Câu 4.27 trang 138 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao

LG a

Cho một số \(h > 0.\) Bằng phương pháp quy nạp chứng minh rằng

\({\left( {1 + h} \right)^n} \ge 1 + nh + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}{h^2}\)

Lời giải chi tiết:

\({\left( {1 + h} \right)^n} \ge 1 + nh + {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}{h^2}\) (1)

+) Với n = 1, (1) đúng

+) Giả sử (1) đúng với n = k, tức là\({\left( {1 + h} \right)^k} \ge 1 + kh + {{k\left( {k - 1} \right)} \over 2}{h^2}\)

Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1

LG b

Chứng minh rằng nếu \(q > 1\) thì

\(\lim {{{q^n}} \over n} = + \infty \)

Lời giải chi tiết:

Vì \(q > 1\) nên tồn tại số dương h sao cho \(h = q - 1 > 0.\) Từ bất đẳng thức trong câu a) suy ra

\({q^n} = {\left( {1 + h} \right)^n} \ge {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}{h^2}\)

Do đó

\({{{q^n}} \over n} \ge {{{h^2}} \over 2}\left( {n - 1} \right)\) với mọi n

Vì \(\lim {{{h^2}} \over 2}\left( {n - 1} \right) = + \infty \) nên từ đó suy ra

\(\lim {{{q^n}} \over n} = + \infty \)

LG c

Cho \(q > 1.\) Tìm \(\lim {n \over {{q^n}}}\)

Hướng dẫn: b) Đặt \(q = 1 + h\) và áp dụng a)

Lời giải chi tiết:

Từ b) suy ra \(\lim {n \over {{q^n}}} = 0\)