Đề bài
Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Điểm D di động trên cạnh AC. Đường thẳng d vuông góc với AC tại C cắt đường BD tại E. Chứng minh rằng khi D di chuyển trên cạnh AC thì tổng \[\dfrac{1}{{B{D^2}}} + \dfrac{1}{{B{E^2}}}\] không đổi.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Dựng hình vuông ABFC, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng CF tại G. Chứng minh BG = BD từ đóáp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để chứng minh tổng không đổi.
Lời giải chi tiết
Dựng hình vuông ABFC, qua B kẻ đường thẳng vuông góc với BE cắt đường thẳng CF tại G.
Xét tam giác BFG và tam giác BAD có:
BF = BA [ABFC là hình vuông]; \[\widehat {FBG} = \widehat {ABD}\] [cùng phụ với \[\widehat {DBF}\]]; \[\widehat {BFG} = \widehat {BAD} = {90^o}\]
\[ \Rightarrow \Delta BFG = \Delta BAD\] [g.c.g]
\[ \Rightarrow BG = BD\] [2 cạnh tương ứng]
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác BEG vuông tại B, đường cao BF ta có:
\[\dfrac{1}{{B{D^2}}} + \dfrac{1}{{B{E^2}}} = \dfrac{1}{{B{G^2}}} + \dfrac{1}{{B{E^2}}} \]\[\;= \dfrac{1}{{B{F^2}}} = \dfrac{1}{{A{C^2}}}\]không đổi.