPT [LỚP BÀI TOÁN PT, BPT, HPT – PHẦN 17] __________________________________________________ Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên dương m để bất phương trình 2 2 2 sin cos cos 2019 2018 .2019 x x x m có nghiệm ? A. 1 B. 2020 C. 2019 D. 2018 Câu 2. Tính tổng các giá trị m thu được khi tồn tại duy nhất một cặp số [x;y] thỏa mãn 2 2 2 2 log [ 2] 2 log [ 1] 3 4 . x y x y x y m A. 20 B. 14 C. 46 D. 28 Câu 3. Cho hàm số 2 [ ] ln[ ] f x x x . Tính giá trị biểu thức [1] [2] [2019] ... f f f e e e . A. 2020 2019 B. – 2019 2020 C. 2019 2020 D. 2019 e Câu 4. Tìm tất cả các giá trị m để tập nghiệm của bất phương trình sau chứa đúng hai số nguyên 2 2 2 log [ 3 ] 2log [ 1] x x m x . A. [3;4] B. [4;5] C. [2;3] D. ;2 Câu 5. Tìm điều kiện tham số m để phương trình 2 4 3 4 2 1 1 5 x x m m có bốn nghiệm phân biệt. A. [0;1] B. – 1;1] C. ;1 D. [ 1;0] [0;1] Câu 6. Tính tổng các giá trị m để phương trình 2 2 2 1 2 3 3 log 2 2 x x x m x x x m có ba nghiệm phân biệt. A. 3 B. 2 C. – 3 D. 2 Câu 7. Tập hợp tất cả các giá trị tham số m để phương trình 2 1 2 3 8 .2 [2 1].2 0 x x x m m m m có ba nghiệm thực phân biệt là khoảng [a;b]. Tính ab. A. 3 2 B. 2 2 C. 2 3 3 D. 4 3 Câu 8. Cho hàm số 2 [ ] log 4 2 [ ] 6 x x f x a x a b e e thỏa mãn [log[log ]] 4 f e . Giá trị của biểu thức [log[ln10]] f bằng A. 2 B. 8 C. 3 D. 4 Câu 9. Cho các số thực a, b, c thỏa mãn 2 2 2 2 6 12 [ 2] [ 2] [ 2] 18 a b c a b c . Giá trị a + b + c bằng A. 0 B. 3 C. 4 D. 2 Câu 10. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] trong đó 0 2020 x và 2 2 6 8 log 2 2 1 1 y x y x x ? A. 1 B. 2 C. 2018 D. 2020 Câu 11. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x thực 2 2 3 3 2 log [ 1] log [ 2 ] x m x x m . A. 7 B. 5 C. 6 D. 8 Câu 12. Tính tổng các nghiệm của phương trình 2 3 log [cos ] 2log [cot ] x x trên đoạn [5;25]. A. 13 B. 7 C. 40 3 D. 70 3 Câu 13. Tìm số giá trị nguyên m thuộc [– 20;20] để phương trình sau có nghiệm 2 2 2 2 log [ 4] [2 9] 1 [1 2 ] 4 x m x x m x m x . 15 A. 12 B. 23 C. 25 D. 10 Câu 14. Cho hàm số 2 [ ] ln[ 1 ] f x x x . Tập nghiệm của bất phương trình [ 1] [ln ] 0 f a f a là A. [0;1] B. [0;1] C. 1; D. [0; ] Câu 15. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để hệ phương trình 2 2 2 2 2 , 2 1 [ 2].2 . 1 x y y x y x y m y có nghiệm duy nhất A. 0 B. 1 C. 3 D. 2 Câu 16. Phương trình 2 2 3 1 3 log 3 2 2 5 2 x x x x có hai nghiệm phân biệt 1 2 1 2 , x x x x thỏa mãn điều kiện 1 2 2 2 a b x x với a, b nguyên dương. Tính a – 2b. A. 5 B. – 1 C. 1 D. 9 Câu 17. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc – 2;7] để phương trình 2 2 3 .2 7 x m x có hai nghiệm phân biệt ? A. 5 B. 8 C. 7 D. 6 Câu 18. Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình 1 2 2 2 2 1 log 2 5 2 x x x x . A. 0 B. 2 C. 1 D. 0,5 Câu 19. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m [– 2019;2019] để phương trình 2 1 2 1 2019 0 1 2 x x m x m x x có ba nghiệm thực phân biệt ? A. 4038 B. 2019 C. 2017 D. 4039 Câu 20. Tìm điều kiện tham số m sao cho 6 [2 ].3 0, [0;1] x x m m x . A. m < 1,5 B. 0 1,5 m C. 1,5 m D. 3 m Câu 21. Tìm tập hợp tất cả các giá trị m để hàm số ln[3 1] 2 m y x x đồng biến trên 1 ; 2 . A. 2 ; 9 B. 7 ; 3 C. 4 ; 3 D. 1 ; 3 Câu 22. Phương trình 2 1 2 .3 6 x m x có hai nghiệm mà tổng của chúng bằng 2 log 81. Giá trị tham số m thu được nằm trong khoảng nào A. [– 7;– 2] B. [– 2;5] C. [6;7] D. [5;6] Câu 23. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m lớn hơn – 20 để phương trình sau có nghiệm lớn hơn 1 2 2 2 log [ ] [2 1]log [ ] 2 0 x x m x x m . A. 23 B. 22 C. 20 D. 18 Câu 24. Tồn tại bao nhiêu số tự nhiên x thỏa mãn ln ln[ 1] ln[ 2] ... ln[ 2019] ln[2020!] x x x x ? A. 1 B. 2019 C. 0 D. 2020 Câu 25. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình 2 log[ 1] x m x có nghiệm duy nhất ? A. 1 B. 0 C. 2 D. Vô số Câu 26. Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên dương [a;b] thỏa mãn đẳng thức 3 2 2 3 log [ ] [ ] 3[ ] 3 [ 1] 1 a b a b a b ab a b . A. 2 B. 3 C. 1 D. Vô số _________________________________ 16 VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT LỚP 12 THPT [LỚP BÀI TOÁN PT, BPT, HPT – PHẦN 18] __________________________________________________ Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên m [– 5;5] để hàm số 3 2 3 3 ln 2 y x x m x nghịch biến trên [0; ] ? A. 3 B. 2 C. 4 D. 5 Câu 2. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi 4 3 3 0;log 2 x ? .16 [2 1].12 .9 0 x x x m m m . A. 6 B. 2 C. 5 D. 0 Câu 3. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn đồng thời 2 2 0 2020 2.625 10.125 3 4 1 x y x y x A. 2020 B. 674 C. 2021 D. 1347 Câu 4. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn 1 2 1 2020 2 2 log [ 2 ] y y x y x x A. 2021 B. 10 C. 11 D. 2020 Câu 5. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên [a;b] thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 2 16[ 8] log 4 [ 2] a b b a b A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 6. Tập hợp [a;b] bao gồm tất cả các giá trị m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt 3 2 3 3 2 2 1 2 2[ 6 9 ] x m x x x x x m . Tính giá trị biểu thức 2 2 a ab b . A. 112 B. 124 C. 64 D. 156 Câu 7. Cho hàm số [ ] 1993 1993 x x f x . Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m thỏa mãn bất phương trình [4 ] [9 1993] 0 f m f m ? A. 153 B. 69 C. 96 D. 72 Câu 8. Tính tổng các giá trị m thu được khi tồn tại duy nhất một cặp số [x;y] thỏa mãn 2 2 2 2 log [ 2] 2 log [ 1] 3 4 . x y x y x y m A. 20 B. 14 C. 46 D. 28 Câu 9. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên dương [x;y] thỏa mãn đồng thời 2 6 2 2 2 1 10 log[10 20 20] 10 2 1 y x x x y x x A. 3 B. 4 C. 2 D. 1 Câu 10. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 100;100] để phương trình 2019 1 x m x có hai nghiệm phân biệt ? A. 94 B. 92 C. 184 D. 93 Câu 11. Đường thẳng x k cắt đồ thị hàm số 5 log y x và đồ thị hàm số 5 log 4 y x . Khoảng cách giữa các giao điểm là 1 2 . Biết k a b , trong đó , a b là các số nguyên. Khi đó tổng a b bằng A. 7 . B. 6 . C. 8 . D. 5. 17 Câu 12. Tập hợp [a;b] gồm tất cả các giá trị m để phương trình [ 5].3 [2 2].2 . 3 [1 ].4 0 x x x x m m m có hai nghiệm phân biệt. Tính a + b. A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 Câu 13. Có bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 10;10] để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt mà tích hai nghiệm > 2 2 2 2 log log 2 3 2[ 3]3 3 0 x x m m . A. 9 B. 16 C. 10 D. 11 Câu 14. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm thuộc [1;2] ? 4 8 2 2 2log 2log 2 2018 0 x x m . A. 7 B. 9 C. 8 D. 6 Câu 15. Tính tổng các giá trị m để phương trình 2 2 2 1 2 4 6 log 2[ ] 2 1 x x x x x m x m có đúng ba nghiệm phân biệt. A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 Câu 16. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 10;10] để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 2 3 9 log [ 1] log 9[ 1] m x x x . A. 1 B. 0 C. 11 D. 10 Câu 17. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để tập nghiệm bất phương trình 2 [3 3][3 2 ] 0 x x m chứa không quá 9 số nguyên ? A. 3281 B. 3283 C. 3280 D. 3279 Câu 18. Tìm số nghiệm thực của phương trình 2 1 2 2 2 2 .log [ 1 ] 4 log [3 ] x x x x x . A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 Câu 19. Tìm tập hợp tất cả các giá trị m để bất phương trình 12 [2 ].6 3 0 x x x m đúng 0 x . A. m < 4 B. m > 4 C. 4 m D. 0 < 4 m Câu 20. Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình sin sin 7 4 3 7 4 3 4 x x trên 2 ;2 . A. 3 2 B. 0 C. 2 D. Câu 21. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 10;10] để phương trình sau có nghiệm nhỏ hơn – 1 2 2 2 log 1 log [ ] x m x m . A. 10 B. 9 C. 1 D. 20 Câu 22. Phương trình 1 4 [8 5].2 2 1 0 x x m m có hai nghiệm phân biệt với tích của chúng bằng – 1. Khi đó m thuộc khoảng nào sau đây A. [– 5;– 3] B. [– 3;0] C. [0;1] D. [1;3] Câu 23. Tính tổng tất cả các giá trị nguyên m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi giá trị x 2 2 ln[7 7] ln[ 4 ] x m x x m . A. 0 B. 35 C. 12 D. 14 Câu 24. Tìm điều kiện tham số m để tổng các nghiệm của phương trình sau đạt giá trị nhỏ nhất 2 2 1 2 [1 ] 2 2 1 2 [ 1] 2 .2 [ 1]2 m x x m x m x m m x x m x x m x . A. 0 B. 2 C. – 0,5 D. 0,5 18 VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT LỚP 12 THPT [LỚP BÀI TOÁN PT, BPT, HPT – PHẦN 19] __________________________________________________ Câu 1. Cho hàm số 2 2 1 [ ] log 2 1 x x f x . Tính [ [1]] [ [2]] ... [ [40]] f f f f f f . A. 410 B. 820 C. 40 D. 1640 Câu 2. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình sau có nghiệm thực: 2 2 2 log [ 3 2 ] log [ ] x x m x m . A. 10 B. 9 C. Vô số D. 8 Câu 3. Tập hợp [a;b] bao gồm tất cả các giá trị m để phương trình 2 ln[3 1] ln[ 4 3] x m x x x có nghiệm. Giá trị biểu thức a + b là A. 4 B. 7 C. 22 3 D. 10 3 Câu 4. 4 số nguyên dương , , , a b c d với 1, 1 a c thỏa mãn 3 5 log ;log 2 4 a c b d và 9 a c . Tính b – d. A. 93 B. 21 C. 9 D. 13 Câu 5. Phương trình 2 2 4 3 x y x y có bao nhiêu nghiệm [x;y] với x là số nguyên ? A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Câu 6. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc [0;4] 2 2 1 1 2 2 log [ 2] 1 log [ 2 ] x x x m . A. Vô số B. 4 C. 5 D. 3 Câu 7. Tính tổng các giá trị m để phương trình 2 2 2 4 5 2 4 5 2 log [ 1] x x m x x m . A. 1 B. 0 C. – 2 D. 7 Câu 8. Có bao nhiêu số nguyên dương m để hàm 3 2 9 [ 2002] 12ln y x x m x x nghịch biến trên [0;3] ? A. 2019 B. 2022 C. 2020 D. 2021 Câu 9. Phương trình 2 2 4 9 4 9 4 9 x y x y có bao nhiêu nghiệm với [x;y] với y là số nguyên ? A. 2 B. 1 C. 3 D. 4 Câu 10. Cho hai hàm số 2 5 1 [ ] ; [ ] 5 ln[ 1] 1 x m x m f x g x x x . Có bao nhiêu số nguyên m để đồ thị hai hàm số cắt nhau tại đúng ba điểm phân biệt ? A. 11 B. 8 C. 10 D. 9 Câu 11. Tồn tại bao nhiêu số nguyên a thuộc [– 2019;2019] để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 1 1 ln[ 5] 3 1 x x a x . A. 2015 B. 2014 C. 2022 D. 0 Câu 12. Biết rằng tồn tại duy nhất cặp số thực [x;y] thỏa mãn 1 2 2 2 [ ] log [2 1] 0 x y x y e y y . Giá trị biểu thức 5x – 3y khi đó bằng A. 0 B. – 1 C. 1 D. 2 Câu 13. Biết các số thực x, y thỏa mãn 2 4 4 3 [3 3 ] 81[3 3 ] y x y x y . Giá trị biểu thức x + 6y bằng A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 14. Bất phương trình 1 4 2 2 .log .2 log 0 x x x m x m . Số giá trị nguyên dương m để bất phương trình đã cho nghiệm đúng với mọi 4; x là 19 A. 3 B. 1 C. 2 D. Vô số Câu 15. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] với – 5 < y < 5 thỏa mãn phương trình 2 4 4 2 1 2 3 1 3 log [4 4 3] 2020 .log 2 2 0 x x y x x y A. 1 B. 5 C. 8 D. 0 Câu 16. Có bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn 3 2019;2020 y và 4 2 1 1 log log [ ] 2 4 x x y x . A. 84567 B. 93781 C. 90787 D. 60608 Câu 17. Cho các số không âm a, b thỏa mãn 2 2 4 2 1; 2 2 1 log 34 2 a b b a a b a b . Có bao nhiêu số tự nhiên không vượt quá tổng a + b ? A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 Câu 18. Có bao nhiêu số nguyên dương x sao cho tồn tại số thực y thỏa mãn 2 3 log [ 2 ] log [3 2 ] y y y x ? A. 2 B. Vô số C. 0 D. 1 Câu 19. Tìm điều kiện tham số m để phương trình sau có nghiệm duy nhất 3 2 3 3 2 2 1 2 [ 6 9 ].2 2 1 x m x x x x x x m . A. 4 m B. 4 8 m C. 8 m D. 4 8 m m Câu 20. Phương trình [4 15] [2 1][4 15] 6 0 x x m có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 2 x x , khi đó giá trị tham số m thu được thuộc khoảng nào A. [3;5] B. [– 