- Bài 16
- Bài 17
- Bài 18
- Bài 19
- Bài 20
- Bài 21
- Bài 22
- Bài 23
- Bài 24
- Bài 25
- Bài 26
- Bài 27
- Bài 28
- Bài 29
- Bài 30
- Bài 31
- Bài 32
Chọn đáp án đúng:
Bài 16
Hình hộp đứngABCD.ABCDcó đáy là một hình thoi với diện tíchS1. Hai mặt chéoACCAvàBDDBcó diện tích lần lượt bằngS2vàS3. Khi đó thể tích của hình hộp là
\[\eqalign{ & [A]\;\sqrt {{{{S_1}{S_2}{S_3}} \over 2}} ; \cr & [B]\;{{\sqrt 2 } \over 3}\sqrt {{S_1}{S_2}{S_3}} ; \cr & [C]\;{{\sqrt 3 } \over 3}\sqrt {{S_1}{S_2}{S_3}} ; \cr & [D]\;{{{S_1}} \over 2}\sqrt {{S_2}{S_3}} . \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [A].
Các tứ giác ACCA và BDDB đều là hình chữ nhật nên:
\[\begin{array}{l}{S_2} = AC.AA = AC.h\\{S_3} = BD.BB' = BD.h\\ \Rightarrow {S_2}{S_3} = AC.BD.{h^2} = 2{S_1}{h^2}\\ \Rightarrow h = \sqrt {\frac{{{S_2}{S_3}}}{{2{S_1}}}} \\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_1}h\\ = {S_1}.\sqrt {\frac{{{S_2}{S_3}}}{{2{S_1}}}} = \sqrt {\frac{{{S_1}{S_2}{S_3}}}{2}} \end{array}\]
Bài 17
Cho hình lập phươngABCD.ABCD cạnha, tâmO. Khi đó thể tích khối tứ diệnAABOlà
\[\eqalign{ & [A]\;{{{a^3}} \over 8}; \cr & [B]\;{{{a^3}} \over {12}}; \cr & [C]\;{{{a^3}} \over 9}; \cr & [D]\;{{{a^3}\sqrt 2 } \over 3}. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [B].
\[\begin{array}{l}
{V_{AA'B'O}} = {V_{O.AA'B}} = \frac{1}{2}{V_{O.ABB'A'}}\\
= \frac{1}{2}.\frac{1}{6}{V_{ABCD.A'B'C'D'}}\\
= \frac{1}{{12}}{a^3}
\end{array}\]
Bài 18
Cho biết thể tích của một hình hộp chữ nhật làV, đáy là hình vuông cạnha. Khi đó diện tích toàn phần của hình hộp bằng
\[\eqalign{ & [A]\;2\left[ {{V \over a} + {a^2}} \right]; \cr & [B]\;4{V \over a} + 2{a^2};\cr & [C]\;2\left[ {{V \over {{a^2}}} + a} \right]; \cr & [D]\;4\left[ {{V \over {{a^2}}} + a} \right]. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [B].
Diện tích đáy \[{S_d} = {a^2}\]
Chiều cao \[h = \frac{V}{{{S_d}}} = \frac{V}{{{a^2}}}\]
Diện tích xung quanh hình hộp: \[{S_{xq}} = 4ah = 4a.\frac{V}{{{a^2}}} = \frac{{4V}}{a}\]
Diện tích toàn phần: \[{S_{tp}} = {S_{xq}} + 2{S_d} = \frac{{4V}}{a} + 2{a^2}\].
Bài 19
Cho một hình chóp tam giác có đường cao bằng100cmvà các cạnh đáy bằng20cm, 21cm,29cm. Thể tích của hình chóp đó bằng
\[\eqalign{ & [A]\;6000c{m^3}; \cr & [B]\;6213c{m^3}; \cr & [C]\;7000c{m^3}; \cr & [D]\;7000\sqrt 2 c{m^3} \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [C].
Nửa chu vi đáy: \[p = \frac{{20 + 21 + 29}}{2} = 35\]
Diện tích đáy:
\[\begin{array}{l}{S_d} = \sqrt {35\left[ {35 - 20} \right]\left[ {35 - 21} \right]\left[ {35 - 29} \right]} \\ = 210\\ \Rightarrow V = \frac{1}{3}Sh = \frac{1}{3}.210.100 = 7000\left[ {c{m^3}} \right]\end{array}\]
Bài 20
Cho hình chóp tam giácS.ABCvới \[SA \bot SB,SB \bot SC,SC \bot SA,\]
\[SA = a,SB = b,SC = c.\] Thể tích của hình chóp bằng
\[\eqalign{ & [A]\;{1 \over 3}abc; \cr & [B]\;{1 \over 6}abc; \cr & [C]\;{1 \over 9}abc; \cr & [D]\;{2 \over 3}abc. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [B].
