Đề bài
Cho hàm số
\[f[x] = \left\{ \matrix{
\sqrt x + 1 \text{ nếu }x\ge 0 \hfill \cr
2x\text{ nếu }x < 0 \hfill \cr} \right.\]
Và các dãy số \[[u_n]\] với \[u_n=\dfrac{1}{n}\], \[[v_n]\] với \[v_n= -\dfrac{1}{n}\].
Tính \[\lim u_n\], \[\lim v_n\], \[\lim f [u_n]\] và \[\lim f[v_n]\]
Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm số đã cho khi \[x 0\]?
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Sử dụng giới hạn cơ bản \[\lim \dfrac{1}{{{n^k}}} = 0\] với \[k\in N^*\]
- Thay \[u_n,v_n\] vào \[f[x]\] và tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
\[\begin{array}{l}
\lim {u_n} = \lim \dfrac{1}{n} = 0\\
\lim {v_n} = \lim \left[ { - \dfrac{1}{n}} \right] = 0\\
{u_n} = \dfrac{1}{n} > 0 \Rightarrow f\left[ {{u_n}} \right] = \sqrt {\dfrac{1}{n}} + 1\\ \Rightarrow \lim f\left[ {{u_n}} \right]= \lim \left[ {\sqrt {\dfrac{1}{n}} + 1} \right]= 1\\
{v_n} = - \dfrac{1}{n} < 0 \Rightarrow f\left[ {{v_n}} \right] = - \dfrac{2}{n}\\ \Rightarrow \lim f\left[ {{v_n}} \right] = \lim \left[ { - \dfrac{2}{n}} \right]= 0
\end{array}\]
Do \[\lim f\left[ {{u_n}} \right] = 1\] nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right] = 1\].
\[\lim f\left[ {{v_n}} \right] = 0\] nên \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left[ x \right] = 0\].
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left[ x \right] \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left[ x \right]\] nên không tồn tại giới hạn của hàm số tại \[x = 0\].
Vậy hàm số đã cho không có giới hạn khi\[x \to 0\].