Công thức tính độ dài cung lượng giác
|
I. Khái niệm cung và góc lượng giác 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
* Chú ý Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì: Kí hiệu $\mathop {AB}\limits^ \curvearrowright $ chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. 2. Góc lượng giác Trên một đường tròn định hướng, cho một cung lượng giác $\mathop {CD}\limits^ \curvearrowright $. Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ C đến D tạo nên cung lượng giác $\mathop {CD}\limits^ \curvearrowright $ nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là OC, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là (OC, OD).
3. Đường tròn lượng giác Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R = 1. Đường tròn này cắt hai trục tọa độ tại bốn điểm $A\left( {1;0} \right),A'\left( { - 1;0} \right),B\left( {0;1} \right),B'\left( {0; - 1} \right)$. Ta lấy $A\left( {1;0} \right)$ làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A).
II. Số đo của cung và góc lượng giác 1. Độ và rađian a) Đơn vị rađian Trên đường tròn tùy ý, cung có độ dài bằng bán kinh được gọi là cung có số đo 1 rad. b) Quan hệ giữa độ và rađian ${1^0} = \frac{\pi }{{180}}rad$ và $1rad = {\left( {\frac{{180}}{\pi }} \right)^0}$ * Bảng chuyển đổi thông dụng
c) Độ dài của một cung tròn Cung có số đo $\alpha $ rad của đường tròn đường kính R có độ dài $l = R\alpha $ 2. Số đo của một cung lượng giác Số đo của một cung lượng giác $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright \left( {A \ne M} \right)$ là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu của số đo của cung $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $ là sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $. sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = \alpha + k2\pi ,k \in Z$ sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = {a^0} + k{360^0},k \in Z$ 3. Số đo của một góc lượng giác Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là số đo của cung lượng giác $\mathop {AC}\limits^ \curvearrowright $ tương ứng. 4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác có số đo $\alpha $ trên đường tròn lượng giác, ta chọn điểm A (1; 0) làm điểm đầu của cung vì vậy chỉ cần xác định điểm cuối M trên đường tròn lượng giác sao cho cung $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright $ có sđ $\mathop {AM}\limits^ \curvearrowright = \alpha $. Page 2 SureLRN
§1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
Đường tròn định hướng và cung lượng giác Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta đã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiểu ngược lại gọi là chiều âm. Ta quy ước chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương.
Với hai điểm A, B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là AB .
Góc lượng giác
Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác CDI. Một điểm M chuyển động trên đường
tròn từ c tới D tạo nên cung lượng giác CD nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc o từ vị trí oc tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là oc, tia cuối là OD. Kí
3. Đường tròn lượng giác
y
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy
B(0; 1)
đường tròn lượng giác là
đường tròn định hướng tâm 0 /
bán kính R = 1. /
\\
A'(-1; 0) Ị
ỊA(1;0)~
\ °
/ x
B'(0;-1)
Độ và rađian
Đơn vị rađian
Trên đường tròn tuỳ ý, cung có độ dài bằng bán kính được gọi là cung có số đo 1 rad.
Quan hệ giữa độ và radian
-0 n <180?
1° = -?-rad và 1 rad = ——
180 V 71 )
Với 71 ~ 3,14 thi 1° « 0,01745 rad và 1 rad = 57°17'45”.
Bảng chuyển đổi thông dụng
Độ
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
Radian
71
7Ĩ
71
71
2ĩt
371
571
71
6
4
3
2
3
4
6
d) Độ dài của một cung tròn
Trên đường tròn bán kính R, cung nửa đường tròn có số đo là 71 rad và có độ dài là 7iR. Vậy
Cung có số đo là a rad của đường tròn bán kính R có độ dài I = Ra.
Sô đo của một cung lượng giác
Số đo của một cung lượng giác AM' (A * M) là một số thực, âm hay dương. Kí hiệu sô' đo của cung AM là sđ AM .
sđ AM = a + k2n, k Ẽ z
= a° + k.360°, k e z
Số đo của một góc lượng giác
Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là sô' đo của cung lượng giác AC tương ứng.
Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác
Chọn điểm gốc A(1; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có sô' đo a trên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđAM - a.
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Khi biểu diễn các cung lượng giác có số đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trưởng hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không? Khi nào trưởng hợp này xảy ra?
