Phương pháp chung:
- Bước 1: Xác định tâm của đáy từ đó dựng đường thẳng d vuông góc với mặt đáy.
- Bước 2: Dựng mặt phẳng trung trực [P] của cạnh bên bất kì.
- Bước 3: Tâm của mặt cầu là giao điểm của d và [P].
Dạng 1: Hình chóp đều.
Gọi h là chiều cao của hình chóp, a là độ dài cạnh bên của hình chóp. Ta có $$R=\frac{a^{2}}{2h}.$$ |
Giải: Gọi O là tâm của tam giác ABC, suy ra $SO=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Tam giác SOA vuông tại O nên $SO=\sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a}{2}$.
Áp dụng công thức $R=\frac{7a}{12}$.
Bài tập áp dụng
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
=> Hướng dẫn giải
Dạng 2: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy.
Gọi h, r là chiều cao và bán kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy. Ta có $$R=\sqrt{[\frac{h}{2}]^{2}+r^{2}}.$$ |
Giải: Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
$r=AG=\frac{2}{3} AM= \frac{a \sqrt{3}}{3}$, h=SA=a.
Áp dụng công thức, ta có $R=\sqrt{[\frac{a}{2}]^{2}+[\frac{a \sqrt{3}}{3}]^{2}}=\frac{a \sqrt{21} }{6} $.
Bài tập áp dụng
Câu 2: Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau và OA=a, OB=2a, OC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB=a và $\widehat{BAC}=120^{0}$. Cạnh bên SA=2a và vuông góc với đáy [ABC]. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Câu 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông. SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD] và SC=2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp trên.
=> Hướng dẫn giải
Dạng 3: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy
Gọi $R_{b}, R_{d}$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên và mặt đáy, GT là độ dài giao tuyến mặt bên đó và đáy. Ta có $$ R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}.$$ |
Giải: Giao tuyến của [SAB] với [ABCD] là AB.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp đáy $R_{d}=AO=\frac{a \sqrt{2}}{2}$.
Bán kính đường tròn ngoại tiếp mặt bên $R=SG=\frac{a \sqrt{3}}{3}$.
Áp dụng công thức $R=\sqrt{R_{b}^{2}+R_{d}^{2}-\frac{GT^{2}}{4}}=\frac{a \sqrt{21}}{6}$.
Bài tập áp dụng:
Câu 5: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=$a \sqrt{2}$. Cạnh bên $SA=a \sqrt{2}$, hình chiếu vuông góc với mặt phẳng đáy trùng với trung điểm của cạnh huyền AC. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp.
Câu 6: Cho hình chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông tại C. Mặt phẳng [SAB] vuông góc với đáy, SA=SB=2a, $\widehat{ASB}=120^{0}$. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó.
=> Hướng dẫn giải
Page 2
Câu 1: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 3a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đã cho.
Gọi O là tâm của hình vuông ABCD, suy ra $SO \perp [ABCD]$.
$AO= \frac{AC}{2}=\frac{a \sqrt{2}}{2}$
Xét tam giác SAO vuông tại O ta có $SO= \sqrt{SA^{2}-AO^{2}}=\frac{a \sqrt{34}}{2}.$
Áp dụng công thức $R=\frac{SA^{2}}{2. SO}=\frac{9a \sqrt{34}}{34}$.
Trần Lê Quyền
Giải. Mặt cầu đã cho cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A
0
.ABC, nên với A
0
A⊥[ABC] ta
có thể áp dụng
R =
r
A
0
A
2
4
+ R
2
d
=
s
a
2
+
2a
√
3
2
=
a
√
21
3
.
Diện tích mặt cầu là 4πR
2
=
28πa
2
3
.
Ví dụ 3. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc. Biết rằng OA = a, OB =
b, OC = c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Giải. Ta có AO⊥[OBC] nên có có thể áp dụng [1],
R =
r
OA
2
4
+ R
2
d
=
1
2
p
OA
2
+ OB
2
+ OC
2
.
Công thức này cho phép xây dựng một số bài toán thú vị liên quan đến tứ diện vuông.
Chẳng hạn
BT 1. Cho tứ diện OABC có A, B, C thay đổi nhưng luôn thỏa mãn OA, OB, OC đôi một
vuông góc và 2OA +OB +OC = 3. Giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC
là
A.
√
6
4
B.
√
2
2
C.
3
√
3
8
D.
3
4
BT 2. Cho ba tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. Gọi C là điểm cố định trên Oz,
đặt OC = 1; các điểm AB, thay đổi trên OxOy, sao cho OA + OB = OC. Tìm giá trị bé
nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
A.
√
6
3
B.
√
6 C.
√
6
4
D.
√
6
2
Ví dụ 4. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA =
2a
√
3
.
Gọi D là điểm đối xứng của A qua BC. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.BCD.
Giải. Gọi H là trọng tâm của tam giác ABC, ta có SH⊥[ABC].
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD bằng AH =
a
√
3
.
Trong khi ta có DH = 2AH, thế nên H thuộc đường tròn ngoại
tiếp tam giác BCD. Vậy có thể áp dụng [1],
R =
r
SH
2
4
+ R
2
d
=
a
√
21
6
.
Như vậy, có thể ‘nới rộng’ điều kiện áp dụng của [1], đó là khi hình chiếu của đỉnh S
2 0122 667 8435