Đề bài
Câu 1: Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left[ {3{x^2} - 3x - 8} \right]\]bằng?
A. -2. B. 5.
C. 9. D. 10.
Câu 2: Cho hàm số \[f[x] = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}}\]. Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
[I] \[f[x]\]gián đoạn tại x = 1.
[II] \[f[x]\]liên tục tại x = 1.
[III] \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f[x] = \dfrac{1}{2}\]
A.Chỉ [I] B. Chỉ [II]
C. Chỉ [I] và [III] D. Chỉ [II] và [III]
Câu 3: Tìm khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
I. \[f[x]\] liên tục trên đoạn [a;b] và \[f[a].f[b] < 0\] thì phương trình \[f[x] = 0\] có nghiệm.
II. \[f[x]\] không liên tục trên [a;b] và \[f[a].f[b] \ge 0\] thì phương trình \[f[x] = 0\] vô nghiệm.
A. Chỉ I đúng B. Chỉ II đúng
C. Cả I và II đúng D. Cả I và II sai
Câu 4: Cho hàm số \[f[x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sin 5x}}{{5x}}\,\,\,,x \ne 0}\\{a + 2\,\,\,,x = 0}\end{array}} \right.\]. Tìm a để \[f[x]\]liên tục tại x = 0.
A.1 B. -1
C. -2 D. 2
Câu 5: Chọn giá trị \[f[0]\]để hàm số \[f[x] = \dfrac{{\sqrt {2x + 1} - 1}}{{x[x + 1]}}\] liên tục tại x = 0.
A.1 B. 2
C. 3 D. 4
Câu 6: Tìm a để hàm số \[f[x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{{x^2} - 1}}\,\,\,,khi\,x > 1}\\{\dfrac{{a[{x^2} - 2]}}{{x - 3}}\,\,\,,khi\,x \le 1}\end{array}} \right.\] liên tục tại x = 1.
A. \[\dfrac{1}{2}\] B. \[\dfrac{1}{4}\]
C. \[\dfrac{3}{4}\] D. 1
Câu 7: Cho hàm số \[f[x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\,\,,0 < x < 9}\\{m\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x = 0}\\{\dfrac{3}{x}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,,x \ge 9}\end{array}} \right.\,\,\]. Tìm m để \[f[x]\]liên tục trên \[{\rm{[}}0; + \infty ]\] là:
A. \[\dfrac{1}{3}\] B. \[\dfrac{1}{2}\]
C. \[\dfrac{1}{6}\] D. 1
Câu 8: Cho hàm số \[f[x] = {x^3} - 1000{x^2} + 0,01\]. Phương trình \[f[x] = 0\] có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây.
I.[-1;0] , II. [0;1] , III. [ 1;2].
A. Chỉ I B. Chỉ I và II
C. Chỉ II D. Chỉ III
Câu 9: Tính \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 9}}\]bằng?
A. \[\dfrac{1}{5}.\] B. \[\dfrac{2}{5}.\]
C. \[\dfrac{1}{2}.\] D. \[\dfrac{1}{3}.\]
Câu 10: Cho hàm số \[f[x] = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^3} - x + 6}}} \,\,\,\,\,;x \ne 3;x \ne 2}\\{b + \sqrt 3 \,\,\,\,\,\,;x = 3;b \in \mathbb{R}}\end{array}} \right.\]. Tìm b để \[f[x]\]liên tục tại x = 3.