íTj’đ’ Lời: Các điểm cuối trùng nhau khi các số đo hơn kém nhau một bội của 2ti.
c) -25°;
d) -125°45'.
Đổi số đo của các góc sau đây ra radian a) 18°; b) 57°30’;
tsỊiải
Ta có: 1° « 0,01745
18° « 18.0,01745 « 0,3142 rad
57°30' « 57,5.0,01745 « 1,0036 rad
-25° « -25.0,01745 « -0,4363 rad
-125°45' « -125,75.0,01745 « -2,1948 rad.
3. Đổi các sô’ đo của các cung sau đây ra độ, phút, giây
c) -2;
a)Ẫ;
b)
16
d)í
Ốịiải
a)
180u
18 18
= 10°
->0
b)^ = ^-=33°45' 16 16
c) -2 = -2
180°
114°35'30"
3 3 180
42°58'19"
4. Một đường tròn có bán kính 20cm. Tim độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo:
a)
b) 1,5;
c) 37°.
ốjiàl
Áp dụng công thức 1 = R.a
a) 1 = 20.-ị* 4,19cm;
15
b) 1 = 20.1,5 = 30cm
c) a = 37° = 37.0,01745 « 0,65 rad => 1 = 20.0,65 = 12,91 cm. 5. Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo
b) 135°;
a) Cung -
571
ốýiái
là AM (M là trung điểm
4
của A'B).
Cung 135° cũng là cung AM ở trên. A
Cung là ẤN (với AN = |ẤB')
3 3
Cung -225° cũng là cung AN ở trên.
1071
6. Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết rằng cung AM có sô’ đo tương ứng là (trong đỏ k là một số nguyên tuỳ ỷ).
a) kỉt;
b) k|;
7.
Ố^iải
Cung AM có sô' đo là kĩi (k e Z) thì
điểm M trùng với A (nếu k chẵn) hoặc trùng với A' (nếu k lẻ).
Cung AM có số đo (k e Z) thì
điểm M trùng với A nếu k = 4n, n e Z; M trùng với B nếu k = 4n + 1; M trùng với A' nếu k = 4n + 2; M trùng với B' nếu k = 4n + 3, n e z.
Cung AM có sô' đo (k e Z) thì 3
điểm M trùng với A nếu k = 6n (n e Z);
M trùng với M] nếu k = 6n + 1; M trùng với Mọ nếu k = 6n + 2; M trùng với A' nếu k = 6n + 3; M trùng với M3 nếu k = 6n + 4; M trùng với M., nếu k = 6n + 5.
Trên đường tròn Lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ AM = a (0 Trong những năm học cuối (lớp 8, lớp 9) trung học cơ sở, các bạn học sinh ắt đầu được tiếp xúc với các dạng bài toán có liên quan đến hình tròn. Và đây cũng được coi như là kiến thức quan trọng trong phần hình học, là cơ sở cho các bài toán hình học cấp 3 khác. Vậy, sau đây các bạn học sinh hay cùng tìm hiểu một trong những công thức tính toán cơ bản – “công thức tính độ dài cung tròn” liên quan đến hình tròn qua bài viết dưới đây nào. Bên cạnh đó, bài viết cũng kèm theo một số ví dụ để các bạn ôn tập nên hãy theo dõi bài viết đến cùng nhé! Trước khi tìm hiểu công thức tính độ dài cung tròn là gì, ta nên làm rõ một số các định nghĩa có liên quan trước nhé. Vậy thì đường tròn là gì? Đường tròn, hay còn được gọi là vòng tròn (trong hình học phẳng) được hiểu là tập hợp của tất cả các điểm trên cùng một đường, điểm đó cách đều một điểm cho trước một khoảng và luôn luôn bằng nhau. Tâm của đường tròn chính là tên gọi của điểm cho trước, còn khoảng cách của tất cả các điểm trên đường tròn đến tâm của đường tròn được gọi là bán kính của đường tròn. Trong toán học, đường tròn tâm I với bán kính R được ký hiệu là (I,R). Hiểu một cách đơn giản hơn thì đường tròn chính là một hình khép kính đơn giản. Nó chia mặt phẳng làm 2 phần: bên ngoài và bên trong. Trong đó: Tham khảo thêm các công thức toán học khác : Cung tròn trong hình học chính là đoạn công khả vi trong 1 đa tạp. Hay, ta có thể hiểu một cách đơn giản hơn thì cung đường tròn là một phần (1 đoạn) của đường tròn hay chu vi (biên) của hình tròn. Nói cách khác, cung đường tròn còn là quỹ tích tất cả các điểm thuộc đường tròn nằm giữa 2 điểm đã được xác định. Ký hiệu của cung tròn trong toán hình học là: ⌒ Cần lưu ý: Cung và dây cung là hai khái niệm khác nhau, tránh nhằm lẫn dẫn tới việc áp dụng sai công thức tính độ dài cung tròn.