1;1] C. [1;3] D. [ ; 1] Câu 21. Phương trình 2 2 log [ 1] 4log [ 1] 4 8 0 a a x x m với 0 1 a có hai nghiệm 1 2 , x x thỏa mãn điều kiện 1 2 1 2 15 x x x x . Mệnh đề nào dưới đây đúng ? A. 3 0; 2 a B. 3 ;2 2 a C. 5 2; 2 a D. 5 ;4 2 a Câu 22. Tồn tại bao nhiêu cặp số nguyên [x;y] thỏa mãn 2 [ ] 3 4.2 2 2 6 2[ 1][ 1] x x y x y x x y ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 Câu 23. Cho hàm số [ ] 2 2 x x f x . Gọi 0 m là số lớn nhất trong các số nguyên m thỏa mãn điều kiện 12 [ ] [2 2 ] 0 f m f m . Khi đó 0 m thuộc khoảng nào sau đây ? A. [1513;2019] B. [1009;1513] C. [505;1009] D. [1;505] Câu 24. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình 2 2 4 9.3 [4 2 1 3 3].3 1 0 x x m x x m có đúng ba nghiệm thực phân biệt ? A. Vô số B. 3 C. 1 D. 2 Câu 25. Giả sử m là số thực thỏa mãn giá trị nhỏ nhất của hàm số [ ] 31 3 x x f x m x trên là 2. Khi đó m thuộc khoảng nào A. [– 10;– 5] B. [– 5;0] C. [0;5] D. [5;10] Câu 26. S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình 5 10 25 4 x x m có nghiệm duy nhất. Số tập hợp con của S là A. 3 B. 4 C. 16 D. 15 _________________________________ 20 VẬN DỤNG CAO, PHÂN LOẠI HÀM SỐ MŨ, HÀM SỐ LOGARIT LỚP 12 THPT [LỚP BÀI TOÁN PT, BPT, HPT – PHẦN 20] __________________________________________________ Câu 1. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên m thuộc đoạn [0;18] để phương trình sau có đúng một nghiệm dương 4 [ 2].log [ ] 1 x x m x . A. 16 B. 19 C. 17 D. 18 Câu 2. Tính tổng tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình 2 2 2 2 log [ 3] log 4 1 0 x x x x . A. 4 B. 6 C. 5 D. 3 Câu 3. Cho hàm số 1 [ ] ln 2 2 x x f x x . Tính tổng bình phương các giá trị m để phương trình sau có đúng ba nghiệm thực phân biệt: 2 1 [ 4 7] 0 4 3 f f x x x m . A. 10 B. 14 C. 13 D. 5 Câu 4. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc [– 2019;2019] để phương trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt 2020 2020 9 .[ln 2020 ] . ln 2020 x x x x e m x e x x . A. 2016 B. 2015 C. 2020 D. 2019 Câu 5. Cho hàm số 5 5 3 [ ] [ 2] [ 3] f x x x x . Tính tổng tất cả các giá trị nguyên m để phương trình [ ] [ 5] x f m e f x có hai điểm phân biệt. A. 1540 B. 1485 C. 28 D. 136 Câu 6. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để bất phương trình 3 3 2 [ 4 ] .ln[ 1] x m m x m x nghiệm đúng với mọi số thực x ? A. 2 B. 1 C. 3 D. Vô số Câu 7. Có bao nhiêu số nguyên x để tồn tại duy nhất cặp [x;y] thỏa mãn 2 3 3 log [2 2 ] log x x y x y ? A. 4 B. 3 C. 5 D. 2 Câu 8. Tồn tại bao nhiêu cặp số thực [x;y] thỏa mãn hệ 5 3 2 3 [ 5 4 ] log 5 2 3 5 [ 4] 4 1 [ 3] 8 x x x y y y y A. 1 B. 2 C. 5 D. Vô số Câu 9. Cho hàm số 7 [ ] 3 3 m f x x x . Tồn tại bao nhiêu số nguyên m để phương trình [ [ ]] f f x x có nghiệm thuộc [1;3]. A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 Câu 10. Cho hàm số 2 [ ] x f x e x x . Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình sau có nghiệm thuộc khoảng 0;ln10 : 2 [ ] f f x m x m . A. 7 B. 8 C. 6 D. 5 Câu 11. Tồn tại bao nhiêu số tự nhiên n có bốn chữ số thỏa mãn 2020 2020 2020 [2 3 ] [2 3 ] n n n ? A. 8999 B. 2019 C. 1010 D. 7979 Câu 12. Có bao nhiêu số nguyên âm m để phương trình 3 3 2log [9 ] 7 x x m x m có hai nghiệm phân biệt. A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 Câu 13. Cho hai số dương a, b khác 1 thỏa mãn 2 16 log ;log 4 a b b a b . Tính a + b. A. 16 B. 12 C. 10 D. 18 21 Câu 14. Cho hàm số 2 [ ] x f x e x m m . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sau có nghiệm thuộc 0;ln10 : 2 2 [ [ ] ] f f x m x m . A. 2 B. Vô số C. 0 D. 4 Câu 15. Tồn tại bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 2 2 4 4 9 4.3 2 1 0 x x x x m có nghiệm ? A. 27 B. 25 C. 23 D. 24 Câu 16. Tập hợp tất cả các giá trị x không thỏa mãn bất phương trình 2 4 2 2 9 [ 4].2019 1 x x x là khoảng [a;b]. Tính giá trị biểu thức b – a. A. 5 B. – 1 C. – 5 D. 4 Câu 17. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình 2 5 3log [8 ] 2 x x x m m có hai nghiệm phân biệt. A. 17 B. 15 C. 16 D. 18 Câu 18. Cho hàm số 2 1 [ ] ln 1 f x x , biết rằng [2] [3] ... [2018] ln ln ln ln f f f a b c d với a, b, c, d là các số nguyên dương, trong đó a, c, d là các số nguyên tố tăng dần. Tính P a b c d . A. 1986 B. 1698 C. 1689 D. 1968 Câu 19. Có bao nhiêu giá trị nguyên m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 2 2 1 2 1 x x 2 2 2 2 8 1 2 3log [2 2 3 ] log [2 ] 0 x x m m x m x m m . A. 1 B. 2 C. 5 D. 11 Câu 20. T = [c;d] là tập hợp tất cả các giá trị a để phương trình sau có nghiệm 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2[1 ] 2 log [ 3 3] log [3 6 2 3] 4 a x a x x x x x a . Giá trị biểu thức 3 3 5 [ ] d c thuộc khoảng nào A. [650;750] B. [1000;1500] C. [550;650] D. [200;450] Câu 21. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m thuộc – 10;10] để hai đồ thị hàm số sau cắt nhau, trong đó có đúng hai giao điểm có hoành độ dương: [ 1] 2 2 x m m y x và ln[ 1] 1 1 1 2 2 1 3 x x x y x . A. 19 B. 8 C. 10 D. 12 Câu 22. Tồn tại bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình [3.2 .log 12log 2 4] 5 0 x x x x x m có đúng hai nghiệm thực phân biệt ? A. 23 B. 22 C. 25 D. 24 Câu 23. Tồn tại bao nhiêu số nguyên y để tồn tại số thực x thỏa mãn 2 2 3 2 log [ 2 ] log [ ] x y x y ? A. 2 B. 1 C. Vô số D. 3 Câu 24. Cho 7 12 54 1 log 12 ; log 24 ; log 168 a x y x y bx y c x với a, b, c là các số nguyên. Tính 2 3 a b c . A. 4 B. 10 C. 19 D. 15 Câu 25. Tập hợp S = [a;b] bao gồmcác giá trị tham số m để bất phương trình sau đúng với mọi giá trị 0;2 x : 2 2 2 4 log 2 4 log [ 2 ] 5 x x m x x m . Tính giá trị biểu thức a + b. A. 4 B. 2 C. 0 D. 6 Câu 26. Tồn tại bao nhiêu số nguyên m < 10 để hàm số 2 ln[ 1] y x m x đồng biến trên [0; ] ? A. 10 B. 11 C. 8 D. 9 _________________________________
chuyên đề phương pháp giải phương trình bất phương trình vô tỉ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [1.15 MB, 12 trang ]
SỞ GD VÀ ĐT HẢI DƯƠNG
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM
TRƯỜNG THPT ĐOÀN THƯỢNG
GV : NGUYỄN TRƯỜNG SƠN
CHUYÊN ĐỀ
PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
- Các phương pháp giải PT vô tỉ 1] Phương pháp lũy thừa.
2] Phương pháp đặt ẩn phụ.
3] Phương pháp biến đổi thành tích.
4] Phương pháp nhân liên hợp
5] Phương pháp đánh giá.
6] Phương pháp hàm số.
- Các phương pháp giải BPT vô tỉ 1] Phương pháp lũy thừa.
2] Phương pháp đặt ẩn phụ
3] Phương pháp nhân liên hợp
4] Phương pháp đánh giá.
Tài liệu được biên soạn bởi : Nguyễn Trường Sơn
Số điện thoại : 0988.503.138
Gmail :
BÀI 1 : MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
I. Phương pháp lũy thừa.
- Nêu các dạng phương trình cơ bản.
Bài 1 Giải các phương trình
a]
2
3 2 1x x x− + = +
b]
2
3 9 1 2x x x− + = −
c]
2
2 3 4x x x− = −
d]
2 2
[ 3] 4 9x x x− − = −
e]
3 7 2 8x x x+ − − = −
f]
2 3 5 2x x x+ − − = −
g]
2 2
[ 3] 3 2 8 15x x x x x− − + = − +
h]
2 2
[ 4] 10 2 8x x x x+ − = + −
i]
2
3 2 1
3 2
x
x x
x
− − = −
−
j]
2
4 3 1
4 3
x
x x
x
− − = −
−
Bài 2 Giải phương trình
a]
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + +
b]
2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x+ + + + + = + +
c]
2 2 2
3 2 4 3 5 4x x x x x x− + + − + = − +
Bài 3 Giải phương trình
a]
3 3 3
5 6 2 11x x x+ + + = +
b]
3 3 3
1 1 5x x x+ + − =
c]
3 3 3
2 1 1 3 1x x x− + − = +
7
6
x =
[Phải thử , loại nghiệm]
Bài 4 Giải phương trình
a]
1 4 9 0x x x x− + − + + + =
. Bình phương 2 lần. nghiệm
0x
=
b]
1 16 4 9x x x x+ + + = + + +
Bình phương 2 lần. nghiệm
0x
=
c]
3 3 1 2 2 2x x x x+ + + = + +
II. Phương pháp đặt ẩn phụ.
1] Dạng 1 : Phương trình có chứa
[ ] à [ ]f x v f x
Bài 1 Giải phương trình.
