Đề bài - bài 9 trang 70 sgk toán 9 tập 1

Đề bài

Cho hình vuông \(ABCD\). Gọi \(I\) là một điểm nằm giữa \(A\) và \(B\). Tia \(DI\) và tia \(CB\) cắt nhau ở \(K\). Kẻ đường thẳng qua \(D\), vuông góc với \(DI\). Đường thẳng này cắt đường thẳng \(BC\) tại \(L\). Chứng minh rằng:

a) Tam giác \(DIL\) là một tam giác cân;

b) Tổng\(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)không đổi khi \(I\) thay đổi trên cạnh \(AB\).

Lời giải chi tiết

a)Xét \(\Delta ADI\)và\(\Delta CDL\)có:

\(\widehat{A}=\widehat{C}= 90^{\circ}\)

\(AD=CD\)(hai cạnh hình vuông)

\(\widehat{D_{1}}=\widehat{D_{2}}\) (cùng phụ với\(\widehat{CDI})\)

Do đó\(\Delta ADI=\Delta CDL\)(g.c.g)

Suy ra\(DI=DL\).

Vậy \(\Delta DIL\)cân (đpcm).

b)Xét \(\Delta{DLK}\) vuông tại \(D\), đường cao \(DC\).

Áp dụng hệ thức\(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\), ta có:

\(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DL^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\) (mà \(DL=DI)\)

Suy ra \(\dfrac{1}{DC^{2}}=\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)

Do \(DC\) không đổi nên\(\dfrac{1}{DI^{2}}+\dfrac{1}{DK^{2}}\)là không đổi.

Nhận xét: Câu a) chỉ là gợi ý để làm câu b). Điều phải chứng minh ở câu b) rất gần với hệ thức\(\dfrac{1}{h^{2}}=\dfrac{1}{b^{2}}+\dfrac{1}{c^{2}}\)

Nếu đề bài không cho vẽ\(DL\perp DK\)thì ta vẫn phải vẽ đường phụ\(DL\perp DK\)để có thể vận dụng hệ thức trên.