Trước khi đi tìm hiểu công thức tính độ dài cung tròn trên đường tròn, ta hãy cùng tìm hiểu đôi chút về mối quan hệ mật thiết giữa 2 khái niệm cung tròn (gọi tắt là cung) và dây cung (gọi tắt là dây) nhé. Nếu hai cung tròn nhỏ trong 1 đường tròn bằng nhau hoặc trong 2 đường tròn bằng nhau, thì:
Một số liên hệ bổ sung khác:
Công thức tính độ dài cung tròn là công thức cơ bản trong các bài toán liên quan đến hình tròn. Vì thế công thức tính độ dài cung tròn cũng khá đơn giản, dễ nhớ. Độ dài CC của một đường tròn có bán kính RR được tính theo công thức: C=2πRC =2πR Nếu gọi dd là đường kính đường tròn (d=2R)(d=2R) thì C=πd Công thức được xác định như sau: Trong đó:
Trước khi áp dụng công thức tính độ dài cung tròn, ta cần lưu ý tạo 2 đường thẳng nối từ tâm hình tròn đến 2 đầu mút trên cung tròn để giới hạn, từ đó tạo ra số đo góc tương ứng cho cung tròn. Sử dụng số đo góc đó để áp dụng vào công thức.
Cho một đường tròn có bán kinh là 4 cm. Hãy tìm độ dài của cung tròn 1200 của đường tròn đó: Lời giải: Tóm tắt: R = 4 cm n = 1200 Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn, ta có: L = (π × R × n)/180 = (π × 4 × 120)/180 = 83 (cm) → Kết luận: Vậy độ dài cung tròn góc 1200 là 83 cm. Cho một đường tròn tâm O với bán kính là R (O; R). Độ dài của cung tròn AB là πR4. Hãy xác định số đo góc của cung tròn AB? Lời giải: Gọi n là số đo của cung tròn AB. Theo công thức tính độ dài cung tròn, ta có: L = π × R × n180 → πR4 = π × R × n180 → n = 450 → Kết luận: số đo góc của cung tròn AB là 45 độ. Cho đường tròn tâm O, có bán kính là R (O; R):
Lời giải: Theo công thức tính độ dài cung tròn, ta có: L = π × R × n180 → πR3 = π × R × n180 → n = 600 → Kết luận: số đo góc AOB là 600. Vì tam giác AOC là tam giác vuông cân nên độ dài cung AC được xác định như sau: L = π × R × 90180 = πR2 Số đo góc cung tròn lớn BC là: 3600 – 600 – 900 = 2100 Áp dụng công thức tính độ dài cung tròn, ta có: L = π × R × 210180 = 7πR6 Hãy xác định độ dài của cung tròn có số đo góc là 1400, có bán kính là 6 cm. Lời giải: Áp dụng công thúc tính độ dài cung tròn, ta có: L = π × R × n180 L = π × 6 × 140180 L = 143 (cm) → Kết luận: độ dài cung tròn có số đo góc là 1400 = 143 (cm). Cho 1 đường tròn có bán kính R = 4 cm. Hãy xác định độ dài cung tròn có số đo góc 400. Theo công thức tính độ dài của cung tròn ta có: L = π × R × n180 L = π × 4 × 40180 L = 89 (cm) → Kết luận: vậy độ dài cung tròn góc 400 là 89 cm. Như vậy, bài viết trên đã giúp các bạn phần nào biết được công thức tính độ dài cung tròn. Hãy nhớ rằng, luôn luôn ôn tập để ghi nhớ cac công thức, tránh nhớ nhầm công thức dẫn đến áp dụng sai công thức, sẽ khiến kết quả cuối cùng cũng bị ảnh hưởng các bạn nhé! Ngày xuất bản4 Tháng Mười Một, 2021 @ 4:50 sáng |
