Lý thuyết về phương trình đường thẳng trong không gian

Để đáp ứng nhu cầu học tập của các bạn hôm nay thầy tiếp tục gửi tới các bạn nội dung kiến thức về đường thẳng trong không gian. Về hình học giải tích trong không gian có hai khái niệm là mặt phẳng và đường thẳng, thì chuyên đề về mặt phẳng nay tạm gọi là hoàn thành, các bạn có thể xem tại đây nhé.

Bài đầu tiên gửi tới các bạn là: “Lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian“, trong bài giảng này thầy sẽ trình bày về các dạng phương trình đường thẳng và cách viết từng dạng phương trình đường thẳng. Dưới đây sẽ là nội dung của bài giảng hôm nay.

Lý thuyết phương trình đường thẳng trong mặt phẳng Oxy

1. Phương trình tổng quát

Phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ có dạng:

$\left \{\begin{array}{ll}A_1x + B_1y + C_1z + D_1 =0\\A_2x + B_2y + C_2z + D_2 =0 \end{array}\right.$

Trong đó $A_1^2 + B_1^2 +C_1^2 >0$; $A_2^2 + B_2^2 +C_2^2 >0$; $A_1:B_1:C_1 \neq A_2:B_2:C_2$

2. Phương trình tham số

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ nhận $\vec{a}(a_1;a_2;a_3)$ làm véctơ chỉ phương có phương trình tham số là:

$\left \{\begin{array}{lll}x=x_0 + a_1t\\y=y_0 + a_2t\\z=z_0 + a_3t\end{array} \right. t\in R$

3. Phương trình chính tắc

Đường thẳng $d$ đi qua điểm $M_0(x_0;y_0;z_0)$ nhận $\vec{a}(a_1;a_2;a_3)$ làm véctơ chỉ phương có phương trình chính tắc là:

$\frac{x-x_0}{a_1} = \frac{y-y_0}{a_2} = \frac{z-z_0}{a_3}$

Bài giảng nên xem: Viết phương trình đường thẳng dưới dạng chính tắc

Chú ý:

1. Để viết phương trình tham số hay phương trình chính tắc của đường thẳng ta cần xác định 1 điểm $M$ bất kỳ thuộc đường thẳng và một véctơ chỉ phương của đường thẳng đó.

2. Để có được phương trình tổng quát của đường thẳng thì ta sẽ chuyển từ phương trình chính tắc hoặc phương trình tham số.

3. Một đường thẳng có nhiều véctơ chỉ phương.

4. Một đường thẳng có nhiều phương trình tổng quát, phương trình tham số hay phương trình chính tắc khắc nhau. Nó phụ thuộc vào việc chúng ta chọn điểm $M$ bất kỳ thuộc đường thẳng và việc chọn ra một véctơ chỉ phương của đường thẳng.

Đó là những lý thuyết cơ bản của đường thẳng trong không gian. Sau đây thầy sẽ gửi tới các bạn một ví dụ vận dụng cho nội dung lý thuyết ở trên.

Có thể bạn quan tâm: Chuyên đề thể tích khối đa diện

Bài tập: Trong không gian $Oxyz$ cho hai điểm $A(1;-1;0)$ và $B(0;1;2)$

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$
2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$
3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$

Hướng dẫn giải:

1. Viết phương trình tham số của đường thẳng $AB$

a. Phân tích bài toán

– Chọn $A$ hoặc $B$ là điểm đã biết.