A. \[\sqrt 3 \] B. \[ - \sqrt 3 \]
C. \[\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\] D. \[ - \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\]
Lời giải chi tiết
|
Câu |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Đáp án |
D |
C |
A |
B |
A |
C |
C |
B |
D |
D |
Câu 1: Đáp án D
Đặt \[f\left[ x \right] = 3{x^2} - 3x - 8\]. Hàm số xác định trên R
Giả sử \[\left[ {{x_n}} \right]\] là một dãy số bất kì thỏa mãn \[{x_n} > 0\]và \[{x_n} \ne - 2\]và \[{x_n} \to - 2\]khi \[n \to \infty \]
Ta có \[\lim f\left[ {{x_n}} \right] = \lim \left[ {3{x_n}^2 - 3{x_n} - 8} \right] = 10\]
\[ \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} \left[ {3{x^2} - 3x - 8} \right] = 10\]
Câu 2: Đáp án D
\[f[x] = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{x - 1}} = \dfrac{{\sqrt x - 1}}{{\left[ {\sqrt x - 1} \right]\left[ {\sqrt x + 1} \right]}} = \dfrac{1}{{\left[ {\sqrt x + 1} \right]}}\]
\[f[1] = \dfrac{1}{{\left[ {\sqrt 1 + 1} \right]}} = \dfrac{1}{2}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} = \dfrac{1}{2}\]
Ta thấy \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left[ x \right] = \dfrac{1}{2} = f\left[ 1 \right]\]suy ra hàm số liên tục tại x=1
Câu 3 : Đáp án A
Câu 4 : Đáp án B
Đặt t=5x
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sin 5x}}{{5x}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \dfrac{{\sin t}}{t} = 1\]
Để hàm số liên tục tại x=0 thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left[ x \right] = f\left[ 0 \right]\]hay \[a + 2 = 1 \Rightarrow a = - 1\]
Câu 5 : Đáp án A
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{\sqrt {2x + 1} + 1}}{{x[x + 1]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{2x}}{{x[x + 1][\sqrt {2x + 1} - 1]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{2}{{[x + 1][\sqrt {2x + 1} - 1]}} = \dfrac{2}{2} = 1\end{array}\]
Để f[x] liên tục tại x=0 thì \[f[0] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f[x] = 1\]
Câu 6 : Đáp án C
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{\sqrt {3x + 1} - 2}}{{{x^2} - 1}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{3\left[ {x - 1} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]\left[ {\sqrt {3x + 1} + 2} \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{3}{{\left[ {x + 1} \right]\left[ {\sqrt {3x + 1} + 2} \right]}} = \dfrac{3}{8}\end{array}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{a[{x^2} - 2]}}{{x - 3}} = \dfrac{a}{2}\]
Để hàm số liên tục tại x=1 thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left[ x \right] \Leftrightarrow \dfrac{3}{8} = \dfrac{a}{2} \Rightarrow a = \dfrac{3}{4}\]
Câu 7 : Đáp án C
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{{x\left[ {3 + \sqrt {9 - x} } \right]}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \dfrac{1}{{\left[ {3 + \sqrt {9 - x} } \right]}} = \dfrac{1}{6}\end{array}\]
\[f\left[ 0 \right] = m\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \dfrac{{3 - \sqrt {9 - x} }}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} \dfrac{1}{{\left[ {3 + \sqrt {9 - x} } \right]}} = \dfrac{1}{3}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} \dfrac{3}{x} = \dfrac{1}{3}\]
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ + }} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to {9^ - }} f\left[ x \right]\]. Hàm số liên tục tại x=9
Với \[x > 9\] thì \[f\left[ x \right] = \dfrac{3}{x}\] liên tục
Vậy để \[f[x]\]liên tục trên \[{\rm{[}}0; + \infty ]\] thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} f\left[ x \right] = f\left[ 0 \right] \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{6}\]
Câu 8: Đáp án B
\[\begin{array}{l}f[ - 1] = - 1000,99\\f[0] = 0,01\\f[1] = - 998,99\\f[2] = - 3991,99\\ \Rightarrow f[ - 1].f[0] < 0\\\,\,\,\,\,\,f[0].f[1] < 0\end{array}\]
Do đó f[x] =0 có nghiệm trong các khoảng I và II
Câu 9: Đáp án D
\[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{x^2} - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x - 3} \right]}}{{\left[ {x - 3} \right]\left[ {x + 3} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \dfrac{{\left[ {x - 1} \right]}}{{\left[ {x + 3} \right]}} = \dfrac{1}{3}\]
Câu 10: Đáp án D
\[f\left[ 3 \right] = b + \sqrt 3 \]
\[\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left[ x \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \sqrt {\dfrac{{{x^2} + 1}}{{\left[ {x + 2} \right]\left[ {{x^2} - 2x + 3} \right]}}} \\ = \sqrt {\dfrac{{10}}{{5[9 - 6 + 3]}}} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\]
Để hàm số liên tục tại x = 3 thì \[\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} f\left[ x \right] = f\left[ 3 \right] \Leftrightarrow \dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = b + \sqrt 3 \Rightarrow b = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 }}{3}\]