a]
2
[ 1][ 4] 5 5 28x x x x+ + = + +
Nghiệm
4; 9−
b]
2 2
5 10 1 7 2x x x x+ + = − −
c]
2
[4 ][6 ] 2 12x x x x− + = − −
d]
23
[ 5] 2 5 2 2x x x x+ = + − −
Bài 2 Tìm để phương trình có nghiệm
a]
2
2 4 [3 ][1 ] 2x x x x m− + + − + = −
[ 1;11]m∈ −
b]
2
2 5 4 [3 ][1 2 ] 2x x x x m− + + − + = −
41 56 2
[ 1; ]
8
m
+
∈ −
Bài 3 Giải phương trình :
a]
5 1
5 2 4
2
2
x x
x
x
+ = + +
b]
3 1
3 2 7
2
2
x x
x
x
+ = + −
2] Dạng 2 : Phương trình có chứa
àA B v AB+
Bài 4 Giải phương trình
a]
2
2 3 1 3 2 2 5 3 2x x x x x+ + + = + + + −
Nghiệm
25 6 17−
b]
2
7 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x+ + − + + − = −
c]
2
4 4 2 12 2 16x x x x+ + − = − + −
d]
2
3 2 1 4 9 2 3 5 2x x x x x− + − = − + − +
Bài 5 [B – 2011] Giải phương trình :
2
3 2 6 2 4 4 10 3x x x x+ − − + − = −
- Đặt
2 2 2t x x= + − −
. Nghiệm
6
5
x =
Bài 6 Tìm m để phương trình có nghiệm
a]
2
1 8 7 8x x x x m+ + − = − + + +
[ ]
6 2 9
;3
2
m ∈
−
b]
3 6 [3 ][6 ]x x x x m+ + − − + − =
c]
2
3[ 1 2 1 ] 2 1 2x x m x x x+ + − = + + + −
3] Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn.
Bài 7 Giải phương trình
a]
2 2 2
3 2 1 2 2x x x x x+ − + = + +
Đặt
2
2t x= +
nghiệm
3;1t x= −
b]
2 2
[ 1] 2 3 1x x x x+ − + = +
c]
2 2
1 2 . 2x x x x− = −
Nghiệm
1 2x = ±
d]
2 2
3 48 [3 10] 15x x x x− + = − +
e]
2 2
2[ 1]. 2 1 2 1x x x x x− + − = − −
f]
2 2
4 [ 2]. 2 15 39x x x x x+ = + − − +
g]
2 2
[1 4 ] 4 1 8 2 1x x x x− + = + +
h]
3 3
[4 1] 1 2 2 1x x x x− + = + +
i]
3 3
3 2 [ 2] 2 1x x x x x+ + = + + +
4] Phương pháp chia để làm xuất hiện ẩn phụ.
Bài 8 Giải phương trình.
a]
2
[ 2] 4 2x x x x− − + =
bình phương, chia
2
x
Đặt
4
t x
x
= +
0;5t⇒ =
thử lại
4x⇒ =
b]
2 2
3 2 2 2 2x x x x x
+ − + − − =
chia cho
x ⇒
Nghiệm
2x =
c]
2
1 4 1 3x x x x+ + − + =
Chia 2 vế cho
x
và đặt
1 1
4;
4
t x x
x
= + ⇒ =
Bài 9 Giải phương trình
a]
2 3
2[ 2] 5 1x x+ = +
b] [Thi thử ninh giang 2013]
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được
2 2
2 5 2 5 [ 20][ 1]x x x x x− + = − − +
-
2 2
2 2
2[ 4 5] 3[ 4] 5 [ 4][ 4 5]
4 5 4 5 5 61
2 3 5 8;
4 4 2
x x x x x x
x x x x
x
x x
⇔ − − + + = + − −
− − − − +
⇔ + = ⇔ =
+ +
c]
2 2
7 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − = +
- Chuyển vế, bình phương ta được :
2 2
3[ 5 14] 4[ 5] 7 [ 5 14][ 5]x x x x x x− − + + = − − +
- Chia 2 vế cho
[ 5]x + ⇒
Nghiệm
61 11137
3 2 7;
18
+
+
5] Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ đưa về phuơng trình đẳng cấp.
• Chú ý : Nêu cách giải phương trình đẳng cấp bậc hai, ba.