– Chọn $\vec{AB}$ hoặc $\vec{BA}$ làm VTCP

b. Trình bày lời giải

Ta có: $\vec{AB} = (-1;2;2)$

Đường thẳng đi qua $A(1;-1;0)$ nhận $\vec{AB}(-1;2;2)$ làm VTCP nên phương trình tham số là:

$\left \{\begin{array}{lll}x=1 + (-1)t\\y=-1 + 2t\\z=0 + 2t\end{array} \right.$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{lll}x=1 – t\\y=-1 + 2t\\z=2t\end{array}\right. t\in R$           $(I)$

Chú ý: Nếu chọn điểm đã biết là $B(0;1;2)$ và $\vec{AB}(-1;2;2)$ làm VTCP thì phương trình tham số của đường thẳng $AB$ là:

$\left \{\begin{array}{lll}x=- t\\y=1 + 2t\\z=2 + 2t\end{array} \right. t\in R$       $(II)$

Như thế, ta có nhiều cách chọn 1 điểm và 1 VTCP của một đường thẳng. Do đó một đường thẳng có thể có nhiều phương trình tham số khác nhau.

2. Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$

Rút $t$ theo $x; y; z$ ở trong phương trình tham số $(I)$ ta sẽ được phương trình chính tắc.

Từ $(I)$ ta có:

$\left \{\begin{array}{lll}x=1 – t\\y=-1 + 2t\\z=2t \end{array} \right.$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{lll}t= \frac{x-1}{-1}\\t=\frac{y+1}{2}\\t= \frac{z}{2}\end{array} \right. t\in R$ $\Leftrightarrow \frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{2}$     $(III)$

Chú ý: Nếu rút $t$ từ $(II)$ thì ta có $\frac{x}{-1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-2}{2}$ cũng là một phương trình tham số khác của đường thẳng $AB$.

3. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $AB$

Để viết được phương trình tổng quát của đường thẳng ta có 1 số cách làm, nhưng ở đây thầy sẽ hướng dẫn chúng ta chuyển từ phương trình chính tắc. Đây là cách làm dễ hơn cả và chúng ta nên sử dụng.

Từ phương trình chính tắc $(III)$ ta sẽ có được phương trình tổng quát:

$ \frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{2}\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}\frac{x-1}{-1} = \frac{y+1}{2}\\\frac{x-1}{-1} = \frac{z}{2} \end{array}\right.$\Leftrightarrow \left \{\begin{array}{ll}2x + y – 1 = 0\\2x + z -2 = 0 \end{array}\right.$

Cũng như phương trình tham số hay phương trình chính tắc, ta cũng có thể tìm được nhiều phương trình tổng quát của đường thẳng.

4. Lời kết

Đó là toàn bộ lý thuyết phương trình đường thẳng trong không gian mà chúng ta cần nắm được. Bài viết này có thể chưa đầy đủ hết những kiến thức về đường thẳng, thầy sẽ tiếp tục bổ xung vào bài tập trong những bài giảng sau.

SUB ĐĂNG KÍ KÊNH GIÚP THẦY NHÉ

Tổng hợp các lời giải bài tập bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian trong chương III phương pháp tọa độ trong không gian hình học lớp 12. Các bài giải từ bài 1 trang 89 sgk hình học 12 cho đến bài 10 trang 91 sgk hình học lớp 12 dành cho các bạn muốn tim lời giải để tham khảo.

Dưới đây là các bài tập kèm theo đó là lời giải của bài tập trong sách giáo khoa hình học 12 bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian.

Ta đã biết trong mặt phẳng (Oxy) phương trình tham số của đường thẳng có dạng \(\begin{cases}x = x_0 + ta_1 \\ y = y_0 + at_2\end{cases}\) với \(a_1^2 + a_2^2 ≠ 0\) (Hình 3.14a)

Như vậy trong không gian Oxyz phương trình của đường thẳng có dạng như thế nào? (hình 3.14b)

Hình 3.14 a. Đường thẳng trong mặt phẳng

Hình 3.14 b. Đường thẳng trong không gian

Câu hỏi 1 bài 3 trang 82 sgk hình học lớp 12: Trong không gian Oxyz cho điểm \(M_0(1; 2; 3)\) và hai điểm \(M_1(1 + t; 2 + t; 3 + t), M_2(1 + 2t; 2 + 2t; 3 + 2t)\) di động với tham số t. Hãy chứng tỏ ba điểm \(M_0, M_1,M_2\) luôn thẳng hàng.

