Tính giá trị của A khi x là nghiệm của phương trình

Định lý Viet là một trong những kiến thức quan trọng của chương trình toán Trung học cơ sở. Đây là chủ đề thường xuyên xuất hiện trong các kì thi học sinh giỏi, thi tuyển sinh lớp 10. Vì vậy hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc một số ứng dụng quan trọng của định lý này. Bài viết vừa tổng hợp lý thuyết, vừa đưa ra các ví dụ rõ ràng, chi tiết giúp các bạn nắm vững và ứng dụng thành thục các hệ thức Viet vào việc chinh phục các bài toán. Cùng khám phá nhé:

I. Định lý Viet - Lý thuyết quan trọng.

Định lý Viet hay hệ thức Viet thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của một phương trình đa thức do nhà toán học Pháp François Viète khám phá ra.

1. Định lý Viet thuận.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau:

Hệ quả: Dựa vào hệ thức Viet khi phương trình bậc 2 một ẩn có nghiệm, ta có thể nhẩm trực tiếp nghiệm của phương trình trong một số trường hợp đặc biệt:

• Nếu a+b+c=0 thì (*) có 1 nghiệm x1=1 và x2=c/a
• Nếu a-b+c=0 thì (*) có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a

2. Định lý Viet đảo.

Giả sử hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức:

thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Chú ý: điều kiện S2-4P≥0 là bắt buộc. Đây là điều kiện để ∆(1)≥0  hay nói cách khác, đây là điều kiện để phương trình bậc 2 tồn tại nghiệm.

Đăng Ký Học Ngay Toán thầy Mạnh lớp 10

II. Các dạng bài tập ứng dụng định lý Viet.

1.  Ứng dụng hệ thức Viet tìm hai số khi biết tổng và tích.

Phương pháp:

Nếu 2 số u và v thỏa mãn:

thì u, v sẽ là 2 nghiệm của phương trình: x2-Sx+P=0.

Như vậy, việc xác định hai số u, v sẽ quay về bài toán giải phương trình bậc 2 một ẩn:

• Nếu S2-4P≥0 thì tồn tại u,v.
• Nếu S2-4P<0 thì không tồn tại số nào thỏa mãn.
•  

Ví dụ 1: Một hình chữ nhật có chu vi 6a, diện tích là 2a2. Hãy tìm độ dài 2 cạnh.

Hướng dẫn:

Gọi x1, x2 lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật. Theo đề ta có:

Suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình: x2-3ax+2a2=0.

Giải phương trình trên được x1=2a, x2=a (do x1>x2)

Vậy hình chữ nhật có chiều dài 2a, chiều rộng là a.

Ví dụ 2: Tìm hai số x1, x2 thỏa mãn (x1>x2)

Hướng dẫn:

Ta cần biến đổi hệ đã cho về dạng tổng tích quen thuộc:

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2-5x+6=0. Giải tìm được x1=3, x2=2

suy ra x1, x2 là nghiệm của phương trình bậc 2: x2+5x+6=0. Giải tìm được x1=-2, x2=-3.

Ví dụ 3: Giải phương trình:

Hướng dẫn:

Điều kiện: x≠-1

Để ý, nếu quy đồng mẫu, ta sẽ được một phương trình đa thức, tuy nhiên bậc của phương trình này khá lớn. Rất khó để tìm ra định hướng khi ở dạng này.

Vì vậy, ta có thể nghĩ đến việc đặt ẩn phụ để bài toán đơn giản hơn.

Ta đặt:

Khi đó theo đề: uv=6.

Ta lại có:

Suy ra u, v là nghiệm của phương trình bậc 2: t2-5t+6=0.

Giải phương trình trên được:

• Trường hợp 1: u=3, v=2. Khi đó ta thu được phương trình: x2-2x+3=0 (vô nghiệm)
• Trường hợp 2: u=2, v=3. Khi đó ta thu được phương trình x2-3x+2=0, suy ra x1=1, x2=2 (thỏa mãn điều kiện x≠-1)

2. Áp dụng định lý Viet tính giá trị biểu thức đối xứng.

Phương pháp:

Biểu thức đối xứng với x1, x2 nếu ta đổi chỗ x1, x2 cho nhau thì giá trị biểu thức không thay đổi:

• Nếu f là một biểu thức đối xứng, nó luôn tồn tại cách biểu diễn qua biểu thức đối xứng S=x1+x2, P=x1x2
• Một số biểu diễn quen thuộc:

• Áp dụng hệ thức Viet, ta tính được giá trị biểu thức cần tìm.

Ví dụ 4: Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0) tồn tại 2 nghiệm x1, x2. Gọi:

Hãy chứng minh:

Hướng dẫn:

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+5x+2=0. Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình. Tính giá trị của:

Hướng dẫn:

Cách 1:

Ta biến đổi:

Lại có:

Thế vào ta tính được S.

