Đề bài
Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của các hình chóp đều với kích thước đã cho trên hình sau đây:
Lời giải chi tiết
Diện tích xung quanh của hình chóp đều
\[\eqalign{ & {S_{xq}} = p.d \cr&\;\;\;= {1 \over 2}[AB + BC + AC].SM \cr &\;\;\; = {1 \over 2}[8 + 8 + 8].10 = 120[c{m^2}] \cr} \]
Ta có \[CM = {{BC} \over 2} = {8 \over 2} = 4[cm]\]
ABC đều có AM là đường trung tuyến
=> AM cũng là đường cao \[ \Rightarrow AM \bot BC\] tại M
Chiều cao của tam giác đáy là: \[AM = \sqrt {A{C^2} - M{C^2}} = \sqrt {{8^2} - {4^2}} \]\[\, = \sqrt {48} [cm]\]
Diện tích đáy của hình chóp đều: \[{S_d} = {1 \over 2}AM.BC = {1 \over 2}\sqrt {48} .8 \]\[\,= 4\sqrt {48} [c{m^2}]\]
Diện tích toàn phần của hình chóp đều là: \[{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = [120 + 4\sqrt {48} ][c{m^2}]\]
Diện tích đáy của hình chóp đều:
\[{S_d} = D{C^2} = {10^2} = 100[c{m^2}]\]
Diện tích xung quanh của hình chóp đều:
\[{S_{xq}} = p.d = [10 + 10].SK = 20.12 \]\[\,= 240[c{m^2}]\]
Diện tích toàn phần của hình chóp đều:
\[{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = 240 + 100 \]\[\,= 340[c{m^2}]\]
Vì MNOPQR là lục giác đều nên các tam giác MHN, NHO, OHP, PHQ, QHR và RHM là sáu tam giác đều bằng nhau. Đường cao \[HK = \sqrt {H{M^2} - K{M^2}} \]
\[ \Rightarrow HK = \sqrt {{4^2} - {2^2}} = \sqrt {12} [cm]\]
Diện tích đáy của hình chóp: \[{S_d} = 6{S_{MHR}} = 6.{1 \over 2}HK.MR \]\[\,= 6{1 \over 2}\sqrt {12} .4 = 12\sqrt {12} [c{m^2}]\]
Đường cao của mỗi mặt bên hay trung đoạn của hình chóp đều:
\[d = SK = \sqrt {S{M^2} - M{K^2}} \]\[\, = \sqrt {{{10}^2} - {2^2}} = \sqrt {96} [cm]\]
Diện tích xung quanh của hình chóp đều:
\[{S_{xq}} = p.d = {1 \over 2}.6RQ.SK = 3.4.\sqrt {96} \]\[\,= 12\sqrt {96} [c{m^2}]\]
Diện tích toàn phần của hình chóp đều: \[{S_{tp}} = {S_{xq}} + {S_d} = [\sqrt {96} + 12\sqrt {96} ] \]\[\,= 13\sqrt {96} [c{m^2}]\]