Giải:

Ba điểm \(M_0, M_1, M_2\) thẳng hàng nếu hai trong ba vectơ \(\vec{M_0M_1}, \vec{M_0M_2}, \vec{M_1M_2}\) cùng phương.

Do đó chỉ cần kiểm tra hai véc tơ bất kì cùng phương, sử dụng lý thuyết \(\vec{M_0M_1}, \vec{M_0M_2}\) cùng phương nếu tồn tại một số thực k sao cho \(\vec{M_0M_1} = k\vec{M_0M_2}\).

\(\vec{M_0M_1} = (t, t, t); \vec{M_0M_2} = (2t, 2t, 2t)\)

\(⇒ \vec{M_0M_2} = 2\vec{M_0M_1}\)

\(⇒ \vec{M_0M_2} ↑↑ \vec{M_0M_1}\)

⇒ Ba điểm \(M_0, M_1, M_2\) luôn thẳng hàng.

Định lí: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng Δ đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) và nhận \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) làm vectơ chỉ phương. Điều kiện cần và đủ để điểm M(x; y; z) nằm trên Δ là có một số thực t sao cho.

\(\begin{cases}x = x_0 + ta_1\\y = y_0 + ta_2\\z = z_0 + ta_3\end{cases}\)

Chứng minh

Ta có: \(\vec{M_0M} = (x – x_0; y – y_0; z – z_0)\)

Điểm M nằm trên Δ khi và chỉ khi \(\vec{M_0M}\) cùng phương với \(\vec{a}\), nghĩa là \(\vec{M_0M} = t\vec{a}\) với t là một số thực. Điều này tương đương với

\(\begin{cases}x – x_0 = ta_1\\y – y_0 = ta_2 \\ z – z_0 = ta_3\end{cases}\) hay \(\begin{cases}x = x_0 + ta_1\\y = y_0 +ta_2\\z = z_0 + ta_3\end{cases}\)

Định nghĩa: Phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm \(M_0(x_0; y_0; z_0)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) là phương trình có dạng:

\(\begin{cases}x = x_0 + ta_1\\y = y_0 + ta_2 \, \, (1)\\ z = z_0 + ta_3\end{cases}\)

Trong đó t là tham số.

Chú ý: Nếu \(a_1, a_2, a_3\) đều khác 0 thì người ta còn có thể viết phương trình của đường thẳng Δ dưới dạng chính tắc như sau: \(\frac{x – x_0}{a_1} = \frac{y – y_0}{a_2} = \frac{z – z_0}{a_3}\)

Ví dụ 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng Δ đi qua điểm \(M_0(1; 2; 3)\) và có vectơ chỉ phương là \(\vec{a} = (1; -4; -5)\)

Giải: Phương trình tham số của Δ là: \(\begin{cases}x = 1 + t\\y = 2 – 4t\\z = 3 – 5t\end{cases}\)

Ví dụ 2. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB với A(1; -2; 3) và B(3; 0; 0)

Giải: Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương \(\vec{AB} = (2; 3; -3)\)

Phương trình tham số của AB là: \(\begin{cases}x = 1 + 2t\\y = -2 + 2t\\z = 3 – 3t\end{cases}\)

Ví dụ 3. Chứng minh đường thẳng d: \(\begin{cases}x = 1 + t\\y = 2 + 2t\\z = 4 + 3t\end{cases}\) vuông góc với mặt phẳng (α): 2x + 4y + 6z + 9 = 0

Giải: d có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (1; 2; 3)\)

(α) có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (2; 4; 6)\)

Ta có \(\vec{n} = 2\vec{a}\), suy ra d ⊥ (α)

Câu hỏi 2 bài 3 trang 84 sgk hình học lớp 12: Cho đường thẳng Δ có phương trình tham số \(\begin{cases}x = -1 + 2t\\y = 3 – 3t\\z = 5 + 4t\end{cases}\)

Hãy tìm tọa độ của một điểm M trên Δ và tọa độ một vecto chỉ phương của Δ.

