Đề bài
Trong không gian \[Oxyz\], cho hai đường thẳng:
\[{d_1}:\,\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 3t\\y = 1 + 2t\\z = 3 - 2t\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,{d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = t'\\y = 1 + t'\\z = - 3 + 2t'\end{array} \right.\]
a] Chứng minh rằng d1và d2cùng thuộc một mặt phẳng.
b] Viết phương trình mặt phẳng đó.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh\[\left[ {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\], với\[\overrightarrow {{a_1}} ;\overrightarrow {{a_2}} \] lần lượt là các VTCP của\[{d_1};{d_2}\] và\[{M_1} \in {d_1};\,\,{M_2} \in {d_2}\].
b] Mặt phẳng chứa\[{d_1};{d_2}\] đi qua \[{M_1}\] và nhận\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} .\overrightarrow {{a_2}} } \right]\] là 1 VTPT.
Lời giải chi tiết
a] Đường thẳng d1 đi qua điểm \[M_1[-1; 1; 3]\] và có VTCP \[\overrightarrow {{a_1}} = [3;2; - 2]\]
Đường thẳng d2 đi qua điểm \[M_2\]\[[0; 1; -3]\] và có VTCP \[\overrightarrow {{a_2}} = [1; 1; 2]\].
Ta có \[\left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= [6; -8; 1]\], \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = [1; 0; -6]\]
\[ \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]\]. \[\overrightarrow {{M_1}{M_2}} = 0\]
Vậy ba vectơ \[\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} ,\overrightarrow {{M_1}{M_2}} \]đồng phẳng hay hai đường thẳng d1, d2 nằm cùng một mặt phẳng.
Cách khác:
Xét hệ \[\left\{ \begin{array}{l} - 1 + 3t = t'\\1 + 2t = 1 + t'\\3 - 2t = - 3 + 2t'\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3t - t' = 1\\2t - t' = 0\\ - 2t - 2t' = - 6\end{array} \right.\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = 2\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow \] Hệ có nghiệm duy nhất hay hai đường thẳng cắt nhau tại điểm \[A\left[ {2;3;1} \right]\]
b] Gọi \[[P]\] là mặt phẳng chứa d1 và d2.
Khi đó \[[P]\] qua điểm \[M_1[-1; 1; 3]\] và có vectơ pháp tuyến
\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {{a_1}} ,\overrightarrow {{a_2}} } \right]= [6; -8; 1]\].
Phương trình mặt phẳng \[[P]\] có dạng:
\[6[x + 1] - 8[y - 1] + [z - 3] = 0\]
\[\Leftrightarrow 6x - 8y + z + 11 = 0\]