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}SA \bot SB\\SA \bot SC\end{array} \right. \Rightarrow SA \bot \left[ {SBC} \right]\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{SBC}}\\ = \frac{1}{3}SA.\frac{1}{2}SB.SC = \frac{1}{6}abc\end{array}\]
Bài 21
Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằngbvà chiều caoh. Khi đó, thể tích của hình chóp bằng
\[\eqalign{ & [A]{{\sqrt 3 } \over 4}\left[ {{b^2} - {h^2}} \right]h; \cr & [B]{{\sqrt 3 } \over {12}}\left[ {{b^2} - {h^2}} \right]h; \cr & [C]{{\sqrt 3 } \over 4}\left[ {{b^2} - {h^2}} \right]b; \cr & [D]{{\sqrt 3 } \over 8}\left[ {{b^2} - {h^2}} \right]h; \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [A].
Xét hình chóp tam giác đều \[S.ABC\] có chiều cao \[SG = h\], cạnh bên \[SA = b\].
Gọi M là trung điểm của BC ta có:
\[AG = \sqrt {S{A^2} - S{G^2}} = \sqrt {{b^2} - {h^2}} \]
Tam giác ABC đều có \[R = AG = \sqrt {{b^2} - {h^2}} \] nên:
\[AB = 2R\sin C = 2\sqrt {{b^2} - {h^2}} \sin {60^0}\] \[ = \sqrt 3 .\sqrt {{b^2} - {h^2}} \]
\[ \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4}\]
\[ = \frac{{3\left[ {{b^2} - {h^2}} \right]\sqrt 3 }}{4}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SG\\ = \frac{1}{3}.\frac{{3\left[ {{b^2} - {h^2}} \right]\sqrt 3 }}{4}.h\\ = \frac{{\sqrt 3 \left[ {{b^2} - {h^2}} \right]}}{4}.h\end{array}\]
Bài 22
Cho hình chóp tam giácS.ABCcó \[SA \bot SB,SB \bot SC,SC \bot SA\] vàAB=13cm, BC=15cm, CA=\[\sqrt {106} \]cm. Thể tích của hình chóp bằng
\[\eqalign{ & [A]\;90c{m^3}; \cr & [B]\;80c{m^3}; \cr & [C]\;92c{m^3}; \cr & [D]\;80\sqrt 2 c{m^3}. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [A].
Các tam giác SAB, SBC, SCA đều vuông tại S nên ta có:
\[\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}S{A^2} + S{B^2} = A{B^2}\\S{B^2} + S{C^2} = B{C^2}\\S{C^2} + S{A^2} = A{C^2}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S{A^2} + S{B^2} = 169\\S{B^2} + S{C^2} = 225\\S{C^2} + S{A^2} = 106\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}S{A^2} = 25\\S{B^2} = 144\\S{C^2} = 81\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}SA = 5\\SB = 12\\SC = 9\end{array} \right.\\ \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \frac{1}{6}SA.SB.SC\\ = \frac{1}{6}.5.12.9 = 90\end{array}\]
Bài 23
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằngavà mặt bên tạo với mặt đáy một góc450. Thể tích của hình chóp đó bằng
\[\eqalign{ & [A]{{{a^3}} \over 3}; \cr & [B]{{{a^3}} \over 6}; \cr & [C]{{2{a^3}} \over 3}; \cr & [D]{{{a^3}} \over 9}. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [B].
Gọi H là tâm đáy, M là trung điểm của BC.
Khi đó \[\widehat {SMH} = {45^0}\] nên tam giác SHM vuông cân tại H.
Ta có: \[HM = \frac{1}{2}AB = \frac{a}{2}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow SH = HM = \frac{a}{2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH\\ = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}}}{6}\end{array}\]
Bài 24
Cho một hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằngavà diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy. Khi đó, thể tích của hình chóp bằng
\[\eqalign{ & [A]{{{a^3}\sqrt 3 } \over 6}; \cr & [B]{{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}; \cr & [C]{{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}; \cr & [D]{{{a^3}\sqrt 3 } \over {12}}. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [A].
Diện tích đáy \[{S_{ABCD}} = {a^2}\]
Diện tích xung quanh \[{S_{xq}} = 2{S_{ABCD}} = 2{a^2}\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{SBC}} = \frac{1}{4}{S_{xq}} = \frac{1}{4}.2{a^2} = \frac{{{a^2}}}{2}\\ \Rightarrow SM = \frac{{2{S_{SBC}}}}{{BC}} = \frac{{2.\frac{{{a^2}}}{2}}}{{{a^2}}} = a\\ \Rightarrow SH = \sqrt {S{M^2} - H{M^2}} \\ = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SH\\ = \frac{1}{3}.{a^2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\end{array}\]
Bài 25
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằngavà cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy một góc600. Thể tích của hình chóp đó bằng
\[\eqalign{ & [A]{{{a^3}\sqrt 6 } \over 2}; \cr & [B]{{{a^3}\sqrt 6 } \over 3}; \cr & [C]{{{a^3}\sqrt 3 } \over 2}; \cr & [D]{{{a^3}\sqrt 6 } \over 6}. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [D].