Giải:

Đường thẳng \(\begin{cases}x = x_0 + at\\y = y_0 + bt\\z = z_0 + ct\end{cases}\) đi qua điểm \(M(x_0; y_0; z_0)\) và nhận \(\vec{u} = (a; b; c)\) làm vectơ chỉ phương.

Một điểm M thuộc Δ là: M(-1; 3; 5) và một vectơ chỉ phương của Δ là \(\vec{a} = (2; -3; 4)\)

Câu hỏi 3 bài 3 trang 84 sgk hình học lớp 12: Cho hai đường thẳng d và d’ có phương trình tham số lần lượt là:

\(\begin{cases}x = 3 + 2t\\y = 6 + 4t\\z = 4 + t\end{cases}\) và \(\begin{cases}x = 2 + t’\\y = 1 – t’\\z = 5 + 2t’\end{cases}\)

a) Hãy chứng tỏ điểm M(1; 2; 3) là điểm chung của d và d′

b) Hãy chứng tỏ d và d′ có hai vecto chỉ phương không cùng phương.

Giải:

Câu a: Hãy chứng tỏ điểm M(1; 2; 3) là điểm chung của d và d′

– Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d, nếu tìm được t thì M thuộc d.

– Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d′, nếu tìm được t′ thì M thuộc d′.

Thay tọa độ của M vào phương trình của d ta được:

\(\begin{cases}1 = 3 + 2t\\2 = 6 + 4t\\3 = 4 + t\end{cases} ⇔ \begin{cases}t = -1\\t = -1\\t = -1\end{cases} ⇔ t = -1\)

Do đó M ∈ d.

Thay tọa độ của M vào phương trình của d’ ta được:

\(\begin{cases}1 = 2 + t’\\2 = 1 – t’\\3 = 5 + 2t’\end{cases} ⇔ \begin{cases}t’ = -1\\t’ = -1\\t’ = -1\end{cases} ⇔ t’ = -1\)

Do đó M ∈ d’.

Câu b: Hãy chứng tỏ d và d′ có hai vecto chỉ phương không cùng phương.

Tìm hai vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng và nhận xét.

Ta thấy \(\vec{u_d} = (2; 4; 1); \vec{u_{d’}} = (1, -1, 2)\) là hai vecto không tỉ lệ nên hai veco đó không cùng phương.

Trong không gian Oxyz cho hai đường thẳng d, d’ lần lượt đi qua hai điểm M, M’ và có vectơ chỉ phương lần lượt là \(\vec{a}\) và \(\vec{a’}\). Sau đây ta xét các điều kiện để hai đường thẳng d và d’ song song, cắt nhau hoặc chéo nhau.

1. Điều kiện để hai đường thẳng song song

Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng d và d’ có phương trình tham số:

\(d: \begin{cases}x = x_0 + ta_1\\y = y_0 + ta_2\\z = z_0 + ta_3\end{cases}\)

\(d’: \begin{cases}x = x’_0 + t’a’_1\\y = y’_0 + t’a’_2\\z = z’_0 + t’a’_3\end{cases}\)

Ta có đường thẳng d có vec tơ chỉ phương: \(a = (a_1; a_2; a_3)\) và \(M(x_0; y_0; z_0) ∈ d\)

Ta có đường thẳng d’ có vec tơ chỉ phương: \(a’ = (a’_1; a’_2; a’_3)\)

• d song song với d’ khi và chỉ khi: \(\begin{cases}\vec{a} = k\vec{a’}\\M ∈ d\\M ∉ d’\end{cases}\)
• d trùng với d’ khi và chỉ khi: \(\begin{cases}\vec{a} = k\vec{a’}\\M ∈ d\\M ∈ d’\end{cases}\)

Hình 3.15

Ví dụ 1. Chứng minh hai đường thẳng sau đây song song:

