Đề bài
Chứng minh rằng các phép tịnh tiến, đối xứng trục, đối xứng tâm là những phép dời hình.
Lời giải chi tiết
* Phép tịnh tiến
Giả sử \[{T_{\overrightarrow v }}\]là phép tịnh tiến theo vectơ \[\overrightarrow v \]
\[\eqalign{
& {T_{\overrightarrow v }}:\,M \to M' \cr
& \,\,\,\,\,\,\,\,N \to N' \cr} \]
Ta có \[\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow {NN'} = \overrightarrow v\] nên MM'N'N là hình bình hành
\[ \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {M'N'} \Rightarrow MN = M'N'\]
Vậy phép tịnh tiến là một phép dời hình.
* Phép đối xứng trục
Giả sử \[{\tilde N_d}\]là phép đối xứng qua đường thẳng \[d\]
Giả sử
\[{{\tilde N}_d}:M \to M'\]
\[N \to N'\]
Gọi \[H\] và \[K\] lần lượt là trung điểm của \[MM\] và \[NN\].
Ta có:
\[\eqalign{
& \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M'N'}\cr & = \left[ {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN} } \right] \cr & + \left[ {\overrightarrow {M'H} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN'} } \right] \cr &= \left[ {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {M'H} } \right] + \left[ {\overrightarrow {KN} + \overrightarrow {KN'} } \right] \cr & + \left[ {\overrightarrow {HK} + \overrightarrow {HK} } \right] \cr & = \overrightarrow 0 + \overrightarrow 0 + 2\overrightarrow {HK} \cr &= 2\overrightarrow {HK} \cr
& \overrightarrow {MN} - \overrightarrow {M'N'}\cr & = [\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} ]- [ \overrightarrow {HN'} - \overrightarrow {HM'} ]\cr &= \left[ {\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HN'} } \right] + \left[ {\overrightarrow {HM'} - \overrightarrow {HM} } \right]\cr &= \overrightarrow {N'N} + \overrightarrow {MM'} \cr} \]
Vì \[\overrightarrow {MM'} \bot \overrightarrow {HK} \]và \[\overrightarrow {N'N} \bot \overrightarrow {HK} \]nên
\[\eqalign{
& {\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {M'N'} ^2} \cr &= \left[ {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {M'N'} } \right]\left[ {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {M'N'} } \right] \cr &= 2\overrightarrow {HK} \left[ {\overrightarrow {N'N} + \overrightarrow {MM'} } \right] \cr &= 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {N'N} + 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {MM'} \cr &= 2.0 + 2.0 = 0\cr
& \Rightarrow M{N^2} = M'N{'^2} \Rightarrow MN = M'N' \cr} \]
Vậy phép đối xứng qua \[d\] là phép dời hình.
Cách khác:
Giả sử phép đối xứng qua đường thẳng d biến M thành M, N thành N
Gọi [P] là mặt phẳng chứa NM và [P] // MM
\[{M_1},{M_1}'\]lần lượt là hình chiếu của M, M trên [P]; O = [P].
Ta có d [P] nên O đồng thời là trung điểm của \[{M_1}{M_1}'\]và NN'.
Vậy phép đối xứng tâm O biến \[M_1\]thành \[M_1'\], N thành N nên \[{M_1},{M_1}'\]nên \[M_1N=M_1'N'\].
Mặt khác \[M_1N,M_1'N'\] lần lượt là hình chiếu của MN, MN trên [P], MM // [P] nên MN = MN.
Vậy phép đối xứng qua đường thẳng là phép dời hình.
*Phép đối xứng tâm
Nếu phép đối xứng qua tâm \[O\] biến hai điểm \[M, N\] lần lượt thành hai điểm \[M, N\] thì \[\overrightarrow {OM'} = - \overrightarrow {OM} ;\overrightarrow {ON'} = - \overrightarrow {ON} \]
suy ra \[\overrightarrow {M'N'} = \overrightarrow {ON'} - \overrightarrow {OM'}\] \[ = - \overrightarrow {ON} + \overrightarrow {OM} = \overrightarrow {NM} \] \[\Rightarrow M'N' = MN\]
Vậy phép đối xứng tâm \[O\] là một phép dời hình.