Đề bài
Gọi I là trung điểm của dây cung AB không qua tâm của đường tròn [O; R]. Qua I vẽ dây cung CD.
a. Chứng tỏ \[CD AB\]. Tìm độ dài nhỏ nhất, lớn nhất của các dây quanh I.
b. Cho \[R = 5cm, OI = 4cm.\] Tính độ dài dây cung ngắn nhất qua I.
c. Chứng tỏ rằng : \[\widehat {OAI} > \widehat {ODI}\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Trong hai dây của một đường tròn:
a] Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.
b] Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.
- Định lý Pytago: Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương các cạnh góc vuông.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn.
Lời giải chi tiết
a. Kẻ \[OK CD\], ta có: \[OKI\] vuông nên \[OI OK\] [cạnh huyền > cạnh góc vuông]
\[ CD AB\] [định lí 2]
Dấu = xảy ra khi \[CD = AB.\] Do đó độ dài nhỏ nhất của CD bằng AB hay CD trùng với AB. Hiển nhiên đường kính qua I là dây lớn nhất.
b. Ta có: \[OIA\] vuông tại I
\[ \Rightarrow AI = \sqrt {O{A^2} - O{I^2}} \]\[\;= \sqrt {{5^2} - {4^2}} = 3\,\left[ {cm} \right]\]
Do đó dây cung \[AB = 6cm\]
c. \[\sin \widehat {OAI} = {{OI} \over {OA}} = {{OI} \over R};\]\[\,\sin \widehat {ODI} = {{OK} \over {OD}} = {{OK} \over R}\]
Mà \[OI > OK \Rightarrow {{OI} \over R} > {{OK} \over R}\] hay \[\sin \widehat {OAI} > \sin \widehat {ODI} \Rightarrow \widehat {OAI} > \widehat {ODI}\]