Đề bài
Giải các phương trình sau bằng cách sử dụng công thức nghiệm thu gọn:
a] \[{x^2} - 2\sqrt 3 x - 6 = 0\]
b] \[{x^2} - 2\sqrt 7 x + 7 = 0\]
c] \[{x^2} - \sqrt 6 x - 12 = 0\]
d] \[{x^2} - [2 + \sqrt 3 ]x + 2\sqrt 3 = 0\]
e] \[{x^2} - 2[\sqrt 3 + \sqrt 2 ]x + 2\sqrt 3 = 0\]
f] \[\sqrt 2 {x^2} - 2[\sqrt 3 - 1]x - 3\sqrt 2 = 0\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách giảiphương trình \[a{x^2} + bx + c = 0[a \ne 0]\]và b = 2b, \[\Delta ' = b{'^2} - ac\]
+] Nếu \[\Delta ' > 0\] thì từ phương trình có hai nghiệm phân biệt \[{x_1} = \dfrac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};{x_2} = \dfrac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}\]
+] Nếu \[\Delta ' = 0\] thì phương trình có nghiệm kép \[{x_1} = {x_2} = \dfrac{{ - b'}}{a}\]
+] Nếu \[\Delta ' < 0\] thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết
a] \[{x^2} - 2\sqrt 3 x - 6 = 0;\]
\[a = 1;b' = - \sqrt 3 ;c = - 6;\]
\[\Delta ' = {\left[ { - \sqrt 3 } \right]^2} + 6 = 9 > 0;\sqrt {\Delta '} = 3\]
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: \[{x_1} = \sqrt 3 + 3;{x_2} = \sqrt 3 - 3\]
b] \[{x^2} - 2\sqrt 7 x + 7 = 0;\]
\[a = 1;b' = - \sqrt 7 ;c = 7;\]
\[\Delta ' = {\left[ { - \sqrt 7 } \right]^2} - 7 = 0\]
Vậy phương trình đã cho có nghiệm kép: \[{x_1} = {x_2} = \sqrt 7 \]
c] \[{x^2} - \sqrt 6 x - 12 = 0;\]
\[a = 1;b' = - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2};c = - 12;\]
\[\Delta ' = {\left[ { - \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}} \right]^2} + 12 = \dfrac{{27}}{2} > 0;\]
\[\sqrt {\Delta '} = \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2}\]
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} + \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2} = 2\sqrt 6 ;\]
\[{x_2} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2} - \dfrac{{3\sqrt 6 }}{2} = - \sqrt 6 \]
d]
\[\begin{array}{l}{x^2} - \left[ {2 + \sqrt 3 } \right]x + 2\sqrt 3 = 0;\\a = 1;b' = - \dfrac{{\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]}}{2};c = 2\sqrt 3 ;\\\Delta ' = \dfrac{{{{\left[ {2 + \sqrt 3 } \right]}^2}}}{4} - 2\sqrt 3 \\\;\;\;\;\;= \dfrac{{7 - 4\sqrt 3 }}{4} > 0;\\\sqrt {\Delta '} = \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{2}\end{array}\]
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{2} + \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{2} = 2;\]
\[{x_2} = \dfrac{{2 + \sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{2 - \sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \]
e]
\[\begin{array}{l}{x^2} - 2\left[ {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right]x + 4\sqrt 6 = 0;\\a = 1;b' = - \left[ {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right];c = 4\sqrt 6 ;\\\Delta ' = {\left[ {\sqrt 3 + \sqrt 2 } \right]^2} - 4\sqrt 6 \\\;\;\;\;\;= 5 - 2\sqrt 6 = {\left[ {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right]^2}\\\sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 - \sqrt 2 \end{array}\]
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \sqrt 3 + \sqrt 2 + \sqrt 3 - \sqrt 2 = 2\sqrt 3 ;\]
\[{x_2} = \sqrt 3 + \sqrt 2 - \sqrt 3 + \sqrt 2 = 2\sqrt 2 \]
f]
\[\begin{array}{l}\sqrt 2 {x^2} - 2\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]x - 3\sqrt 2 = 0\\a = \sqrt 2 ;b' = - \left[ {\sqrt 3 - 1} \right];c = - 3\sqrt 2 \\\Delta ' = {\left[ {\sqrt 3 - 1} \right]^2} + \sqrt 2 .3\sqrt 2 \\\;\;\;\;\;= 10 - 2\sqrt 3 > 0\end{array}\]
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt:
\[{x_1} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 + \sqrt {10 - 2\sqrt 3 } }}{{\sqrt 2 }}\]\[\, = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 + \sqrt {20 - 4\sqrt 3 } }}{2};\]
\[{x_2} = \dfrac{{\sqrt 3 - 1 - \sqrt {10 - 2\sqrt 3 } }}{{\sqrt 2 }}\]\[\, = \dfrac{{\sqrt 6 - \sqrt 2 - \sqrt {20 - 4\sqrt 3 } }}{2}\]