Đề bài
Với ba số \[a, b, c\] không âm, chứng minh bất đẳng thức:
\[a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \]
Hãy mở rộng kết quả cho trường hợp bốn số, năm số không âm.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Cách 1: Áp dụng:
\[{\left[ {a - b} \right]^2} = {a^2} - 2ab + {b^2}\]
\[{\left[ {a - b} \right]^2} \ge 0\]
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho hai số \[a,b\] không âm\[\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \]
Lời giải chi tiết
Cách 1:
Vì \[a, b\] và \[c\] không âm nên\[\sqrt a;\sqrt b\] và \[\sqrt c \] tồn tại.
Ta có: \[{\left[ {\sqrt a - \sqrt b } \right]^2} \ge 0\] suy ra:
\[\eqalign{
& a + b - 2\sqrt {ab} \ge 0 \Leftrightarrow a + b \ge 2\sqrt {ab} \cr
& \Leftrightarrow {{a + b} \over 2} \ge \sqrt {ab} \,\,[1] \cr} \]
\[{\left[ {\sqrt b - \sqrt c } \right]^2} \ge 0\] suy ra:
\[\eqalign{
& b + c - 2\sqrt {bc} \ge 0 \Leftrightarrow b + c \ge 2\sqrt {bc} \cr
& \Leftrightarrow {{b + c} \over 2} \ge \sqrt {bc} \,\,[2] \cr} \]
\[{\left[ {\sqrt c - \sqrt a } \right]^2} \ge 0\] suy ra:
\[\eqalign{
& c + a - 2\sqrt {ca} \ge 0 \Leftrightarrow c + a \ge 2\sqrt {ca} \cr
& \Leftrightarrow {{c + a} \over 2} \ge \sqrt {ca} \,\,[3] \cr} \]
Cộng từng vế các bất đẳng thức [1], [2] và [3], ta có:
\[\dfrac{{a + b}}{2} + \dfrac{{b + c}}{2} + \dfrac{{c + a}}{2} \]\[\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \]
\[\Leftrightarrow \dfrac{{2a + 2b+2c}}{2} \]\[\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \]
\[ \Leftrightarrow a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ca} \]
Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức Cô-si với các số không âm \[a, b, c\] ta có:
\[\dfrac{{a + b}}{2} \ge \sqrt {ab} \] [1]
\[\dfrac{{b + c}}{2} \ge \sqrt {bc} \] [2]
\[\dfrac{{a + c}}{2} \ge \sqrt {ac} \] [3]
Cộng [1]; [2]; [3] theo vế ta có:
\[a + b + c \ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {ac} \]
Suy ra, điều phải chứng minh.
+] Với bốn số \[a, b, c, d\] không âm, ta có:
\[a + b + c + d \]\[\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {da} \]
+] Với năm số a, b, c, d, e không âm, ta có:
\[a + b + c + d + e \]\[\ge \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + \sqrt {cd} + \sqrt {de} + \sqrt {ea} \]