Số tự nhiên n có là số hữu tỉ không vì sao

Trong toán học, số hữu tỉ là các số x có thể biểu diễn dưới dạng phân số a b {\displaystyle {\frac {a}{b}}}

Tập hợp các số hữu tỉ[2], hay còn gọi là trường số hữu tỉ[3], ký hiệu là Q [chữ đậm] hoặc Q {\displaystyle \mathbb {Q} }

Khai triển thập phân của một số hữu tỉ kết thúc sau một số hữu hạn chữ số [ví dụ: 3/4 = 0.75 hoặc thậm chí bắt đầu lặp lại một số hữu hạn cùng dãy các chữ số lặp đi lặp lại [ví dụ: 9/44 = 0.20454545...].[6] Ngược lại, bất kỳ số thập phân lặp lại tuần hoàn hoặc kết thúc sau hữu hạn chữ số đều đại diện cho một số hữu tỉ. Các phát biểu này đúng trong cơ số 10 và trong mọi cơ số nguyên khác [ví dụ: nhị phân hoặc thập lục phân].

Một số thực không phải là số hữu tỉ được gọi là số vô tỉ.[7] Một số ví dụ của số vô tỉ bao gồm 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}}

Số hữu tỉ có thể được định nghĩa một cách chính tắc là các lớp tương đương của các cặp số nguyên [p, q] với q ≠ 0, sử dụng quan hệ tương đương được định nghĩa như sau:

[ p 1 , q 1 ] ∼ [ p 2 , q 2 ] ⟺ p 1 q 2 = p 2 q 1 . {\displaystyle \left[p_{1},q_{1}\right]\sim \left[p_{2},q_{2}\right]\iff p_{1}q_{2}=p_{2}q_{1}.}

Phân số p/q khi đó biểu thị lớp tương đương của [p, q].[9]

Số hữu tỉ cùng với phép cộng và phép nhân tạo thành một trường trong đó có chứa các số nguyên, và được chứa trong bất kỳ trường nào có chứa các số nguyên. Nói cách khác, trường số hữu tỉ là một trường nguyên tố và một trường có đặc trưng là 0 nếu và chỉ khi nó chứa các số hữu tỉ dưới dạng một trường con. Phần mở rộng hữu hạn của Q được gọi là trường số đại số và phần đóng đại số của Q là trường số đại số.[10]

Trong giải tích toán học, các số hữu tỉ tạo thành một tập con trù mật của các số thực. Các số thực có thể được xây dựng từ các số hữu tỉ bằng cách hoàn thành, sử dụng chuỗi Cauchy, cắt Dedekind hoặc các số thập phân vô hạn [để biết thêm, xem Xây dựng các số thực].

Thuật ngữ hữu tỷ trong tên của tập hợp Q đề cập đến thực tế rằng một số hữu tỷ biểu thị một tỷ số của hai số nguyên. Tính từ hữu tỉ đôi khi có nghĩa là các hệ số là số hữu tỉ. Ví dụ, một điểm hữu tỉ là một điểm có toạ độ hữu tỉ [tức là một điểm có toạ độ là số hữu tỉ]; một ma trận hữu tỉ là một ma trận của các số hữu tỉ; một đa thức hữu tỉ có thể là một đa thức với các hệ số hữu tỉ, mặc dù thuật ngữ "đa thức trên các số hữu tỉ" thường được ưu tiên hơn, để tránh nhầm lẫn giữa " biểu thức hữu tỉ " và " hàm hữu tỉ" [đa thức là một biểu thức hữu tỉ và định nghĩa một hàm hữu tỉ, ngay cả khi các hệ số của nó không phải là số hữu tỉ]. Tuy nhiên, một đường cong hữu tỷ không phải là một đường cong được xác định trên các số hữu tỷ, mà là một đường cong có thể được tham số hóa bằng các hàm hữu tỷ.[cần dẫn nguồn]

Từ nguyên này tương tự như từ nguyên của số ảo và số thực.

Mọi số hữu tỉ có thể được biểu diễn theo một cách duy nhất dưới dạng một phân số tối giản a/b, trong đó a và b là các số nguyên tố cùng nhau và b > 0. Đây thường được gọi là dạng chính tắc của số hữu tỉ.

Bắt đầu từ một số hữu tỉ a/b, dạng chính tắc của nó có thể nhận được bằng cách chia a và b cho ước chung lớn nhất của chúng, và nếu b < 0, thay đổi dấu của tử số và mẫu số.

Nhúng các số nguyên

Mọi số nguyên n có thể được biểu diễn dưới dạng số hữu tỉ n/1, là dạng chính tắc của nó dưới dạng một số hữu tỉ.

Đẳng thức

a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}   khi và chỉ khi a d = b c {\displaystyle ad=bc}  

Nếu cả hai phân số đều ở dạng chính tắc, thì:

a b = c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}}   khi và chỉ khi a = c {\displaystyle a=c}   và b = d {\displaystyle b=d}  [9]

Thứ tự

Nếu cả hai mẫu số đều dương [đặc biệt nếu cả hai phân số đều ở dạng chính tắc]:

a b < c d {\displaystyle {\frac {a}{b}}