Bài 10
a]
2 3
2[ 2] 5 1x x+ = +
Đặt
2 2 2
1; 1 2 2 5a x b x x PT a b ab= + = − + ⇔ + =
5 37
2
x
±
⇒ =
b]
2 3
2 5 1 7 1x x x+ − = −
Đặt
2 2 2
1; 1 3 2 7u x v x x PT u v uv= − = + + ⇔ + =
4 6x⇒ = ±
- Phương trình đã cho có dạng
2 2
. . .a u b v c uv+ =
trong đó căn thường
uv=
c]
2 2 4 2
3 1 1x x x x+ − = − +
- Cách 1 : Đặt
2 2
; 1a x b x= = −
. PT
2 2
3a b a b⇔ + = −
nghiệm :
1x
= ±
- Cách 2 : Đặt
2
a x=
, thay vào PT ta được
3 2
36 136 200 100 0 1a a a a− + − = ⇔ =
d]
2 2
5 14 9 20 5 1x x x x x+ + − − − = +
[Thi thử NG 2013]
- Chuyển vế, bình phương và rút gọn ta được
2 2
2 5 2 5 [ 20][ 1]x x x x x− + = − − +
2 2
5 61
2[ 4 5] 3[ 4] 5 [ 4][ 4 5] 8;
2
x x x x x x x
+
⇔ − − + + = + − − ⇔ =
e]
2 2
7 25 19 2 35 7 2x x x x x+ + − − − = +
Nghiệm :
61 11137
3 2 7;
18
+
+
- Chuyển vế, bình phương ta được :
2 2
3[ 5 14] 4[ 5] 7 [ 5 14][ 5]x x x x x x− − + + = − − +
Bài 11. Giải phương trình :
2 2
2 2 1 3 4 1x x x x x+ + − = + +
- Điều kiện :
1
2
x ≥
. Bình phương 2 vế ta có :
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2 2 2 2
2 2 1 1 2 2 1 2 2 1x x x x x x x x x x+ − = + ⇔ + − = + − −
- Ta có thể đặt :
2
2
2 1
u x x
v x
= +
= −
khi đó ta có hệ :
2 2
1 5
2
1 5
2
u v
uv u v
u v
−
=
= − ⇔
+
=
- Do
, 0u v ≥
. nên
[ ]
2
1 5 1 5
2 2 1
2 2
u v x x x
+ +
= ⇔ + = −
[ ] [ ]
2
2 2 1 5 5 1 0x x⇔ + − + + =
.
-
[ ] [ ] [ ]
2
'
1 5 2 5 1 4 1 5 0∆ = − − + = −
− + =
. ta có :
[ ] [ ]
2 2
1 0
1
a b
a b a b a b a b
a b
=
− = − ⇔ − + − = ⇔
+ =
.
-
2 2
2 2
2 2
1
1
4 5 1 4 4 4
3
3
4
4 5 1 2 1 1
4 5 1 1 2 1
9
x
x
x x x x
x x x x
x
x x x x
=
=
+ + = − +
⇔ ⇔ ⇔
+ + + − + =
=
+ + = − − +
Bài 13 Giải phương trình :
3 2 3
3 2 [ 2] 6 0x x x x− + + − =
- Đặt
2y x= +
ta được phương trình :
3 2 3 3 3
3 2 6 0 2 3 [ 2] 0x x y x x y x x− + − = ⇔ + − + =
3 2 3
3 2 0 êm 2; 2-2 3
2
x y
x xy y nghi x
x y
=
⇔ − + = ⇔ ⇒ =
= −
- Chú ý có thể sửa lại đề bài thành :
3
[ 2][3 2 2] 0x x x x− + − + =
- Bài tập tương tự :
3 2 3
3 2 [ 1] 3 0x x x x− + + − =
- Bài tập tương tự :
3 2
[3 4 4] 1 0x x x x+ − − + =
6] Dạng 6 : Đặt một hoặc nhiều ẩn phụ để đưa về hệ phương trình
Bài 14 Giải phương trình
3 2 1 6 4 [2 1][ 4] 7 0x x x x+ − + + + + + =
- Đặt
2 2
2 1
2 7 [1]
4
u x
v u
v x
= +
⇔ − =
= +
- Thay vào phương trình có :
3 6 7 0 [2]u v uv− + + =
- Thay [1] vào [2] và rút gọn được
[2 ][ 3] 0 0v u u v x− + − = ⇔ =
Bài 15 [Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình]
a]
3
2 3 2 3 6 5 8 0x x− + − − =
[A – 2009] Nghiệm
2x
= −
b]
3
2 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + =
Nghiệm
2x
= −
c]
2 2
17 17 9x x x x+ − + − =
Nghiệm
1; 4x =
d]
3 3
3 3
. 35 .[ 35 ] 30x x x x− + − =
Nghiệm
2 ; 3x =
e]
2
1 1
2
2
x
x
+ =
−
Nghiệm
1 3
1;
2
x
− ±
=
f]
3
3
1 2. 2 1x x+ = −
Nghiệm
1 5
1;
2
x
− ±
=
g]
3
3
2 3. 3 2x x+ = −
7] Dạng 7 : Đặt ẩn phụ đặc biệt.
Bài 16 [Các dạng đặt ẩn phụ đặc biệt]
a]
2
1 4 5x x x+ = + +
PT vô nghiệm.