Gọi O là tâm đáy, khi đó \[\widehat {SAO} = {60^0}\].
ABCD là hình vuông cạnh a nên \[AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Tam giác SAO vuông tại O nên \[SO = AO\tan \widehat {SAO}\] \[ = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\tan {60^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}\]
Thể tích khối chóp \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO\] \[ = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{6}\]
Bài 26
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằngavà cạnh bên bằngb. Khi đó thể tích của hình chóp bằng
\[\eqalign{ & [A]{1 \over 3}{a^2}\sqrt {{b^2} - 2{a^2}} ; \cr & [B]{1 \over 6}{a^2}\sqrt {{b^2} - 2{a^2}} ; \cr & [C]{1 \over 6}{a^2}\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} ; \cr & [D]{2 \over 3}{a^2}\sqrt {2{b^2} - {a^2}} . \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [C ].
ABCD là hình vuông cạnh a nên \[AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\]
Tam giác SAO vuông tại O nên \[SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}} \] \[ = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{1}{2}\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} \]
Thể tích khối chóp: \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO\] \[ = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{1}{2}\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} \] \[ = \frac{1}{6}{a^2}\sqrt {4{b^2} - 2{a^2}} \]
Bài 27
Một hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằngavà các mặt bên tạo với mặt phẳng đáy một góc600. Thể tích của hình chóp đó bằng
\[\eqalign{ & [A]{{{a^3}\sqrt 3 } \over {24}}; \cr & [B]{{{a^3}\sqrt 3 } \over 8}; \cr & [C]{{{a^3}\sqrt 3 } \over 4}; \cr & [D]{{{a^3}\sqrt 2 } \over 6}. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [A].
Gọi H là tâm đáy, M là trung điểm của BC.
Khi đó \[\widehat {SMH} = {60^0}\].
Tam giác ABC đều cạnh a nên \[AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\]
\[MH = \frac{1}{3}AM = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\]
Tam giác SMH vuông có \[\widehat {SMH} = {60^0}\] nên
\[SH = MH\tan {60^0}\] \[ = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}.\sqrt 3 = \frac{a}{2}\]
Thể tích khối chóp \[{V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}{S_{ABC}}.SH\] \[ = \frac{1}{3}.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.\frac{a}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\]
Bài 28
Đường chéo của một hình hộp chữ nhật bằngd, góc giữa đường chéo và mặt đáy là \[\alpha \], góc nhọn giữa hai đường chéo của đáy bằng \[\beta \]. Thể tích của hình hộp đó bằng
\[\eqalign{ & [A]\;{1 \over 2}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta ; \cr & [B]\;{1 \over 3}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta ; \cr & [C]\;{d^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \sin \beta ; \cr & [D]\;{1 \over 2}{d^3}{\sin ^2}\alpha \cos \alpha \sin \beta . \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [A].
Gọi O là tâm đáy \[ABCD\], giả sử \[\widehat {AOB}\] nhọn thì \[\widehat {AOB} = \beta \].
Ta có: \[A'C = d,\widehat {A'CA} = \alpha \]
Tam giác AAC vuông tại A nên \[A'A = A'C\sin \alpha = d\sin \alpha \]
\[AC = A'C\cos \alpha = d\cos \alpha \]
\[ \Rightarrow AO = BO = CO = DO\] \[ = \frac{1}{2}AC = \frac{{d\cos \alpha }}{2}\]
\[\begin{array}{l}{S_{ABCD}} = 4{S_{AOB}}\\ = 4.\frac{1}{2}AO.BO.\sin \widehat {AOB}\\ = 2A{O^2}\sin \widehat {AOB}\\ = 2.{\left[ {\frac{{d\cos \alpha }}{2}} \right]^2}\sin \beta \\ = \frac{{{d^2}{{\cos }^2}\alpha \sin \beta }}{2}\\ \Rightarrow {V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.AA'\\ = \frac{{{d^2}{{\cos }^2}\alpha \sin \beta }}{2}.d\sin \alpha \\ = \frac{1}{2}{d^3}{\cos ^2}\alpha \sin \alpha \sin \beta \end{array}\]
Bài 29
Cho lăng trụ tứ giác đềuABCD.ABCD có cạnh đáy bằnga, đường chéoACtạo với mặt bên[BCCB]một góc \[\alpha \left[ {0 < \alpha < {{45}^0}} \right]\]. Khi đó, thể tích của khối lăng trụ bằng
\[\eqalign{ & [A]\;{a^3}\sqrt {{{\cot }^3}\alpha + 1} ; \cr & [B]\;{a^3}\sqrt {{{\cot }^3}\alpha - 1} ; \cr & [C]\;{a^3}\sqrt {\cos 2\alpha } ; \cr & [D]\;{a^3}\sqrt {{{\tan }^2}\alpha - 1} . \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [B].
