Bình phương hai vế của bất phương trình

BÀI TẬP TOÁN 10 TUẦN 3 THÁNG 3 – 2020

MỘT SỐ BẤT PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT,BẬC HAI

1. Bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối.

a) Nguyên tắc : Phá A bằng công thức định nghĩa khi 0

khi 0

A A

A

A A



 _{ }



b) Một số dạng cơ bản :







2 2

1 A  B  A B  A B A B  0

( Các bất phương trình A  B A,  B A,  B giải tương tự bằng phép bình phương hai vế )

2 A B B A B A B

A B 

       _



3 A B A B

A B 

   _



c) Ví dụ mẫu

Giải các bất phương trình sau :

a) 2x 3 1 b) _x2_{3x  2 x 1} c) _{x 2 x}2_4

Bài giải a) 2x 3 1

Ta có thể giải bất phương trình này bằng hai cách

Cách 1 : Do hai vế của bất phương trình cùng khơng âm nên





2 2 2 2

2x  3 1 2x3  1 4x 12x  9 1 4x 12x    8 0 1 x 2

Cách 2 : 2x    3 1 1 2x   3 1 2 2x   4 1 x 2

b) 2 2

3 2 1 1 3 2 1

x  x      x x x  x  x

2 2

2 2

3 2 1 2 1 0 1

1 3

1 3

3 2 1 4 3 0

x x x x x x

xx

x x x x x

           

 

_ _ _{  }   

      

  

 

c) 2 2 2

2 2

2 4 6 0 3 2

2 4 3 2

2 4 2 0

x x x x x

x x x

x

x x x x 

           

    _ _ _{ }    

       

2. Bất phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai.

a) Nguyên tắc : Phá A bằng phép bình phương.

Chú ý :

Phép bình phương hai vế của một bất phương trình là phép biến đổi tương đương khi hai vế

cùng không âm.

A

 xác định  A 0

 

2

A A A  

 

2





0

A A A

   

b) Một số dạng cơ bản :

0

1 A B A

A B _{ }0

2 A B A

A B _{ }203 0A

A B B

A B  _   204 0A

A B B

A B  _  20050ABA BBA B  _    20060ABA BBA B  _   

c) Ví dụ mẫu

Giải các bất phương trình sau :

a) _x2_3x2 b) _{x 2 x} c) _x2_{4x x 3}

Bài giải

a) 2 2

23 03 23 4x xx xx x   _{  } 

 ( do 2 0 )

22

3

3 0 4 3

0

0 13 4 0

4 1x

x x x

xxx xx         _ _  _{  }    _{  }

Tập nghiệm S    



4; 3

  

0;1

b)

2 2

2 0 2 2

2 0 0 0 2

1

2 2 0

2

x x x

x x x x x x

x

x x x x

x      _      _  _  _    _{ } _{      }  _ _

c)





2

2

22

2 2

0

4 0 ₃

4 3

3 0 ₃

3

4 3 3

3 0 ₉

10 93

104 3

4 6 9x

x x _x

x x

x _x

x

x x x x

x

x x

xx x x

x x x x 

   _{   }



_{  }     _

 _ _{ }  _  

   _{  } _ _   __

_{         }

_    _ 

 _{    }

3

99

103

10
x

xx

 

    

   

Tập nghiệm ; 9

10S   _ _

 

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 1. Giải các bất phương trình sau

a) _x2_{  x x 8} b) 2 5 ₂

4xx

 _

 c)

2 _{2 2 3}

x  x  x

d) _{3x 2 x}2_3x2 e) _x2_{5x 2 x}2_{ x 2} f)

22

516x xx x

  _ 

Bài 2. Giải các bất phương trình sau

a) 3x 2 4 b) _x2_{2x  2x3} c) _x2_{2x  2 x 3}

d) 2x 5 3x3 e) 2x 5 3x3 f) _x2 _{2x 3 2x2}

g) _2x2_{  1 1 x} h) _{2x 1 2x3} i) _x2_{5x14 2 x1}

k) _x2_{ x 12 x 3} l) _{x 3 x 4 x5}

Bài 3. Giải các bất phương trình sau

a)







2



3x2 x  x 2 0 b)



2



2



2x x x 9 0 c)



_x2_2x



2 _



_2x3



4

d) 2 2 1 0

3 6

x x

x 



 e)

2

5 6

2 1

2 1

x x

xx

 

 

 f)

22

5 2

1

6 3

x x x

x x x

  

 

  

Bài 4. Tìm tất cả giá trị của tham số m để :

a) Phương trình



_m2_{m x}



2 _{2x m  5 0} có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

b) Phương trình _mx2_2



_m1



_{x m  5 0} có hai nghiệm dương phân biệt.

c) Bất phương trình _x2 _{mx m 12 0} nghiệm đúng với _{ x R}.

d) Bất phương trình



_m2



_x2_2



_m2_4



_{x m  2 0} nghiệm đúng với _{ x R}.

e) Bất phương trình



_m2



_x2_{2x m 0} vơ nghiệm.

KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC

1. Khoảng cách giữa hai điểm.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai điểm A x y



_A; _A

 

,B x y_B; _B



.Ta có :



 

2



2B A B A

AB AB  x x  y y

2. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho điểm M x y



₀; ₀



và

đường thẳng _{:Ax By C  0}



_A2_B2 _0



. Gọi _H là hình

chiếu vng góc của M trên .

Khoảng cách từ M đến  bằng độ dài đoạn MH,kí hiệu d M



, 



MH và được tính bằng cơng

thức :





0 0

2 2

,

Ax

By

C

d M

A

B





 



3. Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song.