Cách 2:

Ta có thể ứng dụng ví dụ 4 để tính trong trường hợp này, chú ý:

Ta có: S=S7.

Vậy ta tính lần lượt S1, S2,.., S6. Sau đó sẽ có được giá trị của S7.

3. Áp dụng định lý Viet vào các bài toán có tham số.

Đối với các bài toán tham số, điều kiện tiên quyết là phải xét trường hợp để phương trình tồn tại nghiệm. Sau đó áp dụng định lý Viet cho phương trình bậc hai, ta sẽ có các hệ thức của hai nghiệm x1, x2 theo tham số, kết hợp với dữ kiện đề bài để tìm đáp án.

Ví dụ 5: Cho phương trình mx2-2(3-m)x+m-4=0 (*) (tham số m).

Hãy xác định giá trị của tham số để:

1. Có đúng 1 nghiệm âm.
2. Có 2 nghiệm trái dấu.

Hướng dẫn:

Nhắc lại kiến thức:

Đặc biệt, do ở hệ số a có chứa tham số, vì vậy ta cần xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: a=0⇔m=0

Khi đó (*)⇔-6x-4=0⇔x=-⅔. Đây là nghiệm âm duy nhất.

Trường hợp 2: a≠0⇔m≠0

Lúc này, điều kiện là:

Ví dụ 6: Tìm tất cả giá trị m thỏa mãn phương trình bậc 2 sau:

tồn tại  nghiệm x1, x2  phân biệt sao cho:

Hướng dẫn:

Điều kiện để phương trình tồn tại 2 nghiệm phân biệt:

Khi đó dựa vào hệ thức Viet:

Hai nghiệm phân biệt này phải khác 0 (vì để thỏa mãn đẳng thức đề cho), suy ra:

  (2)

Mặt khác, theo đề:

Trường hợp 1:

Trường hợp 2:

Kết hợp với 2 điều kiện (1) và (2) suy ra m=1 hoặc m=5 thỏa yêu cầu bài toán.

Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về định lý Viet. Hy vọng thông qua bài viết, các bạn sẽ tự củng cố và rèn luyện thêm tư duy giải toán của bản thân. Mỗi bài toán sẽ có nhiều cách tiếp cận khác nhau, chính vì vậy, hãy tự do vận dụng một cách sáng tạo những gì bạn học được nhé, điều đó sẽ hỗ trợ cho các bạn sau này rất nhiều. Ngoài ra, các bạn có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru để làm mới thêm lượng kiến thức của mình. Chúc các bạn học tập hiệu quả!

Chuyên đề luyện thi vào 10: Tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình bậc hai

• I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tính giá trị của biểu thức
• II. Bài tập ví dụ về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm
• III. Bài tập tự luyện về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Tính giá trị biểu thức lớp 9 là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được VnDoc biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham khảo.

• Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2
• Bài tập phương trình bậc hai Có đáp án
• Chuyên đề Phương trình bậc hai và Hệ thức Vi-ét

Chuyên đề này được VnDoc biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập "Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức", vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết.

I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tính giá trị của biểu thức

1. Định lý Vi ét

+ Nếu phương trình

có hai nghiệm phân biệt thì

+ Lưu ý: Trước khi áp dụng định lý Vi ét, ta cần tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

2. Một số biểu thức hay gặp:

+ Ta biến đổi các biểu thức để làm xuất hiện

và

+

+

+

+

II. Bài tập ví dụ về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Bài 1: Cho phương trình 3x^2 + 6x - 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức A = x1^3 + x2^3

Lời giải:

Phương trình

có hai nghiệm thỏa mãn Vi ét:

Có

Bài 2: Cho phương trình

có hai nghiệm . Không giải phương trình, hãy tính

Lời giải:

Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn Vi ét:

Có

Bài 3: Giả sử là các nghiệm của phương trình

. Tính giá trị của các biểu thức:

; ; ;

Lời giải:

Có là nghiệm của phương trình . Khi đó theo định lý Vi ét có:

III. Bài tập tự luyện về bài toán tính giá trị của biểu thức nghiệm

Bài 1: Gọi là nghiệm của phương trình

. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a,

b,

c,

d,

(gợi ý: tính )

e,

f,

Bài 2: Cho phương trình

. Với là nghiệm của phương trình, không giải phương trình, hãy tính:

a,

b,

c,

d,

Bài 3: Cho phương trình

. Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức sau:

Bài 4: Giả sử là các nghiệm của các phương trình dưới đây. Tính giá trị của các biểu thức:

; ; ;

a,

b,

-----------------

Ngoài chuyên đề tính giá trị của biểu thức nghiệm của phương trình bậc hai Toán 9, mời các bạn học sinh tham khảo thêm các đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa, ... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán mà chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc. Với bài tập về chuyên đề này giúp các bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải đề và làm bài tốt hơn. Chúc các bạn học tập tốt!