\(d: \begin{cases}x = 1 + t\\y = 2t\\z = 3 – t\end{cases}\) và \(d’: \begin{cases}x = 2 + 2t’\\y = 3 + 4t’\\z = 5 – 2t’\end{cases}\)

Giải:

d có vectơ chỉ phương \(\vec{a} = (1; 2; -1)\), lấy M(1; 0; 3) ∈ d; d’ có vectơ chỉ phương \(\vec{a’} = (2; 4; -2)\)

Vì \(\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a’}\) và M không thuộc d’ nên d song song với d’

Câu hỏi 4 bài 3 trang 86 sgk hình học lớp 12: Chứng minh hai đường thẳng sau đây trùng nhau:

\(d: \begin{cases}x = 3 – t\\y = 4 + t\\z = 5 – 2t\end{cases}\) và \(d’: \begin{cases}x = 2 – 3t’\\y = 5 + 3t’\\z = 3 – 6t’\end{cases}\)

Giải:

– Kiểm tra hai véc tơ chỉ phương cùng phương.

– Tìm một điểm thuộc cả hai đường thẳng.

Ta thấy: \(\vec{u_d} = (-1, 1, -2); \vec{u_{d’}} = (-3, 3, -6)\)

Có M(3; 4; 5) ∈ d. THay tọa độ của M vào d’ ta được:

\(\begin{cases}3 = 2 – 3t’\\4 = 5 + 3t’\\5 = 3 – 6t’\end{cases} ⇔ \begin{cases}t’ = -\frac{1}{3}\\t’ = -\frac{1}{3}\\t’ = -\frac{1}{3}\end{cases} ⇔ t’ = -\frac{1}{3}\)

Do đó M(3; 4; 5) ∈ d’ nên d trùng với d’.

2. Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau

Gọi phương trình tham số của hai đường thẳng d và d’ lần lượt là:

\(d: \begin{cases}x = x_0 + ta_1\\y = y_0 + ta_2\\z = z_0 + ta_3\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = x’_0 + t’a’_1\\y = y’_0 + t’a’_2\\z = z’_0 + t’a’_3\end{cases}\)

Hai đường thẳng d và d’ cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình ẩn t, t’ sau

\(\begin{cases}x_0 + ta_1 = x’_0 + t’a’_1\\y_0 + ta_2 = y’_0 + t’a’_2 (1) \\z_0 + ta_3 = z’_0 + t’a’_3\end{cases}\) có đúng một nghiệm.

Chú ý: Giả sử hệ (I) có nghiệm \((t_0; t’_0)\), để tìm giao điểm \(M_0\) của d và d’ ta có thể thay thế \(t_0\) vào phương trình tham số của d hoặc thay \(t’_0\) vào phương trình tham số của d.

Ví dụ 2. Tìm giao điểm của hai đường thẳng sau:

\(d: \begin{cases}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\\z = 3 – t\end{cases}\) và \(d’: \begin{cases}x = 2 – 2t’\\y = -2 + t’\\z = 1 + 2t’\end{cases}\)

Giải:

Xét hệ phương trình \(\begin{cases}1 + t = 2 – 2t’ (1)\\2 + 3t = -2 + t'(2)\\3 – t = 1 + 3t'(3)\end{cases}\)

Từ (1) và (2) suy ra t = -1 và t’ = 1. Thay vào phương trình (3) ta thấy nó thỏa mãn. Vậy hệ phương trình trên có nghiệm t = -1, t’ = 1.