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai đường thẳng

1:Ax By C1 0

    và ₂:Ax By C  ₂ 0



C₂ C₁



.

Khoảng cách giữa 1 và 2 bằng khoảng cách từ một điểm bất kì trên đường thẳng này đến

đường thẳng kia ,kí hiệu d



 1, 2



và được tính bằng cơng thức :





2 1

1, 2 _{2 2}

C C

d

A B

  



4. Góc giữa hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy,cho hai đường thẳng

1:A x B y C1 1 1 0

    có VTPT n1



A B1; 1





và

2:A x B y C2 2 2 0

    có VTPT n2 



A B2; 2





. Góc giữa hai đường thẳng 1 và 2 có số đo từ

0

0 đến ₉₀0 và được tính bởi cơng thức :









1 2 1 2

1 2 1 2 _{2 2 2 2}1 1 2 2

cos , cos ,

.

A A B B

n n

A B A B



   

 

 

Chú ý : Nếu hai đường thẳng 1 và 2 có VTCP lần lượt là u



và v thì:





 

u.v

cos   , cos u, v   

 

HM

1

2

5. Ví dụ mẫu.

Ví dụ 1. Tính khoảng cách từ điểm A



2; 1



_{đến các đường thẳng sau:}

a) d: 3x4y 1 0. b) d x y1:   1 0. c)

3:

2 2

x t

y t

 

  _{ }

 .

Bài giải

a) d: 3x4y 1 0





 

2 2

3.2 4. 1 1 ₁,

53 4

d A d   

  



b) d x y1:   1 0





 

 

1 ₂

2

2 1 1

, 2 2

1 1d A d   

  

 

c) : 3 3 ₂ 3 2 2 8 0



,



2.2 1 8_{2 2} 5

2 2 2 _{2 1}

2t x

x t y

x x y d A

yy t t

 

   

  

 _ _{ }           

   _

 _

Ví dụ 2. Cho điểm M

 

1;1 và đường thẳng :x2y 3 0.

a) Viết phương trình đường thẳng d song song  và cách A một khoảng bằng 2 5.

b) Viết phương trình đường thẳng d1 vng góc  và cách A một khoảng bằng 5.

Bài giải
a) d_ d x: 2y C 0



C3



Ta có :



,



2 5 1 2.1_{2 2} 2 5 3 10 3 10 7

3 10 13

1 2

C C

C

d M d C

C C

  

   

      _ _

    

  

7
C

  (nhận)d x: 2y 7 0

13C

   (nhận)d x: 2y13 0

b) d1  d1: 2x y C  10

Ta có :





 

1 1

1

1 ₂ 1

2 _{1 1}

1 5 4

2.1 1

, 5 5 1 5

1 5 6

2 1

C C

C

d M d C

C C

  

   

      _ _

    

 

 

1 4 1: 2 4 0

C d x y

     

1 6 1: 2 6 0

C d x y

      

Ví dụ 3. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:

a) d1: 2x y  1 0 và d x2: 3y 1 0. b) 1:x y  6 0 và 2

1:

2 7

x t

y t

 

  _{ }



Bài giải a) d1: 2x y  1 0 và d x2: 3y 1 0.

Ta có n1

 

2;1 ;n2 

 

1;3 

 









0

1 2 _{2 2 2 2} 1 2

2.1 1.3 1

cos , , 45

2

2 1 . 1 3

d d     d d 

  .

Ta có 2

1 2

: 1 7 5 0

2 7 7

x t y

x x y

y t

 

 

 _{  }        

 n1 

 

1;1 ;n2  



7;1



 

.





 

 





0

1 2 ₂ 1 2

2 2 2

1. 7 1.1 ₃

cos , , 53.13

51 1 . 7 1

 

       

  

BÀI TẬP RÈN LUYỆN

Bài 5. Cho hai đường thẳng :x2y 2 0, : 3d x y  4 0 và điểm A

 

3; 2 .

a) Tính khoảng cách từ A đến các đường thẳng  và d.

b) Tìm tọa độ giao điểm của  và d. Tính góc giữa  và d.

c) Viết phương trình đường thẳng 1 vng góc  và cách A một khoảng bằng 5.

Bài 6. Trong mặt phẳng toạ độ xOy,cho đường thẳng ₁: 1 2 ,

1

x t

d t

y t

 

   

  và đường thẳng

2: 2 3 0

d x y  

a) Xét vị trí tương đối d d1, 2.

b) Xác định vị trí điểm M d1 sao cho khoảng cách từ M đến d2 bằng

55 .

Bài 7. Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :

a) d song song và cách đường thẳng  : 2x – y + 3 = 0 một khoảng 5.

b) d song song với đường thẳng :3x – 4y +12 = 0 và cách điểm A (2; 30 ) một khoảng

bằng 2

c) d song song và cách đều hai đường thẳng sau d1 : x – 3y – 1 = 0 và d2: x – 3y + 7 = 0

d) d song song và cách đường thẳng d’ : 3x + 2y – 1 = 0 một khoảng 13

Bài 8. Tìm tọa độ điểm M thỏa điều kiện sau :

a) M nằm trên trục hoành và cách đường thẳng d : 2x + y – 7 =0 một khoảng 2 5.

b) M nẳm trên đường thẳng d : x + y + 5 = 0 và cách đường thẳng d’ : 3x – 4y + 4 = 0 một khoảng là 2.

c) M nằm trên đường thẳng : 2 2

3

x t

d

y t

   

 và cách A

 

0;1 một khoảng bằng 5.

Bài 9. Cho đường thẳng d: 2x y 10 0.

a) Tính góc của đường thẳng d với đường thẳng d x' : 3y 6 0