Đề bài - đề kiểm tra giữa kì 2 toán 10 - đề số 3 có lời giải chi tiết

Đề bài

Câu 1. Giải các phương trình sau:

a. \(3{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} + 4 \le 0\)

b. \(\dfrac{{\left( {2{\rm{x}} + 3} \right)\left( {4 - x - 3{{\rm{x}}^2}} \right)}}{{{x^2} - 9}} \ge 0\)

c. \(\dfrac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 3}}{{3 - 2{\rm{x}}}} < 1 - x\)

d. \(\sqrt {{x^2} - 2{\rm{x}} - 15} \le x - 3\)

Câu 2.Tìm tham số m để hàm số sau có tập xác định là tập số thực \(\mathbb{R}\).

\(y = \sqrt {\left( {{m^2} + 4} \right){x^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x + 4} \)

Câu 3.Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các cạnh là \(\left( {AB} \right):2{\rm{x}} - 3y + 7 = 0;\)\(\left( {BC} \right):2{\rm{x}} - y + 1 = 0;\)\(\left( {AC} \right):x - y + 3 = 0\).

a. Tính tọa độ các đỉnh của tam giác.

b. Viết phương trình đường cao AK. (K thuộc cạnh BC).

c. Tìm tọa độ điểm A là điểm đối xứng của điểm A qua đường thẳng BC.

d. Tìm tập hợp các điểm cách đều hai cạnh BC và AC.

Lời giải chi tiết

Câu 1. (VD)

Phương pháp:

Phân tích thành nhân tử. Sử dụng bảng xét dấu.

Giải:

a. \(3{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} + 4 \le 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {3{\rm{x}} - 4} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow 1 \le x \le \dfrac{4}{3}\end{array}\)

b. \(\dfrac{{\left( {2{\rm{x}} + 3} \right)\left( {4 - x - 3{{\rm{x}}^2}} \right)}}{{{x^2} - 9}} \ge 0\)

\( \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {2{\rm{x}} + 3} \right)\left( {1 - x} \right)\left( {4 + 3{\rm{x}}} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}} \ge 0\)

Bảng xét dấu

Từ bảng xét dấu ta có:

\({\rm{S}} = \left( { - \infty ; - 3} \right) \cup \left[ { - \dfrac{3}{2}; - \dfrac{4}{3}} \right]\cup\left[ {1;3} \right)\)

c. \(\dfrac{{{x^2} - 4{\rm{x}} + 3}}{{3 - 2{\rm{x}}}} < 1 - x\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{3 - 2{\rm{x}}}} + \left( {x - 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{{x - 3}}{{3 - 2{\rm{x}}}} + 1} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {\dfrac{{x - 3 + 3 - 2{\rm{x}}}}{{3 - 2{\rm{x}}}}} \right) < 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right).\dfrac{{ - x}}{{3 - 2{\rm{x}}}} < 0\end{array}\)

Từ bảng xét dấu ta có \({\rm{S}} = \left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {1;\dfrac{3}{2}} \right)\)

d.\(\sqrt {{x^2} - 2{\rm{x}} - 15} \le x - 3\). Điều kiện \(\left[ \begin{array}{l}{\rm{x}} \ge 5\\x \le - 3\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 \ge 0\\{x^2} - 2{\rm{x}} - 15 \le {x^2} - 6{\rm{x}} + 9\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\4{\rm{x}} \le 24\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 3\\x \le 6\end{array} \right.\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện xác định ta được \(5 \le x \le 6\).

Câu 2.(VD)

Phương pháp:

\(\sqrt {f\left( x \right)} \) xác định khi \(f\left( x \right) \ge 0\)

\(\begin{array}{l}a{x^2} + b{\rm{x}} + c \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\end{array}\)

Giải

Hàm số \(y = \sqrt {\left( {{m^2} + 4} \right){x^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x + 4} \) xác định trên \(\mathbb{R}\) khi và chỉ khi \(\left( {{m^2} + 4} \right){x^2} - 2\left( {2m - 1} \right)x + 4 \ge 0\)\(\forall x \in \mathbb{R}\)

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{m^2} + 4 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} - \left( {{m^2} + 4} \right).4 \le 0\\ \Leftrightarrow - 4m + 1 - 16 \le 0\\ \Leftrightarrow m \ge - \dfrac{{15}}{4}\end{array}\)

Câu 3.(VD)

Phương pháp:

a. Tìm giao điểm của các đường thẳng AB, BC, CA.

b. Tìm vectơ \(\overrightarrow {BC} \). Đường thẳng AK qua điểm A và nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm vectơ pháp tuyến.

c. Tìm điểm K và K là trung điểm của AA.

d. Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh BC và AC là đường phân giác của góc \(\widehat {ACB}\).

Lời giải:

a. Tọa độ giao điểm A của AB và AC là nghiệm của hệ phương trình

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y + 7 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 2\\y = 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow A\left( { - 2;1} \right)\end{array}\)

Điểm B: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - 3y + 7 = 0\\2{\rm{x}} - y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 3\end{array} \right.\)

Điểm C: \(\left\{ \begin{array}{l}2{\rm{x}} - y + 1 = 0\\x - y + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right.\)

Vậy \(A\left( { - 2;1} \right);B\left( {1;3} \right)C\left( {2;5} \right)\)

b. \(\overrightarrow {BC} = \left( {1;2} \right)\)

AK qua điểm A và nhận \(\overrightarrow {BC} \) làm vectơ pháp tuyến: \(1\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow x + 2y = 0\)

c. Điểm K là giao của AK và BC nên \(K\left( { - \dfrac{2}{5};\dfrac{1}{5}} \right)\)

Điểm A đối xứng với A qua BC nên A thuộc đường thẳng AK và K là trung điểm của AA. Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_{A'}} = 2{{\rm{x}}_K}\\{y_A} + {y_{A'}} = 2{y_K}\end{array} \right. \Rightarrow A'\left( {\dfrac{{16}}{5}; - \dfrac{8}{5}} \right)\)

d. Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh BC và AC là đường phân giác của góc \(\widehat {ACB}\). Phương trình đường phân giác của hai đường thẳng BC và AC là

\(\dfrac{{2{\rm{x}} - y + 1}}{{\sqrt 5 }} = \pm \dfrac{{x - y + 3}}{{\sqrt 2 }}\)

Xét \(\dfrac{{2{\rm{x}} - y + 1}}{{\sqrt 5 }} - \dfrac{{x - y + 3}}{{\sqrt 2 }} = 0\) ta có \(\dfrac{{ - 4}}{{\sqrt 5 }}.\left( { - \dfrac{1}{{\sqrt 2 }}} \right) > 0\) nên A và B cùng phía so với đường thẳng. Vậy đường phân giác của góc \(\widehat {ACB}\) là \(\dfrac{{2{\rm{x}} - y + 1}}{{\sqrt 5 }} + \dfrac{{x - y + 3}}{{\sqrt 2 }} = 0\)