Suy ra d cắt d’ tại điểm M(0; -1; 4)

3. Điều kiện để hai đường thẳng chéo nhau

Ta biết rằng hai đường thẳng chéo nhau nếu chúng không cùng phương và không cắt nhau. Do vậy…

Hai đường thẳng d và d’ chéo nhau khi và chỉ khi \(\vec{a}\) và \(\vec{a’}\) không cùng phương và hệ phương trình

\(\begin{cases}x_0 + ta_1 = x’_0 + t’a’_1\\y_0 + ta_2 = y’_0 + t’a’_2 (1)\\z_0 + ta_3 = z’_0 + t’a’_3\end{cases}\) vô nghiệm (với d và d’ có phương trình như ở mục II.2)

Tóm lại: Khi cho đường thẳng d có vec tơ chỉ phương \(\vec{a} = (a_1; a_2; a_3)\) đi qua điểm \(M( x_o; y_o; z_o)\) và đường thẳng d’ có vec tơ chỉ phương \(a’ = (a’_1; a’_2; a’_3)\).

Ta có:

Quan hệ giữa 2 VTCP	Hệ phương trình (1)	Vị trí giữa d và d’
Cùng phương	Có nghiệm	d trùng với d’
Cùng phương	Vô nghiệm	d song song d’
Không cùng phương	Có nghiệm	d cắt d’
Không cùng phương	Vô nghiệm	d và d’chéo nhau

Ví dụ 3. Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng

\(d: \begin{cases}x = 1 + 2t\\y= -1 + 2t\\z = 5 + t\end{cases}\) và \(d’: \begin{cases}x = 1 + 3t’\\y = -2 + 2t’\\z = -1 + 2t’\end{cases}\)

Giải:

Hình 3.16

Ta có: \(\vec{a} = (2; 3; 1)\) và \(\vec{a’} = (3; 2; 2)\)

Vì \(\vec{a} ≠ k\vec{a’}\) suy ra d và d’ hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau (Hình 3.16)

Xét hệ phương trình: \(\begin{cases}1 + 2t = 1 + 3t’\\-1 + 3t = -2 + 2t’\\5 + t = -1 + 2t’\end{cases}\)

Từ hai phương trình đầu ta được \(t = -\frac{3}{5}\) và \(t’ = -\frac{2}{5}\), thay vào phương trình cuối không thỏa mãn.

Ta suy ra hệ trên vô nghiệm. Vậy hai đường thẳng d và d’ chéo nhau.

Ví dụ 4. Chứng minh hai đường thẳng sau đây vuông góc

\(d: \begin{cases}x = 5 – 5\\y = -3 + 2t\\z = 4t\end{cases}\) và \(d’: \begin{cases}x = 9 + 2t’\\y = 13 + 3t’\\z = 1 – t’\end{cases}\)

Giải:

d và d’ lần lượt có vectơ chỉ phương là \(\vec{a} = (-1; 2; 4)\) và \(\vec{a’} = (2; 3; -1)\)

Ta có \(\vec{a}.\vec{a’} = -2 + 6 – 4 = 0\)

Suy ra d ⊥ d;.

Nhận xét: Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 và đường thẳng d: \(\begin{cases}x = x_0 + ta_1\\y = y_0 + ta_2\\z = z_0 + ta_3\end{cases}\)

Xét phương trình \(A(x_0 + ta_1) + B(y_0 + ta_2) + C(z_0 + ta_3) + D = 0\) (t là ẩn) (1)

– Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì d và (α) không có điểm chung, vậy d // (α) (Hình 3.17a)

– Nếu phương trình (1) có đúng một nghiệm \(t = t_0\) thì d cắt (α) tại điểm \(M_0(x_0 + t_0a_1; y_0 + t_0a_2; z_0 + t_0a_3)\) (Hình 3.17b)

– Nếu phương trình (1) có vô số nghiệm thì d thuộc (α) (Hình 3.17c)

Hướng dẫn làm bài tập sgk bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian chương 3 hình học lớp 12. Bài học giúp các bạn tìm hiểu điều kiện để hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.