Ta có: \[AB \bot \left[ {BCC'B'} \right]\] nên \[\left[ {AC',\left[ {BCC'B'} \right]} \right] = \widehat {AC'B} = \alpha \]
Tam giác \[ABC'\] vuông tại B nên \[BC' = AB\cot \alpha = a\cot \alpha \]
Tam giác BCC vuông tại B nên \[CC' = \sqrt {BC{'^2} - B{C^2}} \] \[ = \sqrt {{{\left[ {a\cot \alpha } \right]}^2} - {a^2}} \]\[ = a\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \]
Thể tích: \[{V_{ABCD.A'B'C'D'}} = {S_{ABCD}}.CC'\] \[ = {a^2}.a\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \] \[ = {a^3}\sqrt {{{\cot }^2}\alpha - 1} \].
Bài 30
Đáy của hình chópS.ABCDlà một hình vuông cạnha.Cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằnga. Thể tích khối tứ diệnSBCDbằng
\[\eqalign{ & [A]\;{{{a^3}} \over 3}; \cr & [B]\;{{{a^3}} \over 4}; \cr & [C]\;{{{a^3}} \over 6}; \cr & [D]\;{{{a^3}} \over 8}. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [C].
\[\begin{array}{l}
{V_{S.BCD}} = \frac{1}{3}{S_{BCD}}.SA\\
= \frac{1}{3}.\frac{1}{2}{S_{ABCD}}.SA\\
= \frac{1}{6}{a^2}.a = \frac{{{a^3}}}{6}
\end{array}\]
Bài 31
Cho hình chópS.ABCDcó đáy là một hình vuông cạnha. Cạnh bênSAvuông góc với mặt phẳng đáy, còn cạnh bênSCtạo với mặt phẳng[SAB]một góc300. Thể tích của khối chóp đó bằng
\[\eqalign{ & [A]{{{a^3}\sqrt 3 } \over 3}; \cr & [B]{{{a^3}\sqrt 2 } \over 4}; \cr & [C]{{{a^3}\sqrt 2 } \over 2}; \cr & [D]{{{a^3}\sqrt 2 } \over 3}. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [D].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}CB \bot AB\\CB \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow CB \bot \left[ {SAB} \right]\]
Do đó góc \[\left[ {SC,\left[ {SAB} \right]} \right] = \widehat {CSB} = {30^0}\].
Tam giác SBC vuông tại B nên \[SB = \frac{{BC}}{{\tan {{30}^0}}} = \frac{a}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = a\sqrt 3 \]
Tam giác SAB vuông tại A nên \[SA = \sqrt {S{B^2} - A{B^2}} \] \[ = \sqrt {3{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 2 \]
Thể tích khối chóp \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA\] \[ = \frac{1}{3}{a^2}.a\sqrt 2 = \frac{{{a^3}\sqrt 2 }}{3}\]
Bài 32
Cho hình chópS.ABCDcó đáy là một hình vuông cạnha. Các mặt phẳng[SAB], [SAD]cùng vuông góc với mặt phẳng đáy , còn cạnh bênSCtạo với mặt phẳng đáy một góc300.Thể tích của hình chóp đã cho bằng
\[\eqalign{ & [A]{{{a^3}\sqrt 6 } \over 9}; \cr & [B]{{{a^3}\sqrt 6 } \over 3}; \cr & [C]{{{a^3}\sqrt 6 } \over 4}; \cr & [D]{{{a^3}\sqrt 3 } \over 9}. \cr} \]
Lời giải chi tiết:
Chọn [A].
Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}\left[ {SAB} \right] \bot \left[ {ABCD} \right]\\\left[ {SAD} \right] \bot \left[ {ABCD} \right]\\\left[ {SAB} \right] \cap \left[ {SAD} \right] = SA\end{array} \right.\]
\[ \Rightarrow SA \bot \left[ {ABCD} \right]\]
\[ \Rightarrow \] góc giữa \[SC\] và \[\left[ {ABCD} \right]\] bằng \[\widehat {SCA} = {30^0}\].
ABCD là hình vuông cạnh \[a\] nên \[AC = a\sqrt 2 \]
Tam giác SAC vuông tại A nên:
\[SA = AC\tan \widehat {SCA}\] \[ = a\sqrt 2 .\tan {30^0} = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\]
Thể tích khối chóp \[{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA\] \[ = \frac{1}{3}{a^2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{3} = \frac{{{a^3}\sqrt 6 }}{9}\]