Ước lượng khoảng cho giá trị trung bình năm 2024
\begin{array}{| c| c| c| c| c| c| c| }\hline \text{Trọng lượng}\; & 40-42 & 42-44 & 44-46 & 46-48 & 48-50 & 50-52\\ \hline \text{Số sản phẩm}\; & 7 & 13 & 25 & 35 & 15 & 5\\ \hline \end{array}Với độ tin cậy $95\%$, hãy tìm khoảng tin cậy của trọng lượng trung bình của loại sản phẩm trên. Lời giải: Thực hiện phép đổi biến $u_i=\displaystyle\frac{x_i^0-47}{2}$ với $x_0=47$ và $h=2$. Ta có bảng tính sau \begin{array}{| c| c| c| c| c| c| }\hline x_i-x_{i+1} & x_i^0 & r_i & u_i & r_iu_i & r_iu_i^2\\ \hline \hline 40-42 & 41 & 7 & -3 & -21 & 63\\ \hline 42-44 & 43 & 13 & -2 & -26 & 52\\ \hline 44-46 & 45 & 25 & -1 & -25 & 25\\ \hline 46-48 & 47 & 35 & 0 & 0 & 0\\ \hline 48-50 & 49 & 15 & 1 & 15 & 15\\ \hline 50-52 & 51 & 5 & 2 & 10 & 20\\ \hline \hline \sum & & 100 & & -47 & 175\\ \hline \end{array} Ta có \begin{equation}\notag \begin{aligned} \overline{u}&=\displaystyle\frac{-47}{100}=-0,47,\\ \overline{x}&=x_0+h\overline{u}=47+2\times (-0,47)=46,06,\\ s_u^2&=\displaystyle\frac{1}{99}\Big(175-\displaystyle\frac{(-47)^2}{100}\Big)=\displaystyle\frac{15291}{9900},\\ s^2&=h^2s_u^2=2^2\times\displaystyle\frac{15291}{9900}=\displaystyle\frac{15291}{2475},\\ s&=\sqrt{\displaystyle\frac{15291}{2475}}\approx 2,49. \end{aligned} \end{equation} Độ tin cậy $95\%$, suy ra $1-\alpha=0,95$ hay $\alpha=0,05$. Khi đó $\displaystyle\frac{\alpha}{2}=0,025,$ do đó $u_{\frac{\alpha}{2}}=1,96.$ Độ chính xác của ước lượng $$\varepsilon=u_{\frac{\alpha}{2}}\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}=1,96\times\displaystyle\frac{2,49}{\sqrt{100}}\approx 0,49.$$ Khoảng tin cậy của trọng lượng trung bình của loại sản phẩm \begin{equation}\notag \begin{aligned} (\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon)&=(46,06-0,49; 46,06+0,49)\\ &=(45,57; 46,55). \end{aligned} \end{equation} Trường hợp $3$: $n<30$, phương sai chưa biết. Khoảng tin cậy với độ tin cậy $\beta=1-\alpha$ là $$(\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon),$$ trong đó $\varepsilon=t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}$, $t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)$ là giá trị tới hạn Student với $n-1$ bậc tự do mức $\displaystyle\frac{\alpha}{2}.$ Ví dụ 3: Để ước lượng tuổi thọ trung bình một loại sản phẩm, người ta chọn ra $26$ sản phẩm và thu được kết quả sau: \begin{array}{| c| c| c| c| c| c| c|}\hline \text{Tuổi thọ (giờ)}\; & 190 & 195 & 198 & 200 & 204 & 205\\ \hline \text{Số sản phẩm}\; & 5 & 4 & 2 & 8 & 6 & 1\\ \hline \end{array} Giả sử tuổi thọ sản phẩm tuân theo phân phối chuẩn, hãy ước lượng tuổi thọ trung bình của sản phẩm trên với độ tin cậy $95\%.$ Lời giải: Ta tính được $\overline{x}=198,27; s\approx 5,103.$ Theo đầu bài độ tin cậy $1-\alpha=0,95$, suy ra $\alpha=0,05$. Tra bảng ta được $t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)=t_{0,025}(25)=2,060.$ Độ chính xác của ước lượng $$\varepsilon=t_{\frac{\alpha}{2}}(n-1)\displaystyle\frac{s}{\sqrt{n}}=2,060\times\displaystyle\frac{5,103}{\sqrt{26}}\approx 2,06.$$ Vậy khoảng tin cậy về tuổi thọ trung bình của sản phẩm \begin{equation}\notag \begin{aligned} (\overline{x}-\varepsilon, \overline{x}+\varepsilon)&=(198,27-2,06; 198,27+2,06)\\ &=(196,21; 200,33). \end{aligned} \end{equation} Nội dung phần nàyDùng SPSS để xây dựng Khoảng tin cậy cho trung bình, trường hợp:
8.3 ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG VÀ KHOẢNG TIN CẬY CHO CÁC THAM SỐ 8.3.1 Khái niệm về ước lượng khoảng. Cần nhớ rằng mẫu là một phần của dân số thường được chọn bởi phương pháp chọn mẫu ngẫu nhiên và như vậy nó là một tập hợp các biến ngẫu nhiên với cùng một hàm mật độ xác suất f (x; θ). Sau khi lấy mẫu xong, ta nhận được trong đó là dữ liệu mẫu. Bài toán ước lượng khoảng có thể được phát biểu như sau: Với mẫu và giá trị xác suất , tìm một cặp thống kê θi ( X1, X2, …, Xn ) ;i\=1,2 ;θ1≤θ2 sao cho xác suất của θ trên khoảng ngẫu nhiên là , nghĩa là P ( θ1 ( X1, X2, …, Xn ) ≤ θ ≤θ2 ( X1, X2, …, Xn ) ) \=1−α . Biến ngẫu nhiên được gọi là giới hạn tin cậy dưới và được gọi là giới hạn tin cậy trên. Số (1 − α) được gọi là hệ số tin cậy hoặc mức tin cậy. Khoảng tin cậy cho một mẫu Khoảng tin cậy cho giá trị trung bình đã biết phương sai của phân phối chuẩn, đã biết phương sai, hoặc của phân phối với cỡ mẫu lớn, đã biết phương sai. Tìm khoảng tin cậy (1 − α) cho trung bình µ của một phân phối chuẩn với phương sai đã biết hoặc: Tìm khoảng tin cậy (1 - α) cho giá trị trung bình µ của một dân số có phương sai đã biết trong đó cỡ mẫu n lớn.
.
sao cho Φ , trong đó Φ là hàm phân phối chuẩn tắc. Nghĩa là, được xác định để:
;
Tóm lại cần xem cách tìm trong phần a) bảng 8.1. 1 |