Viết phương trình tham số của đường thẳng \(\)\(d\) trong các trường hợp sau:

a. d đi qua điểm M(5; 4; 1) có vec tơ chỉ phương \(\vec{a}(2; -3; 1)\) ;

b. d đi qua điểm A(2; -1; 3) và vuông góc với mặt phẳng (α) có phương trình: x + y – z + 5 = 0

c. d đi qua điểm B(2; 0; -3) và song song với đường thẳng ∆ có phương trình:

\(\begin{cases}x = 1 + 2t\\ y = -3 + 3t\\ z = 4t\end{cases}\)

d. d đi qua hai điểm P(1 ; 2 ; 3) và Q(5 ; 4 ; 4).

• Xem: lời giải bài tập 1 trang 89 sgk hình học 12

Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng \(d: \begin{cases}x = 2 + t \\ y = -3 + 2t \\ z = 1 + 3t\end{cases}\) lần lượt trên các mặt phẳng sau:

a. (Oxy).

b. (Oyz).

• Xem: lời giải bài tập 2 trang 89 sgk hình học 12

Xét vị trí tương đối của đường thẳng d và d’ trong các trường hợp sau:

a. \(\)\(d: \begin{cases}x = -3 + 2t \\ y = -2 + 3t \\ z = 6 + 4t\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = 5 + t’ \\ y = -1 – 4t’ \\ z = 20 + t’\end{cases}\)

b. \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 – t\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = 1 + 2t’ \\ y = -1 + 2t’ \\ z = 2 – 2t’\end{cases}\)

• Xem: lời giải bài tập 3 trang 90 sgk hình học 12

Tìm \(\)\(a\) để hai đường thẳng sau đây cắt nhau:

\(d: \begin{cases}x = 1 + at \\ y = t \\ z = -1 + 2t\end{cases}\) \(d’: \begin{cases}x = 1 – t’ \\ y = 2 + 2t’ \\ z = 3 – t’\end{cases}\)

• Xem: lời giải bài tập 4 trang 90 sgk hình học 12

Tìm số giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng (α) trong các trường hợp sau:

a. \(\)\(d: \begin{cases}x = 12 + 4t \\ y = 9 + 3t \\ z = 1 + t\end{cases}\) và (α) : 3x + 5y – z – 2 = 0

b. \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 2 – t \\ z = 1 + 2t\end{cases}\) và (α) : x + 3y + z = 0

c. \(d: \begin{cases}x = 1 + t \\ y = 1 + 2t \\ z = 2 – 3t\end{cases}\) và (α) : x + y + z – 4 = 0

• Xem: lời giải bài tập 5 trang 90 sgk hình học 12

Tính khoảng cách giữa đường thẳng \(\)\(∆: \begin{cases}x = -3 + 2t \\ y = -1 + 3t \\ z = -1 + 2t\end{cases}\) và mặt phẳng (α): 2x – 2y + z + 3 = 0.

• Xem: lời giải bài tập 6 trang 90 sgk hình học 12

Cho điểm A(1; 0; 0) và đường thẳng \(∆: \begin{cases}x = 2 + t\\y = 1 + 2t \\ z = t\end{cases}\).

a. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng ∆.

b. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng ∆.

• Xem: lời giải bài tập 7 trang 91 sgk hình học 12

Cho điểm M(1; 4; 2) và mặt phẳng (α): x + y + z -1 = 0

a. Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α).

b. Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng (α).

c. Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α).

• Xem: lời giải bài tập 8 trang 91 sgk hình học 12

Cho hai đường thẳng: \(\)\(d: \begin{cases}x = 1 – t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3t\end{cases}\) và \(d’:\begin{cases}x = 1 + t’ \\ y = 3 – 2t’ \\ z = 1\end{cases}\). Chứng minh d và d’ chéo nhau.

• Xem: lời giải bài tập 9 trang 91 sgk hình học 12

Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A’BD) và B’D’C).

• Xem: lời giải bài tập 10 trang 91 sgk hình học 12

Các bạn vừa tổng kết nội dung lý thuyết bài 3 phương trình đường thẳng trong không gian chương 3 hình học lớp 12. Qua nội dung bài học các bạn sẽ được tìm hiểu về điều kiện để đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.

Bài Tập Liên Quan: