Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm và song song với trục Oy

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Bài giảng: Cách làm bài tập viết phương trình mặt phẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Quảng cáo

Cách 1:

1. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng [P] là: n→ [A;B;C]

2. Do mặt phẳng [α] // [P] nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng [α] là n→ [A;B;C].

3. Phương trình mặt phẳng [α]:

A[x -xo ] +B[y -yo ] +C[z -zo] =0

Cách 2:

1. Mặt phẳng [α] // [P] nên phương trình mặt phẳng [α] có dạng:

Ax +By +Cz +D'=0 [*] với D'≠D

2. Vì mặt phẳng [α] đi qua điểm M [xo ;yo ;zo ] nên thay tọa độ điểm

M [xo ;yo ;zo ] vào [*] tìm đươc D’

Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [0; 1; 2] và song song với mặt phẳng [Q]: 2x – 4y + 2 = 0.

Hướng dẫn:

Mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q] nên vecto pháp tuyến của mặt phẳng [Q] là n→ [2; -4;0]

Mặt phẳng [P] đi qua điểm M[0; 1; 2] và có vecto pháp tuyến n→ [2; -4;0] nên có phương trình là:

2[x -0] -4[y -1] +0 . [z -2] =0

⇔2x -4y +4 =0

⇔x -2y +2 =0

Quảng cáo

Bài 2: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [-1; 2; -3] và song song với mặt phẳng [Oxy]

Hướng dẫn:

Phương trình mặt phẳng [Oxy] là: z=0

Do mặt phẳng [P] song song song với mặt phẳng [Oxy] nên mặt phẳng [P] có dạng: z +c =0 [z≠0]

Do mặt phẳng [P] đi qua điểm M [-1; 2; -3] nên ta có: -3 +c = 0 ⇔ c =3

Vậy phương trình mặt phẳng [P] là: z +3 =0

Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng [P] đi qua điểm M [0; -1; 3] và song song với mặt phẳng [Q]: 2x+3y-z+5=0

Hướng dẫn:

Do mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [Q] nên mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→ [2; 3;-1]

Phương trình mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→ [2; 3;-1] và đi qua điểm M [0; -1; 3] là:

2[x -0] +3[y +1] -1[z -3]=0

⇔ 2x +3y -z =0

Bài 4: Trong không gian Oxyz, cho các điểm A [5; 1; 3], B[1; 2; 6], C[5; 0; 4], D[4; 0; 6]. Viết phương trình mặt phẳng đi qua D và song song với mặt phẳng [ABC]

Hướng dẫn:

Quảng cáo

AB→=[-4;1;3]; AC→=[0; -1;1]

⇒ [AB→ , AC→ ]=[4;4;4]

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ABC] ta có:

nên n ⃗ cùng phương với [AB→ , AC→ ]

Chọn n→=[1;1;1] là vecto pháp tuyến của mặt phẳng [ABC]

Do mặt phẳng [P] song song với mặt phẳng [ABC] nên mặt phẳng [P] có vecto pháp tuyến n→=[1;1;1].

Phương trình mặt phẳng [P] đi qua A [5; 1; 3] và có vecto pháp tuyến

n→=[1;1;1] là:

x -5 +y -1 +z -3 =0

⇔ x +y +z -9 =0

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt phẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng: a] Đi qua ba điểm ; b] Đi qua hai điểm và song song với trục Oz ; c] Đi qua điểm [3; 2; -l] và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0; d] Đi qua hai điểm A[0 ; 1 ; 1], B[- 1 ; 0 ; 2] và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ; e] Đi qua điểm M[a ; b ; c] [với ] và song song với một mặt phẳng toạ độ ; g] Đi qua điểm G[1 ; 2 ; 3] và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

h] Đi. Bài 15 trang 89 SGK Hình học 12 Nâng cao – Bài 2. Phương trình mặt phẳng

Bài 15. Trong mỗi trường hợp sau, viết phương trình mặt phẳng:

a] Đi qua ba điểm \[M\left[ {2;0; – 1} \right]\,\,;\,\,N\left[ {1; – 2;3} \right]\,\,;\,\,P\left[ {0;1;2} \right]\];

b] Đi qua hai điểm \[A\left[ {1;1; – 1} \right]\,\,;\,\,B\left[ {5;2;1} \right]\]và song song với trục Oz ;

c] Đi qua điểm [3; 2; -l] và song song với mặt phẳng có phương trình x –5y + z = 0;

d] Đi qua hai điểm A[0 ; 1 ; 1], B[- 1 ; 0 ; 2] và vuông góc với mặt phẳng x – y + z – 1 = 0 ;

e] Đi qua điểm M[a ; b ; c] [với \[abc \ne 0\]] và song song với một mặt phẳng toạ độ ;

g] Đi qua điểm G[1 ; 2 ; 3] và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC ;

h] Đi qua điểm H[2 ; 1 ; 1] và cắt các trục toạ độ tại các điểm A, B, C sao cho H là trực tâm của tam giác ABC.

a] Ta có: \[\overrightarrow {MN}  = \left[ { – 1; – 2;4} \right],\,\overrightarrow {MP}  = \left[ { – 2;1;3} \right]\].