b]
2
4 9
7 7
28
x
x x
+
= +
Đặt
4 9 1
28 2
x
y
+
= +
c]
2
2 6 10x x x+ = + +
Đặt
2 3x y+ = +
d]
2
2 1 4 12 5x x x+ = − +
Đặt
2 1 2 3x y+ = −
III. Phương pháp biến đổi thành tích.
Bài 1 Giải phương trình
a]
2
3 2 1 2 4 3x x x x x x+ + + = + + +
- Phương trình
[ 3 2 ][ 1 1] 0 0; 1x x x x⇔ + − + − = ⇔ =
b]
4
3 4
3
x
x x
x
+ + =
+
HD
2
[ 2 2 ] 0 1x x x⇔ + − = ⇔ =
c]
2 2 2
5 97
2 3 9 4 : [1 3] 9 1;
18
x x x HD x x x
− −
+ = − − ⇔ + + = ⇔ =
Bài 2 Giải phương trình
a]
2
10 21 3 3 2 7 6x x x x+ + = + + + −
b]
2
8 15 3 3 2 5 6x x x x+ + = + + + −
c]
2
2 1 [ 1] 0x x x x x x− − − − + − =
d]
2
7 4
4
2
x x
x
x
+ +
=
+
IV. Phương pháp nhân liên hợp.
1] Cơ sở phương pháp : Nhiều phương trình vô tỉ có thể nhẩm được nghiệm
0
x
hữu tỉ, khi đó
phương trình luôn viết được thành
0
[ ] [ ] 0x x P x− =
và
[ ] 0P x =
có thể vô nghiệm hoặc giải được.
2] Cách nhẩm nghiệm : Ta thường thử các giá trị
0
x
để trong căn là bình phương hoặc lập phương.
Bài 1
a] [Khối B 2010] Giải phương trình :
2
3 1 6 3 14 8 0x x x x+ − − + − − =
- PT
3 1
[ 5][ 3 1] 0
3 1 4 6 1
x x
x x
⇔ − + + + =
+ + − +
. Nghiệm duy nhất
5x =
b] Giải phương trình :
3
2 3 2 3 6 5 16 0x x− − − + =
Nghiệm duy nhất
2x = −
- PT
2
3 3
6 15
[ 2][ + ]=0 2
[ 3 2] 2 3 2 4 6 5 4
x x
x x x
⇔ + ⇔ = −
− − − + − +
c] [ĐT năm 2013 lần 1] Giải phương trình :
[ ]
2
3
4 2 10 2 9 37 4x 15 33x x x− − − = − −
- ĐK:
5x ≤
. Pt
[ ] [ ]
2
3
4 4 9 37 8 4 10 2 4 15 81 0x x x x⇔ + − + − − + − − =
0,25
-
[ ]
[ ]
2
3 3
4 27 9
8[6 2 ]
[ 3][4 27] 0
4 10 2
16 4 9 37 9 37
x
x
x x
x
x x
+
+
⇔ + + + − =
+ −
− − + −
0,25
- TH 1.
3 0 3x x
+ = ⇔ = −
[TMPT]
0,25
- TH 2.
3x ≠ −
- pt
[ ]
2
3 3
36 16
4 27 0
4 10 2
16 4 9 37 9 37
x
x
x x
⇔ + + − =
+ −
− − + −
-
[ ]
2
3
36 16
4 27 0
4 10 2
12 9 37 2
x
x
x
⇔ + + − =
+ −
+ − −
- Do
5x ≤
nên
36 16
4.5 27 0
12 4
VT ≤ + + − =
. Đẳng thức xảy ra
5x⇔ =
- Vậy phương trình có 2 nghiệm là
3
−
và 5
0,25
Bài 2 Giải phương trình
a]
2
1 4 1 3x x x+ + = +
Nghiệm
1
0;
2
x =
b]
2
1 9 1 4x x x+ + = +
c]
2 2
12 5 3 5x x x+ + = + +
. Nghiệm duy nhất
2x =
- Nhận xét
2 2
5
12 5 3 5
3
x x x x⇔ + − + = − ⇔ >
để chứng minh biểu thức còn lại vô nghiệm.
d]
2 2
15 3 2 8x x x+ = − + +
e]
2 2 2 2
3 5 1 2 3 3 3 3 4x x x x x x x− + − − = − − − − +
- Nghiệm
2, [ ] 0x P x= =
vô nghiệm.
Bài 3 Giải phương trình :
a]
2 2
2 9 2 1 4x x x x x+ + + − + = +
.
- Ta có
2 2
0 [ 4] 0 2 9 2 1VT x x x x x> ⇒ + > ⇒ + + ≠ − +
- Nhân với biểu thức liên hợp ta được :
-
2 2
2
2 2
2 9 2 1 2
8
2 2 9 6 0;
7
2 9 2 1 4
x x x x
x x x x
x x x x x
+ + − − + =
⇔ + + = + ⇔ =
+ + + − + = +
b]
2 2
2 1 1 3x x x x x+ + + − + =
. Từ phương trình
0x⇒ >
-
2 2
2 2
2 1 1
[ 2 1 2 ] [ 1 ] 0 [ 1][ ]=0 1
2 1 2 1
x
x x x x x x x x
x x x x x x
+
+ + − + − + − = ⇔ − + ⇔ =
+ + + − + +
.
Bài 4. Giải phương trình :
2 33
1 2x x x− + = −
- Điều kiện :
3
2x ≥
.
- Nhận thấy x = 3 là nghiệm của phương trình , nên ta biến đổi phương trình
-
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
2 33
2 3
2 23
3
3 3 9
3
1 2 3 2 5 3 1
2 5
1 2 1 4
x x x
x
x x x x
x
x x
− + +
+
− − + − = − − ⇔ − + =
− +
− + − +
- Ta chứng minh :
[ ]
[
]
2
2
2 2 23 3
3
3 3
1 1 2
1 2 1 4 1 1 3
x x
x x x
+ +
+ = +