- LG a
- LG b
- LG c
Cho dãy số \[\left[ {{u_n}} \right]\] xác định bởi
\[\left\{ \matrix{
{u_1} = 10 \hfill \cr
{u_{n + 1}} = \sqrt {{u_n}} \hfill \cr} \right.\]
Chứng minh rằng:
LG a
\[{u_n} > 1\] với mọi n
Lời giải chi tiết:
Chứng minh bằng phương pháp quy nạp
LG b
\[{u_{n + 1}} - 1 < {{{u_n} - 1} \over 2}\] với mọi n
Lời giải chi tiết:
\[{u_{n + 1}} - 1 < \sqrt {{u_n}} - 1 = {{{u_n} - 1} \over {\sqrt {{u_n}} + 1}} \le {{{u_n} - 1} \over 2}\] với mọi n vì \[\sqrt {{u_n}} > 1\]
LG c
Tìm \[\lim {u_n}\]
Lời giải chi tiết:
Đặt \[{v_n} = {u_n} - 1,\] ta có
\[0 < {v_{n + 1}} \le {1 \over 2}{v_n}\] với mọi n
Do đó \[{v_2} \le {1 \over 2}{v_1}\]; \[{v_3} \le {1 \over 2}{v_2} \le {\left[ {{1 \over 2}} \right]^2}{v_1}\]
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được
\[0 < {v_n} \le {\left[ {{1 \over 2}} \right]^{n - 1}}{v_1} = 9{\left[ {{1 \over 2}} \right]^{n - 1}}\]
Vì \[\lim {\left[ {{1 \over 2}} \right]^{n - 1}} = 0\] nên từ đó suy ra \[\lim {v_n} = 0\]
Vậy \[{{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = 1\]