Suy ra \[\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left[ { – 10; – 5; – 5} \right] =  – 5\left[ {2;1;1} \right]\].

Chọn vectơ pháp tuyến của mp[MNP] là \[\overrightarrow n  = \left[ {2;1;1} \right]\]. Mp[MNP] đi qua \[M\left[ {2;0; – 1} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left[ {2;1;1} \right]\] nên có phương trình là:

\[2\left[ {x – 2} \right] + 1\left[ {y – 0} \right] + 1\left[ {z + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z – 3 = 0\]

b] Mp[P] đi qua A, B và song song với trục Oz có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n \] vuông góc vói \[\overrightarrow {AB}  = \left[ {4;1;2} \right]\] và vuông góc với \[\overrightarrow k  = \left[ {0;0;1} \right]\] nên:

\[\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow k } \right] = \left[ {\left| \matrix{ 1\,\,\,\,\,\,2 \hfill \cr 0\,\,\,\,\,1 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 2\,\,\,\,\,\,4 \hfill \cr 1\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|;\left| \matrix{ 4\,\,\,\,\,\,\,1 \hfill \cr

0\,\,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right|} \right] = \left[ {1; – 4;0} \right]\]

[P] qua \[A\left[ {1;1; – 1} \right]\] và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left[ {1; – 4;0} \right]\] nên [P] có phương trình:

\[1\left[ {x – 1} \right] – 4\left[ {y – 1} \right] + 0\left[ {z + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow x – 4y + 3 = 0\]

Quảng cáo

c] Mặt phẳng \[\left[ \alpha  \right]\]: \[x – 5y + z = 0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n  = \left[ {1; – 5;1} \right]\].

\[Mp\left[ \beta  \right]\] qua \[A\left[ {3;2; – 1} \right]\] song song với \[mp\left[ \alpha  \right]\] nên \[\left[ \beta  \right]\] có cùng vectơ pháp tuyến .

Do đó \[\left[ \beta  \right]\]: \[\left[ {x – 3} \right] – 5\left[ {y – 2} \right] + \left[ {z + 1} \right] = 0 \Leftrightarrow x – 5y + z + 8 = 0\]

d] Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left[ { – 1; – 1;1} \right]\]

\[Mp\left[ \alpha  \right]\]: \[x – y + z + 1 = 0\] có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow m  = \left[ {1; – 1;1} \right]\].
\[Mp\left[ \beta  \right]\] đi qua A, B và vuông góc với \[mp\left[ \alpha  \right]\] nên vectơ pháp tuyến của \[\left[ \beta  \right]\] vuông góc với \[\overrightarrow {AB} \] và vuông góc với \[\overrightarrow m \] nên ta có thể chọn:

\[\overrightarrow n  = \left[ {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow m } \right] = \left[ {0;2;2} \right]\]

Vậy [P]: \[2\left[ {y – 1} \right] + 2\left[ {z – 1} \right] = 0 \Leftrightarrow y + z – 2 = 0\]

e] Mặt phẳng đi qua \[M\left[ {a,b,c} \right]\] song song với mp[Oxy] có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow k  = \left[ {0;0;1} \right]\] nên có phương trình: \[1\left[ {z – c} \right] = 0 \Leftrightarrow z – c = 0\]

Tương tự mặt phẳng đi qua \[M\left[ {a,b,c} \right]\] song song với mp[Oyz] có phương trình x – a = 0; mặt phẳng đi qua \[M\left[ {a,b,c} \right]\] song song với mp[Oxz] có phương trình y – b = 0.

g] Giả sử \[A\left[ {a;0;0} \right]\,\,B\left[ {0,b,0} \right]\,\,C\left[ {0,0,c} \right]\].

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC nên

\[{{a + 0 + 0} \over 3} = 1;{{0 + b + 0} \over 3} = 2;{{0 + 0 + c} \over 3} = 3 \Rightarrow a = 3;b = 6;c = 9\]

Vậy mp[ABC]: \[{x \over 3} + {y \over 6} + {z \over 9} = 1\].

h] Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc nên H là trực tâm \[\Delta ABC\] khi và chỉ khi \[OH \bot mp\left[ {ABC} \right]\].

Vậy mp[ABC] đi qua H va có vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {OH}  = \left[ {2;1;1} \right]\] nên có phương trình :

\[2\left[ {x – 2} \right] + \left[ {y – 1} \right] + \left[ {z – 1} \right] = 0 \Leftrightarrow 2x + y + z – 6 = 0\]