Đề bài
Cho tam giác ABC vuông tại A ngoại tiếp đường tròn [I]. Gọi các tiếp điểm của đường tròn [I] với AB, AC theo thứ tự là D, E.
a] Tứ giác ADIE là hình gì ? Vì sao ?
b] Tính bán kính của đường tròn [I], biết AB = 13cm, AC = 84cm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a] Chứng minh tứ giác là hình chữ nhật có một cặp cạnh kề bằng nhau.
b] Dùng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau đề tìm các cặp cạnh bằng nhau; tìm \[AD\] rồi suy ra độ dài của \[DI.\]
Lời giải chi tiết
a] Tứ giác \[ADIE\] có \[\widehat A = {90^o}\] [theo giả thiết]
\[\widehat D = {90^o}\] [vì \[AB\] là tiếp tuyến của \[\left[ I \right]\]]
\[\widehat E = {90^o}\] [vì \[AC\] là tiếp tuyến của \[\left[ I \right]\]]
Do đó \[ADIE\] là hình chữ nhật.
Hình chữ nhật \[ADIE\] có \[DI = IE\] [bán kính] nên \[ADIE\] là hình vuông.
b] Trước tiên ta tính \[BC:\] Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vuông \[ABC\] ta có \[B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} \]\[= {13^2} + {84^2} \]\[= 169 + 7056 = 7225.\]
Suy ra \[BC = 85cm.\]
Kẻ \[IH \bot BC,\] ta có \[AB + AC - BC \]\[= \left[ {AD + BD} \right] + \left[ {AE + EC} \right] - \left[ {BH + HC} \right].\]
Ta lại có
\[DB = BH,EC = HC,AE = AD\] nên \[AB + AC - BC = AD + AE = 2AD.\]
Do \[AB = 13cm\] nên \[AB + AC - BC = 2AD\]
Suy ra \[2AD = 13 + 84 - 85 = 12\left[ {cm} \right].\]
Do đó \[AD = 6cm.\]
Tứ giác \[ADIE\] là hình vuông [câu a] nên \[ID = AD = 6cm.\]
Vậy bán kính của đường tròn \[\left[ I \right]\] bằng \[6cm.\]
Chú ý :
Trong phần b], ta chứng minh một hệ thức tương tự bài 26 để sử dụng.