Đề bài
Cho các hàm số \[f[x] = \sin x,\] \[ g[x] = \cos x,\] \[ h[x] = \tan x\] và các khoảng
\[{J_1} = \left[ {\pi ;{{3\pi } \over 2}} \right];{J_2} = \left[ { - {\pi \over 4};{\pi \over 4}} \right];\] \[{J_3} = \left[ {{{31\pi } \over 4};{{33\pi } \over 4}} \right];{J_4} = \left[ { - {{452\pi } \over 3};{{601\pi } \over 4}} \right]\]
Hỏi hàm số nào trong ba hàm số trên đồng biến trên khoảng \[J_1\]? Trên khoảng \[J_2\]? Trên khoảng \[J_3\]? Trên khoảng \[J_4\]? [Trả lời bằng cách lập bảng].
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng lí thuyết:
Hàm số \[y = \sin x\] đồng biến trên \[\left[ { - \frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{\pi }{2} + k2\pi } \right]\] và nghịch biến trên \[\left[ {\frac{\pi }{2} + k2\pi ;\frac{{3\pi }}{2} + k2\pi } \right]\]
Hàm số \[y = \cos x\] đồng biến trên \[\left[ { - \pi + k2\pi ;k2\pi } \right]\] và nghịch biến trên \[\left[ {k2\pi ;\pi + k2\pi } \right]\]
Hàm số \[y = \tan x\] đồng biến trên \[\left[ { - \frac{\pi }{2} + k\pi ;\frac{\pi }{2} + k\pi } \right]\].
Lời giải chi tiết
Ta có:
+] \[{J_1} = \left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right] \subset \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{2}} \right]\] nên hàm số \[y = \sin x\] nghịch biến trên \[{J_1}\], hàm số \[y = \tan x\] đồng biến trên \[{J_1}\].
\[{J_1} = \left[ {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right] \subset \left[ {\pi ;2\pi } \right]\] nên hàm số \[y = \cos x\] đồng biến trên \[{J_1}\]
+] \[{J_2} = \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right] \subset \left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\] nên hàm số \[y = \sin x\] đồng biến trên \[{J_2}\], hàm số \[y = \tan x\] đồng biến trên \[{J_2}\].
\[{J_2} = \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]\]\[ = \left[ { - \frac{\pi }{4};0} \right] \cup \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\] nên hàm số \[y = \cos x\] chỉ đồng biến trên \[\left[ {\frac{\pi }{4};0} \right]\] và nghịch biến trên \[\left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\] nên hàm số \[y = \cos x\] không đồng biến trên \[{J_2}\]
+] \[{J_3} = \left[ {\frac{{31\pi }}{4};\frac{{33\pi }}{4}} \right]\] \[ = \left[ {8\pi - \frac{\pi }{4};8\pi + \frac{\pi }{4}} \right]\] nên hàm số \[y = \sin x\] đồng biến trên \[{J_3}\], hàm số \[y = \tan x\] đồng biến trên \[{J_3}\], hàm số \[y = \cos x\] không đồng biến trên \[{J_3}\]
+] \[{J_4} = \left[ { - \frac{{452\pi }}{3};\frac{{601\pi }}{4}} \right]\] \[ = \left[ { - 150\pi - \frac{{2\pi }}{3}; - 150\pi - \frac{\pi }{4}} \right]\] nên hàm số \[y = \sin x\], \[y = \tan x\] không đồng biến trên \[{J_4}\], hàm số \[y = \cos x\] đồng biến trên \[{J_4}\]
Ta có bảng sau, trong đó dấu + có nghĩa đồng biến, dấu 0 có nghĩa không đồng biến :
|
Hàm số |
J1 |
J2 |
J3 |
J4 |
|
\[f[x] = \sin x\] |
0 |
+ |
+ |
0 |
|
\[g[x] = \cos x\] |
+ |
0 |
0 |
+ |
|
\[h[x] = \tan x\] |
+ |
+ |
+ |
0 |